高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质同步训练题

3.2.2 奇偶性

【本节明细表】

基础巩固

1.下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是(   )

(A)y=|x|   (B)y=1-x

(C)y=      (D)y=-x2+4

【答案】A

【解析】选项B中,函数不具备奇偶性;选项C中,函数是奇函数;选项A,D中的函数是偶函数,但函数y=-x2+4在区间(0,1)上单调递减.故选A.

2.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是(   )

(A)y=x+f(x)   (B)y=xf(x)

(C)y=x2+f(x)   (D)y=x2f(x)

【答案】B

【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).

对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.

对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.

对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,

对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.

3.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1, 2a]上的偶函数,那么a+b等于(   )

(A)0    (B)    (C)   (D)-1

【答案】C

【解析】依题意有,解得所以a+b=.故选C.

4.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 018)=k,则f(-2 018)等于(   )

(A)k   (B)-k   (C)1-k    (D)2-k

【答案】D

【解析】设g(x)=ax3+bx,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为f  (2 018)=k,则g(2 018)=f(2 018)-1=k-1,所以g(-2 018)=-g(2 018)= 1-k.所以f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选D.

5.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为(    )

(A)-2   (B)2

(C)1   (D)0

【答案】A

【解析】由图知f(1)=,f(2)=,

又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.

故选A.

6.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,则k等于    .

【答案】1

【解析】由于函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,因此k-1=0,k=1.

7.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=     .

【答案】-15

【解析】根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,

g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,

则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.

8、判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数

【解析】（1）有意义，则，即，解得，

所以，函数的定义域为，不关于原点对称，

因此，函数是非奇非偶函数；

（2）解法一：定义法

当时，，

，；

当时，，

，.

所以，函数为奇函数；

解法二：图象法

作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数；

（3）由题意可得，所以且，

所以，函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以，函数为偶函数；

能力提升

9.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时函数 f(x) 是减函数,则f(-3),f(π),f(-3.14)的大小关系为(    )

(A)f(π)=f(-3.14)>f(-3) 

(B)f(π)<f(-3.14)<f(-3)

(C)f(π)>f(-3.14)>f(-3) 

(D)f(π)<f(-3)<f(-3.14)

【答案】B

【解析】由题意函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).

因为|-3|<|-3.14|<π,

当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以f(|-3|)>f(|-3.14|)>f(π),

所以f(π)<f(-3.14)<f(-3).故选B.

10.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是_______.

【答案】f(x)=-x(x+2)

【解析】设x<0,则-x>0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2).

11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.

(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间;

(2)写出函数f(x)的值域.

【答案】见解析

【解析】(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图:

所以f(x)的递增区间是(-1,0),(1,+∞).

(2)由函数图象可知,f(x)min=f(-1)=-1,

故f(x)的值域为[-1,+∞).

素养达成

12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x,y∈R,当x+y≠0时,都有>0.

(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;

(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(1)因为a>b,所以a-b>0,

由题意得>0,

所以f(a)+f(-b)>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(-b)=-f(b),

所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).

(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,

因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,

所以f(1+m)≥-f(3-2m),

即f(1+m)≥f(2m-3),

所以1+m≥2m-3,

所以m≤4.

所以实数m的取值范围为(-∞,4].