高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）同步测试题

3.4   函数的应用（一）

一、选择题

1．（2017·全国高一课时练习）拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合其中表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(　　)

A.3.71 B.4.24

C.4.77 D.7.95

【答案】C

【解析】,故选C.

2．（2019·全国高一课时练习）某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2000本，如果提价后的单价为元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是（   )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】提价后的价格为元，则提高了元，则销售减少了本，即减少了万本，实际售出万本，则总收入为，

故选：C

3．（2019·全国高一课时练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(     )

A．90万元 B．120万元

C．120.25万元 D．60万元

【答案】B

【解析】设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.

4．（2018·全国高一课时练习）某宾馆共有客床100张，各床每晚收费 10 元时可全部住满，若每晚收费每提高 2 元，便减少 10 张客床租出，则总收入 y(y>0)元与每床每晚收费应提高 x(假设 x 是 2 的正整数倍)元的关系式为(　　)

A.y＝(10＋x)(100－5x)

B.y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N

C.y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18

D.y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8

【答案】C

【解析】依题意可知总收入的表达式为，由于是的正整数倍，且，即，故.答案为选项.

5．（2017·全国高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A.310元 B.300元 C.290元 D.280元

【答案】B

【解析】

设函数解析式为，

函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，

则 解得

所以，当x＝0时，y＝300.

所以营销人员没有销售量时的收入是300元．

答案：B

6．（2018·全国高一课时练习）在一次为期 15 天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐 40 人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是(　　)

A.7 B.8

C.9 D.10

【答案】D

【解析】当时，函数为一次函数，单调递增，当时取得最大值，即.当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为，由于为整数，故当时取得最大值，即，故选.

二、填空题

7．（2019·全国高一课时练习）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系。已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元。若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ；

【答案】50辆

【解析】由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得，

故答案为50辆

8．（2018·全国高一课时练习）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为____________元．(用数字作答)

【答案】

【解析】在高峰时段，用电费用为，低谷时段用电费用为，故总的费用为元

9．（2017·全国高一课时练习）表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．

其中，正确信息的序号是________．

【答案】①②③

【解析】

看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．

故答案为①②③.

10．（2019·全国高一课时练习）某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是___.

【答案】200

【解析】设总利润为L(x),

则L(x)=

则L(x)=

当0≤x<300时,L(x)max=10000,

当x≥300时,L(x)max=5000,

所以总利润最大时店面经营天数是200.

三、解答题

11．（2019·全国高一课时练习）某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示：

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

【答案】每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．

【解析】设，则∴

∴

当每件的销售价为x元时，每件的销售利润为元，每天的销售利润为S.则.

∴当时，元．

答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．

12．（2018·全国高一课时练习）经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量).

(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;

(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.

【答案】(1) a=50. 第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2) 当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.

【解析】(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,

解得a=50.

从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),

即第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2)由题意可知

y=

即y=

当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.

故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.

当10<x≤30时,y<102-110×10+3 000=2 000.

故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.