人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）达标测试

4.5.1 函数的零点与方程的解

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1.函数y=4x-2的零点是(　　)

(A)2    (B)(-2,0)    (C)（,0）    (D)

【答案】D

【解析】令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.

2.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

【答案】A

【解析】因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.

3.函数f(x)=ln x+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是(　　)

(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)    (C)(1,e)   (D)(1,e2)

【答案】A

【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,

所以解得-e2<a<0.故选A.

4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为(　　)

(A)[,]   (B)[,]   (C)[0,]   (D)[,1]

【答案】A

【解析】因为f()=+log2<0,f()=+log2>0,

所以f()·f()<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为[,].故选A.

5.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为(　　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

【答案】C

【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).

由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.

令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.

由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.

6.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是(　　)

(A)-1   (B)1     (C)-2   (D)2

【答案】B

【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.故选B.

7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是　　　　　. 

【答案】2

【解析】因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,

所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.

即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.

8.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.

【答案】m的取值范围是(-,0).

【解析】令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.

依题意得或

即或解得-<m<0.

即m的取值范围是(-,0).

能力提升

9.如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a的取值范围是(　　)

(A)[2,+∞) (B)(-1,2]

(C)(-2,1] (D)(0,+∞)

【答案】D

【解析】由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.

10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=-,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是(　　)

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

【答案】B

【解析】法一　由-=0,解得x=,所以f()=0.

因为f(2-x)=f(x),所以f()=f(2-)=f()=0.

因为f(x)是奇函数,f(-)=-f（）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0,

所以f(x)在(-2,2]上零点为-,-,0,,,2,共6个.

法二　依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.

由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.

所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.

11.已知函数f(x)=其中m>0.

若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　　. 

【答案】(3,+∞)

【解析】作出f(x)的大致图象(图略).

当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,

所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0.

又m>0,解得m>3.

12.已知函数f(x)=

(1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;

(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.

【答案】(1)  [-1,1]   (2)a的取值范围是(-∞,0).

【解析】(1)若a=0,则f(x)=

当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;

当x∈(1,4]时,f(x)=-1是增函数.所以0<f(x)≤1.

于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].

(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.

由+a-1=0解得x=(1-a)2.

因为f(x)恰有三个零点,所以解得a<0.

所以实数a的取值范围是(-∞,0).

素养达成

13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是. 

【答案】(-4,-3).

【解析】令f(x)-x+b=0,

所以b=x-|x(x+3)|,

作出y=x-|x(x+3)|的图象,

要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,

则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3.