2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线y=8−x的倾斜角为( )
A.45∘B.60∘C.120∘D.135∘

2. 若方程x2+y2−2x=m表示圆，则实数m的取值范围为( )
A.(−∞, −1)B.(−1, +∞)C.(−∞, 0)D.(0, +∞)

3. 运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（ ）

A.8B.12C.14D.16

4. 直线y=ax+a−1a∈R所过定点的坐标为( )
A.−1,−1B.−1,1C.1,−1D.1,1

5. 已知点A1,3，B−5,1，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A.3x+y−1=0B.3x+y+4=0C.2x−y+1=0D.x−2y−1=0

6. 一个样本数据如下：32，23，34，27，42，44，35，27，29，36，则该样本的中位数、众数和极差分别为( )
A.33，27，21B.33.5，27，23C.33，27，23D.33.5，27，21

7. 已知x，y的取值如下表，从散点图知，x，y线性相关，且 y=bx+0.7，则下列说法正确的是( )
A.回归直线一定过点(2.2,2.2)
B.x每增加1个单位，y就增加1个单位
C.当x=6时，y的预报值为4.3
D.x每增加1个单位，y就增加0.7个单位

8. 已知点Px,y在圆C:x2+y−12=16 上，则z=x2+y2−8x−8y+32的最小值为( )
A.1B.2C.3D.2

9. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第二组有32人，第三组中有疗效的人数为67，则第三组中没有疗效的人数为( )

A.3B.4C.5D.6

10. 把直线y=x，y=−x，x=1围成的图形绕y轴旋转一圈，所得旋转体的体积为( )
A.π3B.2π3C.4π3D.2π

11. 下表是一个容量为10的样本数据的频数分布表，
则利用各组的中点值计算得样本的平均数为( )
A.19.5B.20C.20.5D.21

12. 已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2, −1)，圆C2：(x−4)2+(y−2)2=10，则圆C1，C2的公共弦长为( )
A.624B.32C.374D.2
二、填空题

现有红球n个，白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个，则n=________.

某校高一年级有350名学生，随机编号为001，002，⋯，350．先在随机数表中抽一个数字，若这个数字是第6行第5列的数，下面继续向右抽，则这样取到的样本中的第2个学生的编号为(下表中的数是摘自随机数表的第6行和第7行)________.


直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x−22+y2=2 上，则△ABP面积的最大值是________.

若直线l:x−2y+m=0与曲线C:x−11−y2=−1有且只有1个公共点，则实数m的取值范围是________.
三、解答题

某校为了增强学生的爱国情怀，举办爱国教育知识竞赛，从参见竞赛的学生中抽出60人，将其成绩分为六段[40, 50)，[50, 60)⋯，[90, 100]后画出如图频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：

(1)估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；

(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）．

已知直线l1:m−4x−y+1=0和l2:m+4x+m+1y−1=0.
(1)若l1//l2，求实数m的值；

(2)若l1⊥l2，求实数m的值．

在平面直角坐标系中，已知直线l过点(1, 1)．
(1)若直线l的纵截距和横截距相等，求直线l的方程；

(2)若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为14，求直线l的方程．

已知圆C:x2+y2−23x+4y+m=0与直线x+3y−3=0相切．
(1)求圆C的方程；

(2)若圆C上有两点M，N关于直线2x−3y+n=0对称，且|MN|=22，求n的值及直线MN的方程．

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.收集数据如下：

(1)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a，参考公式如下：
b=i=1n (xi−x¯)(yi−y¯)i=1n (xi−x¯)2，a=y¯−bx¯，x¯=x1+x2+⋯+xnn，y=y1+y2+⋯+ynn；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2分钟，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？

已知圆O:x2+y2=8，点P是圆O上一动点，点Q4,2，线段PQ中点为M.
(1)求点M的轨迹方程；

(2)设点M的轨迹与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边）过点A，B作两条互相垂直的直线（过点A所作直线斜率为正）分别交点M的轨迹于C，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省宣城市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
设直线y=x+1的倾斜角为θ，可得tanθ=1，解出即可．
【解答】
解：设直线y=8−x的倾斜角为θ，
∴ tanθ=−1.
∵ θ∈[0∘, 180∘)，
∴ θ=135∘．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
圆的一般方程
【解析】
把圆的一般方程化为标准方程，再根据半径大于零，从而求得实数m的取值范围．
【解答】
解：把所给的方程化为标准方程为(x−1)2+y2=m+1，
得m+1>0，
即得m>−1，
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
利用程序框图，读懂题意得解.
【解答】
解：由题设得a=x−y=8，S=S+a=8，满足a>2，
x=5，y=9，a=5−9=4，S=S+a=8+4=12，满足a>2，
x=3，y=5，a=3−5=2，
S=S+a=12+2=14，不满足a>2.
故输出S的值为14.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
直线恒过定点
【解析】
利用直线方程变形可得过定点.
【解答】
解：由题设直线方程变形为：y+1=ax+1，
令x+1=0,y+1=0,
解得：x=−1,y=−1,
即所过定点为−1,−1.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的斜率
中点坐标公式
【解析】
利用线段的中点公式解得 AB的中点为−2,2，利用直线垂直斜率间的关系可得解.
【解答】
解：由题设得 AB的中点为−2,2，
kAB=3−11−(−5)=13，
故垂直平分线的斜率k=−3，
即垂直平分线方程：y−2=−3x+2，
整理得：3x+y+4=0.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
根据数据的有关概念得解.
【解答】
解：将数据从小到大依次排列得23，27，27，29，32，34，35，36，42，44，
得中位数为：32+342=33，
众数：27，
极差：44−23=21.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
利用线性回归方程恒过x¯,y¯，得回归方程，逐项判定得解.
【解答】
解：由题设得x¯=1+2+3+44=2.5，
y¯=1.4+1.8+2.4+3.24=2.2，则回归方程为y=0.6x+0.7.
对于A，直线一定过(2.5,2.2)，故A错误.
对于B，D，x每增加一个1单位，y大约增加0.6个单位，故B，D错误.
对于C，将x=6代入得y=4.3，故C正确.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
与圆有关的最值问题
两点间的距离公式
【解析】
直接利用z的几何意义，即可得到答案.
【解答】
解：∵ z=x2+y2−8x−8y+32 =x−42+y−42，
则几何意义为圆上点到定点D4,4的距离，
又CD=4−02+4−12=5，
∴ z最小值为5−4=1.
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
【解析】
首先利用第二组频率及频数，确定样本总数，再求出第三组的频数，从而得出答案.
【解答】
解：∵ 第二组的频率为0.16，
∴ 样本总数n=320.16=200，
∵ 第三组的频率为0.36，
∴ 第三组共有： 200×0.36=72人，
∵ 第三组有疗效的有67人，
∴ 第三组中没有疗效的人数为：72−67=5人．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意知该旋转体是一个圆柱体内挖掉两个全等的圆锥，
结合题意求出旋转体的体积为．
【解答】
解：由题意知，
该旋转体为底面半径是1，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为1，高为1的圆锥，
则所得旋转体的体积为V=V圆柱−2V圆锥=π⋅12⋅2−2⋅13⋅π⋅12⋅1=4π3．
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
直接频率分布直方图，求出平均数即可.
【解答】
解：根据题意，样本容量为10，利用组中近似计算本组数据的平均数x¯，
则x¯=110×15×1+18×2+21×3+24×4=21.
故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
相交弦所在直线的方程
【解析】
设圆C1的方程为(x−a)2+y2＝1，代入点(2, −1)的坐标得a＝2，从而圆C1的方程为(x−2)2+y2＝1，两圆方程作差得4x+4y−7＝0，点C1到直线4x+4y−7＝0的距离为142=28，由此能求出圆C1，C2的公共弦长．
【解答】
解：设圆C1的方程为(x−a)2+y2=1，代入点(2, −1)的坐标得(2−a)2+1=1，
解得a=2，故圆C1的方程为(x−2)2+y2=1，化为一般方程为x2+y2−4x+3=0，
圆C2的一般方程为x2+y2−8x−4y+10=0，
两圆方程作差得4x+4y−7=0，
点C1到直线4x+4y−7=0的距离为142=28，
则圆C1，C2的公共弦长为21−(28)2=624．
故选A.
二、填空题
【答案】
250
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】
解：根据分层抽样的定义可得： 50120=nn+350⇒n=250．
故答案为：250．
【答案】
323
【考点】
简单随机抽样
【解析】
利用随机数表法读数方法求解即可.
【解答】
解：最先读到的1个数是779，它大于350，故舍去；
向右读下一个数是439，它大于350，故舍去；
再下一个数是495，它大于350，故舍去；
再下一个数是443，它大于350，故舍去；
再下一个数是548，它大于350，故舍去；
再下一个数是217，它小于350，满足题意；
再下一个数是379，它大于350，故舍去；
再下一个数是323，它小于350，满足题意.
故取到的样本中的第2个学生的编号为323.
故答案为：323.
【答案】
6
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
点P到直线AB的距离得最大值为圆心M到直线AB的距离加上半径．
【解答】
解：设点P到直线AB的距离为ℎ，点M到直线AB的距离为d，
则ℎ≤d+2=|2+0+2|1+1+2=32，
S△ABC=12|AB|⋅ℎ≤12×22×32=6．
故答案为：6．
【答案】
(−3,1]∪{5−1}
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
画出图象，当直线1经过点1,1，1,−1时，求出m的值；当直线1与曲线相切时，求出m.即可．
【解答】
解：∵x−11−y2=−1，
∴x−12=1−y2，
∴x−12+y2=10≤x<1.
∵1−y2>0，
∴−1∴曲线C:x−12+y2=1x<1，
l：x−2y+m=0，
则y=x2+m2与曲线C只有一个公共点，如图：
当l点过(1,1)时，只有一个公共点，12+m2=1,则m=1;
当l点过(1,−1)时，只有无公共点，12+m2=−1,则m=−3;
当l与C相切时只有一个公共点，则1+m12+22=1,则m=5−1或m=−5−1(舍去)，
综上，m的范围是:m∈(−3,1]∪{5−1}.
故答案为：m∈(−3,1]∪{5−1}.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 众数是最高小矩形中点的横坐标，
∴ 众数为m=75（分）；
由题易知a=1−(0.03+0.025+0.01+0.005)×102÷10=0.015，
前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4，
∵ 中位数要平分直方图的面积，
∴ n=70+0.5−≈73.3.
(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
故抽样学生成绩的合格率是75% .
【考点】
众数、中位数、平均数
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m=75
（2）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为右边四个小矩形面积之和．平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和．
【解答】
解：(1)∵ 众数是最高小矩形中点的横坐标，
∴ 众数为m=75（分）；
由题易知a=1−(0.03+0.025+0.01+0.005)×102÷10=0.015，
前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4，
∵ 中位数要平分直方图的面积，
∴ n=70+0.5−≈73.3.
(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
故抽样学生成绩的合格率是75% .
【答案】
解：(1)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，则要使l1//l2，只要−m+4m+1=m−4，
整理得m2−2m=0，解之得，m=0或m=2，
当m=0时，l1：4x+y−1=0，l2：4x+y−1=0，此时l1与l2重合；
当m=2时，l1：2x+y−1=0，l2：6x+3y−1=0，此时l1//l2.
故m=2.
(2)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，
若m=4，即直线l1的斜率为k=0时，直线l2的斜率为−85，l1与l2不垂直，不符题意；
则要使l1⊥l2，只要−m+4m+1⋅(m−4)=−1，
整理得m2−m−17=0，解之得，m=1+692或m=1−692，
即当l1⊥l2时，m=1+692或m=1−692.
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意，直线l1的斜率为k=m−4，则要使l1//l2，只要−m+4m+1=m−4，
整理得m2−2m=0，解之得，m=0或m=2，
当m=0时，l1：4x+y−1=0，l2：4x+y−1=0，此时l1与l2重合；
当m=2时，l1：2x+y−1=0，l2：6x+3y−1=0，此时l1//l2；
所以m=2；
（2）由题意，直线l1的斜率为k=m−4，
若m=4，即直线l1的斜率为k=0时，直线l2的斜率为−85，l1与l2不垂直，不符题意；
则要使l1⊥l2，只要−m+4m+1⋅(m−4)=−1，
整理得m2−m−17=0，解之得，m=1+692或m=1−692，
所以当l1⊥l2时，m=1+692或m=1−692.
【解答】
解：(1)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，则要使l1//l2，只要−m+4m+1=m−4，
整理得m2−2m=0，解之得，m=0或m=2，
当m=0时，l1：4x+y−1=0，l2：4x+y−1=0，此时l1与l2重合；
当m=2时，l1：2x+y−1=0，l2：6x+3y−1=0，此时l1//l2.
故m=2.
(2)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，
若m=4，即直线l1的斜率为k=0时，直线l2的斜率为−85，l1与l2不垂直，不符题意；
则要使l1⊥l2，只要−m+4m+1⋅(m−4)=−1，
整理得m2−m−17=0，解之得，m=1+692或m=1−692，
即当l1⊥l2时，m=1+692或m=1−692.
【答案】
解：(1)①若直线l过原点，则直线l的方程为y=x，
②若直线l不过原点，设直线l的方程为xa+ya=1(a≠0)，代入点(1, 1)的坐标可得1a+1a=1，得a=2，
此时直线l的方程为x+y−2=0，
由上知所求直线l的方程为y=x或x+y−2=0．
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为y=k(x−1)+1(k≠0)，
可得直线l与坐标轴的交点坐标为(0, 1−k)，(k−1k, 0)，
有12×|1−k|×|k−1k|=14，解得k=2或k=12．
所求直线方程为y=2x−1或y=12x+12．
【考点】
直线的截距式方程
三角形的面积公式
【解析】
（1）若直线l的纵、横截距为0，和若直线l的纵、横截距不为0，运用截距式方程即可得到所求直线方程；
（2）利用直线的截距式与三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】
解：(1)①若直线l过原点，则直线l的方程为y=x，
②若直线l不过原点，设直线l的方程为xa+ya=1(a≠0)，代入点(1, 1)的坐标可得1a+1a=1，得a=2，
此时直线l的方程为x+y−2=0，
由上知所求直线l的方程为y=x或x+y−2=0．
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为y=k(x−1)+1(k≠0)，
可得直线l与坐标轴的交点坐标为(0, 1−k)，(k−1k, 0)，
有12×|1−k|×|k−1k|=14，解得k=2或k=12．
所求直线方程为y=2x−1或y=12x+12．
【答案】
解：(1)由题意，圆C与直线x+3y−3=0相切，
则有d=|3−23−3|1+3=r，解之得r=3，
从而有3+4−m=3，解之得m=4，
即圆C方程为x2+y2−23x+4y+4=0.
(2)由题意，圆C上有两点M，N关于直线2x−3y+n=0对称，
则可知2x−3y+n=0经过圆心(3,−2)，从而可求得n=−43，
设MN所在直线方程为3x+2y+t=0，
则由|MN|=22可求得d=|t−1|4+3=3−2=1，
整理得|t−1|=7，即t=1±7，
即直线MN的方程为3x+2y+1+7=0或3x+2y+1−7=0.
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的一般方程
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
【解析】
（1）由题意，圆C与直线x+3y−3=0相切，
则有d=|3−23−3|1+3=r，解之得r=3，
从而有3+4−m=3，解之得m=4，
所以圆C方程为x2+y2−23x+4y+4=0；

（2）由题意，圆C上有两点M、N关于直线2x−3y+n=0对称，
则可知2x−3y+n=0经过圆心(3,−2)，从而可求得n=−43，
设MN所在直线方程为3x+2y+t=0，
则由|MN|=22可求得d=|t−1|4+3=3−2=1，
整理得|t−1|=7，即t=1±7，
所以直线MN的方程为3x+2y+1±7=0.
【解答】
解：(1)由题意，圆C与直线x+3y−3=0相切，
则有d=|3−23−3|1+3=r，解之得r=3，
从而有3+4−m=3，解之得m=4，
即圆C方程为x2+y2−23x+4y+4=0.
(2)由题意，圆C上有两点M，N关于直线2x−3y+n=0对称，
则可知2x−3y+n=0经过圆心(3,−2)，从而可求得n=−43，
设MN所在直线方程为3x+2y+t=0，
则由|MN|=22可求得d=|t−1|4+3=3−2=1，
整理得|t−1|=7，即t=1±7，
即直线MN的方程为3x+2y+1+7=0或3x+2y+1−7=0.
【答案】
解：(1)由题意，计算可知x¯=30，y¯=74，
进一步可求出b=1320，a=54.5，
从而y关于x的线性回归方程为y=1320x+54.5.
(2)由(1)可知，当x=10时，|1320×10+54.5−62|=1<2；
当x=50时，|1320×50+54.5−89|=2；
于是由估计数据与检验数据的误差不超过2分钟可知，(1)中所得的线性回归方程可靠.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由题意，计算可知x¯=30，y¯=3735，
进一步可求出b=1320，a=54.5，
从而y关于x的线性回归方程为y=1320x+54.5；

（2）由（1）可知，当x=10时，|1320×10+54.5−62|=1<2；
当x=20时，|1320×20+54.5−67|=0.5<2；
当x=30时，|1320×30+54.5−75|=1<2；
当x=40时，|1320×40+54.5−80|=0.5<2；
当x=50时，|1320×50+54.5−89|=2；
于是由估计数据与检验数据的误差不超过2分钟可知，（1）中所得的线性回归方程可靠.
【解答】
解：(1)由题意，计算可知x¯=30，y¯=74，
进一步可求出b=1320，a=54.5，
从而y关于x的线性回归方程为y=1320x+54.5.
(2)由(1)可知，当x=10时，|1320×10+54.5−62|=1<2；
当x=50时，|1320×50+54.5−89|=2；
于是由估计数据与检验数据的误差不超过2分钟可知，(1)中所得的线性回归方程可靠.
【答案】
解：(1)设Px0,y0,Mx,y，
所以x02+y02=8.
由中点坐标公式得x0=2x−4,y0=2y−2，
代入上式得2x−42+2y−22=8，
化简得x−22+y−12=2，
故点M的轨迹方程为x−22+y−12=2．
(2)把y=0代入圆x−22+y−12=2中，
得x=1或x=3，故A1,0,B3,0.
设过点A的直线方程为l1:x=my+1m>0，
圆心2,1到该直线的距离d1=|1−m|m2+1，
由勾股定理求出弦|AC|=22−1−m2m2+1.
设过点B的直线方程为l2:x=−1my+3m>0，
圆心2,1到该直线的距离为d2=|1−m|m2+1，计算得|BD|=|AC|，
故四边形ABCD的面积为 S=12|BD|⋅|AC|=4−2m−12m2+1
=2+4mm2+1=2+4m+1m，
又m+1m=m−1m2+2，即当m=1时，m+1m有最小值2，
故当m=1时，四边形ABCD面积的最大值为4．
【考点】
圆的标准方程
圆的综合应用
【解析】


【解答】
解：(1)设Px0,y0,Mx,y，
所以x02+y02=8.
由中点坐标公式得x0=2x−4,y0=2y−2，
代入上式得2x−42+2y−22=8，
化简得x−22+y−12=2，
故点M的轨迹方程为x−22+y−12=2．
(2)把y=0代入圆x−22+y−12=2中，
得x=1或x=3，故A1,0,B3,0.
设过点A的直线方程为l1:x=my+1m>0，
圆心2,1到该直线的距离d1=|1−m|m2+1，
由勾股定理求出弦|AC|=22−1−m2m2+1.
设过点B的直线方程为l2:x=−1my+3m>0，
圆心2,1到该直线的距离为d2=|1−m|m2+1，计算得|BD|=|AC|，
故四边形ABCD的面积为 S=12|BD|⋅|AC|=4−2m−12m2+1
=2+4mm2+1=2+4m+1m，
又m+1m=m−1m2+2，即当m=1时，m+1m有最小值2，
故当m=1时，四边形ABCD面积的最大值为4．x
1
2
3
4
y
1.4
1.8
2.4
3.2
数据
[13.5,16.5)
[16.5,19.5)
[19.5,22.5)
[22.5,25.5]
频数
1
2
3
4
实验顺序
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（分钟）
62
67
75
80
89