2020-2021学年河北省衡水市高二（上）9月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市高二（上）9月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列命题正确的是( )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D.用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台

2. 如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A.平行B.相交C.AB⊂αD.平行或相交

3. 一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( )
A.10B.20C.40D.15

4. 如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为( )

A.6B.32C.62D.12

5. 若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A.若α // β，l⊂α，n⊂β，则l // nB.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C.若l⊥α，l//β，则α⊥βD.若l⊥n，m⊥n，则l // m

6. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A.至多有一个是直角三角形B.至多有两个是直角三角形
C.可能都是直角三角形D.必然都是非直角三角形

7. 平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A.3B.4C.5D.6

8. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

A.B.C.D.

9. 某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
（锥体体积公式：V=13Sℎ，其中S为底面面积，ℎ为高）

A.3B.2C.3D.1

10. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
A.54B.54πC.58D.58π

11. 对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A.a⊂α，b⊂αB.a⊂α，b // αC.a⊥α，b⊥αD.a⊂α，b⊥α

12. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，则下列结论中错误的是( )

A.AC⊥BE
B.EF // 平面ABCD
C.三棱锥A−BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
二、填空题

正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，那么它的中截面（平行于两底面且与两底面距离相等的截面）的面积为________cm2．

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是D1A1，A1B1，B1C1的中点，则面AEF与平面GBD的关系为________.

如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块并拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积是________．


若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则________（写出所有正确结论的编号）.
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD每个面的面积相等；
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90∘而小于180∘；
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.
三、解答题

一几何体的直观图如图所示：

(1)画出该几何体的三视图；

(2)求该几何体的表面积与体积．

已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC∩α=Q，如图，求证：P，Q，R三点共线．


圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的全面积.

直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=π2.

(1)求证：AB // 平面A1B1C；

(2)证明：CB1⊥BA1；

(3)已知AB=2，BC=5，求三棱锥C1−ABA1的体积．

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1//平面A1CD；

(2)设AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C−A1DE的体积．

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．

(3)证明：直线DF⊥平面BEG．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
棱台的结构特征
棱柱的结构特征
【解析】
对于A，B，C，只须根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱进行判断即可．对于D，则须根据棱锥的概念：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台．进行判断．
【解答】
解：根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱可知：
A，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错误；
B，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错误；
C，它符合棱柱的定义，故正确；
D，根据棱台的定义：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台可知：
它的截面与底面不一定互相平行，故错误.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
直线与平面分成平行和相交两种情形分别研究，画出图象进行判定即可，解题时常常漏解．
【解答】
解：结合图象可知选项D正确.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
根据圆柱的母线长和底面半径，计算圆柱的轴截面面积．
【解答】
解：圆柱的母线长为5，底面半径为2，
则圆柱的轴截面面积为5×(2×2)=20．
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．
【解答】
解：△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，
由斜二测画法的规则知：OB=OB′=4，OA=2OA′=6，∠AOB=90∘，
所以：S△OAB=12×4×6=12.
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据平面与平面平行、垂直的性质、判定，即可得出结论
【解答】
解：若α//β，l⊂α，m⊂β，则l与m异面或平行，故A错误；
若α⊥β，l⊂α，则l // β，l⊂β或相交，故B错误；
若l//β，则在β内必有直线n与l平行，从而n⊥α，于是α⊥β，故C正确；
在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，有可能相交或者平行，故D错误．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如果一个三棱锥的底面BCD是直角三角形，BC⊥CD，
且AB⊥平面BCD，CD⊥AC，如图所示，
所以AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AC，
那么它的三个侧面都是直角三角形．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．
【解答】
解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD，BC，BB1，AA1，C1D1符合条件．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
由三视图还原实物图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据侧视图可知D选项不符合题意，
根据正视图可知A，C不符合题意.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
由三视图求体积
【解析】
根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．
【解答】
解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：
三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为3，
底面为等边三角形，边长为2，
∴ 三棱锥的体积V=13×12×2×3×3=1．
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
组合几何体的面积、体积问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，将圆台补成圆锥，则图中小圆锥与大圆锥是相似的几何体，
设大，小圆锥的底面半径分别为r，R，高分别为ℎ，H.
∵ 圆台上、下底面的面积之比为1:9，
∴ 半径之比rR=13，高之比 ℎH=13，
∴ 小圆锥与大圆锥的体积之比V小V大=(13)3=127，
∴ V圆台V大圆锥=1−127=2627，
∴ 截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比为27:26.
∵ 圆台的体积为52，
∴ 截该圆台的圆锥体积为2726×52=54．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
异面直线的判定
【解析】
对两条不相交的空间直线a与b，有a // b 或a与b是异面直线，从而得出结论．
【解答】
解：∵ 两条不相交的空间直线a和b，有a // b 或 a与b是异面直线两种情况，
∴ 一定存在平面α，使得：a⊂α，b // α．
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
直线与平面平行的判定
空间中直线与直线之间的位置关系
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD // B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．
【解答】
解：如图，连结BD，
则AC⊥平面BB1D1D，BD // B1D1，
∴ AC⊥BE，EF // 平面ABCD，
∵ △BEF的面积为定值，A到平面BB1D1D的距离为定值，
∴ 三棱锥A−BEF的体积为定值，
从而A，B，C正确．
∵ 点A，B到直线B1D1的距离不相等，
∴ △AEF的面积与△BEF的面积不相等，
故D错误．
故选D．
二、填空题
【答案】
16
【考点】
棱台的结构特征
【解析】
设已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A′，B′，C′，D′分别为侧棱的中点，将四条侧棱延长，交于一点P，则A1B1 // AB，△PA1B1∽△PAB，相似比为35，由此能求出正四棱台的中截面的面积．
【解答】
解：正四棱台的中截面为正方形.
∵ 正四棱台两底面的边长分别为3cm和5cm，
∴ 由题意可知：
中截面的边长为12(3+5)=4cm，
∴ 正四棱台的中截面的面积为4×4=16cm2.
故答案为：16．
【答案】
平行
【考点】
平面与平面平行的判定
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，连结EG，B1D1，BD．
∵ EF//B1D1，B1D1//BD，
∴ EF//BD．
又∵ EG=//A1B1，A1B1=//AB，
∴ EG=//AB，
∴ 四边形EABG为平行四边形，
∴ AE//BG．
∵ AE∩EF=E，BD∩BG=B，
且AE，EF⊂平面AEF，BD，BG⊂平面GBD．
∴ 平面AEF//平面GBD．
故答案为：平行．
【答案】
(4+22)a2
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，是由全等的两个正方形，两个全等的平行四边形，这四个面积相等，
和两个求得的矩形，求出面积之和即可．
【解答】
解：新四棱柱的表面是四个正方形（边长为a），与两个矩形（长为2a，宽为a），
故全面积为(4+22)a2．
故答案为：(4+22)a2.
【答案】
②④⑤
【考点】
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的面对角线，
由于三组对棱分别相等，
所以平行六面体为长方体.
由于长方体的各面不一定为正方形，
所以同一面上的面对角线不一定垂直，
从而每组对棱不一定相互垂直，故①错误；
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的，故②正确；
③由②知四面体ABCD的每个面是全等的三角形，
从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形的三个内角，
它们的和为180∘，故③错误；
④连接四面体ABCD每两组对棱的中点所构成的图形为菱形，
每组对棱的中点构成的线段是菱形的对角线，互相垂直平分，故④正确；
⑤从A点出发的三条棱AB，AC，AD的长等价于AB，BD，AD的长，可以构成三角形，同理可得，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确.
故答案为：②④⑤.
三、解答题
【答案】
解：(1)该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．
(2)表面积S=2(8×8+8×4+8×4)+4π×8=32π+256，
体积V=8×8×4+π×22×8=32π+256．
【考点】
简单空间图形的三视图
构成空间几何体的基本元素
【解析】
（1）几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，由此能作出它的三视图．
（2）利用圆柱、四棱柱的表面积与体积，可得该几何体的表面积与体积．
【解答】
解：(1)该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．
(2)表面积S=2(8×8+8×4+8×4)+4π×8=32π+256，
体积V=8×8×4+π×22×8=32π+256．
【答案】
证明：P∈AB⊂平面ABC，P∈α⇒P是平面ABC与α的公共点，
同理Q也是平面ABC与α的公共点，R也是平面ABC与α的公共点
⇒P，Q，R三点都在平面ABC与α的交线上．
即P，Q，R三点共线．
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
欲证P、Q、R三点都在面ABC与α的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明P、Q、R三点是平面ABC与面α的公共点即可．
【解答】
证明：P∈AB⊂平面ABC，P∈α⇒P是平面ABC与α的公共点，
同理Q也是平面ABC与α的公共点，R也是平面ABC与α的公共点
⇒P，Q，R三点都在平面ABC与α的交线上．
即P，Q，R三点共线．
【答案】
解：∵ 圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，
①若6π=2πr，r=3，
∴ 圆柱的表面积为：4π×6π+2×πr2=24π2+18π；
②若4π=2πr，r=2，
∴ 圆柱的表面积为：4π×6π+2×πr2=24π2+8π.
圆柱的全面积为：24π2+18π或24π2+8π．
【考点】
表面展开图
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
已知圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，分两种情况：①6π=2πr，②4π=2πr，然后再求解；
【解答】
解：∵ 圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，
①若6π=2πr，r=3，
∴ 圆柱的表面积为：4π×6π+2×πr2=24π2+18π；
②若4π=2πr，r=2，
∴ 圆柱的表面积为：4π×6π+2×πr2=24π2+8π.
圆柱的全面积为：24π2+18π或24π2+8π．
【答案】
(1)证明：∵ AA1 // BB1，AA1=BB1，
∴ 四边形ABB1A1是平行四边形，
∴ AB // A1B1．
又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴ AB // 平面A1B1C．
(2)证明：连结B1C，AB1，
∵ AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴ AC⊥AA1，
又∠CAB=π2，即AC⊥AB，
∵ AB∩AA1=A，
AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，
∴ AC⊥平面ABB1A1.
∵ BA1⊂平面ABB1A1，
∴ AC⊥BA1．
∵ 四边形ABB1A1是矩形，AB=AA1，
∴ 四边形ABB1A1是正方形，
∴ AB1⊥BA1．
又AC∩AB1=A，AC⊂平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，
∴ BA1⊥平面AB1C.
∵ CB1⊂平面AB1C，
∴ CB1⊥BA1．
(3)解：∵ AB=2，BC=5，∠CAB=π2，
∴ AC=BC2−AB2=(5)2−22=1．
又S△AA1B=12AB⋅AA1=12×2×2=2，
∴ 三棱锥C1−ABA1的体积VC1−ABA1=VC−ABA1=13S△ABA1⋅AC=13×2×1=23．
【考点】
两条直线垂直的判定
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
(I)根据四边形ABB1A1是平行四边形得出AB // A1B1．于是AB // 平面A1B1C；
(II)连结B1C，AB1，则可证BA1⊥平面ACB1，于是CB1⊥BA1；
(III)求出AC，即棱锥C1−ABA1的高，代入体积公式计算即可．
【解答】
(1)证明：∵ AA1 // BB1，AA1=BB1，
∴ 四边形ABB1A1是平行四边形，
∴ AB // A1B1．
又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
∴ AB // 平面A1B1C．
(2)证明：连结B1C，AB1，
∵ AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴ AC⊥AA1，
又∠CAB=π2，即AC⊥AB，
∵ AB∩AA1=A，
AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，
∴ AC⊥平面ABB1A1.
∵ BA1⊂平面ABB1A1，
∴ AC⊥BA1．
∵ 四边形ABB1A1是矩形，AB=AA1，
∴ 四边形ABB1A1是正方形，
∴ AB1⊥BA1．
又AC∩AB1=A，AC⊂平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，
∴ BA1⊥平面AB1C.
∵ CB1⊂平面AB1C，
∴ CB1⊥BA1．
(3)解：∵ AB=2，BC=5，∠CAB=π2，
∴ AC=BC2−AB2=(5)2−22=1．
又S△AA1B=12AB⋅AA1=12×2×2=2，
∴ 三棱锥C1−ABA1的体积VC1−ABA1=VC−ABA1=13S△ABA1⋅AC=13×2×1=23．
【答案】
(1)证明：连接AC1交A1C于F，连接DF．
则BC1//DF．
∵ DF⊂平面A1CD，BC1⊄面A1CD，
∴ BC1//平面A1CD．
(2)解：∵ ABC−A1B1C1为直棱柱，
∴ AA1⊥CD．
由AC=CB，D为AB中点，
∴ CD⊥AB．
又AA1∩AB=A，
∴ CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2，AB=22，
∴ ∠ACB=90∘，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3．
∴ A1D2+DE2=A1E2，
∴ DE⊥A1D，
∴ VC−A1DE=13×12×6×3×2=1．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：连接AC1交A1C于F，连接DF．
则BC1//DF．
∵ DF⊂平面A1CD，BC1⊄面A1CD，
∴ BC1//平面A1CD．
(2)解：∵ ABC−A1B1C1为直棱柱，
∴ AA1⊥CD．
由AC=CB，D为AB中点，
∴ CD⊥AB．
又AA1∩AB=A，
∴ CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2，AB=22，
∴ ∠ACB=90∘，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3．
∴ A1D2+DE2=A1E2，
∴ DE⊥A1D，
∴ VC−A1DE=13×12×6×3×2=1．
【答案】
(1)解：点F，G，H的位置如图所示．
(2)解：平面BEG // 平面ACH，
证明如下：
∵ ABCD−EFGH为正方体，
∴ BC // FG，BC=EH，
又FG // EH，FG=EH，
∴ BC // EH，BC=EH，
∴ 四边形BCHE为平行四边形．
∴ BE // CH.
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
∴ BE // 平面ACH.
同理BG // 平面ACH，
又BE∩BG=B，
∴ 平面BEG // 平面ACH．
(3)证明：∵ ABCD−EFGH为正方体，
∴ DH⊥平面EFGH.
又∵ EG⊂平面EFGH，
∴ DH⊥EG.
又EG⊥FH，DH∩FH=H，
∴ EG⊥平面BFHD，
又DF⊂平面BFHD，
∴ DF⊥EG.
同理DF⊥BG，
又∵ EG∩BG=G，
∴ DF⊥平面BEG．
【考点】
表面展开图
直线与平面垂直的判定
平面与平面平行的判定
【解析】
(1)直接标出点F，G，H的位置．
(2)先证BCHE为平行四边形，可知BE // 平面ACH，同理可证BG // 平面ACH，即可证明平面BEG // 平面ACH．
(3)连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．
【解答】
(1)解：点F，G，H的位置如图所示．
(2)解：平面BEG // 平面ACH，
证明如下：
∵ ABCD−EFGH为正方体，
∴ BC // FG，BC=EH，
又FG // EH，FG=EH，
∴ BC // EH，BC=EH，
∴ 四边形BCHE为平行四边形．
∴ BE // CH.
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
∴ BE // 平面ACH.
同理BG // 平面ACH，
又BE∩BG=B，
∴ 平面BEG // 平面ACH．
(3)证明：∵ ABCD−EFGH为正方体，
∴ DH⊥平面EFGH.
又∵ EG⊂平面EFGH，
∴ DH⊥EG.
又EG⊥FH，DH∩FH=H，
∴ EG⊥平面BFHD，
又DF⊂平面BFHD，
∴ DF⊥EG.
同理DF⊥BG，
又∵ EG∩BG=G，
∴ DF⊥平面BEG．