数学必修 第一册3.3 幂函数当堂检测题

3.3 幂函数

【本节明细表】

基础巩固

1．已知幂函数的图象通过点，则该函数的解析式为（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设幂函数的解析式为.

∵幂函数的图象过点，∴，∴，

∴该函数的解析式为.

2．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是(  )

A.y＝x－2 B. C. D.

【答案】D

【解析】对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A不满足；

对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足；

对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足；

对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足.

故选:D.

3．已知幂函数过点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设幂函数，∵过点，∴ ，

∴ ，故选B.

4．幂函数的图象如图所示，则的值为(  )

A.－1 B.0

C.1 D.2

【答案】C

【解析】由图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故，即且；又从图象看，函数是偶函数，故为负偶数，

将分别代入，可知当时，，满足要求．

故选C.

5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（  ）

A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3

【答案】D

【解析】当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；

当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；

当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；

当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；

故选：D．

6．幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.

【答案】2

【解析】函数是幂函数，

解得：或，

当时，函数的图象不关于轴对称，舍去，

当时，函数的图象关于轴对称，

∴实数．

7．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_____________。

【答案】

【解析】设，因为的图象过，

，解得，

在上是单调递增的

在上的最大值为，故答案为。

8．比较下列各题中两个幂的值的大小：

(1)2.3，2.4；

(2) ， ；

(3)(－0.31) ，0.35.

【答案】(1)2.3<2.4.(2) >；(3)(－0.31) <0.35.

【解析】(1)∵y＝为R上的增函数，

又2.3<2.4，

∴2.3<2.4.

(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，

∴()>().

(3)∵y＝为R上的偶函数，

∴＝.

又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，

且0.31<0.35，

∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.

能力提升

9．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由图像可知，，得，故选：A..

10．对幂函数有以下结论

（1）的定义域是；

（2）的值域是；

（3）的图象只在第一象限；

（4）在上递减；

（5）是奇函数．

则所有正确结论的序号是______.

【答案】（2）（3）（4）

【解析】解：对幂函数，以下结论

（1）的定义域是，因此不正确；

（2）的值域是，正确；

（3）的图象只在第一象限，正确；

（4）在上递减，正确；

（5）是非奇非偶函数，因此不正确．

则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．

故答案为：（2）（3）（4）．

11．已知幂函数的图象经过点.

（1）求实数 的值；

（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）∵的图象经过点，

∴，即，解得.

（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，

∴ ，

即.∴ 在区间（0，+∞）上是减函数.

素养达成

12．讨论函数的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．

【答案】定义域R；偶函数；图象略；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．

【解析】函数定义域为R，因为，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在单减，在[0,+∞)上单增.