人教版2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷04 解析版

期末测试卷03

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

测试范围：必修第一册（人教A版2019）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则集合与集合的关系是(　)。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，，故有，故选A。

2．若命题：，则为(  )。

A、且

B、或

C、且

D、

【答案】B

【解析】∵，∴且，∴：或，故选B。

3．已知，，且，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，即最小值为，故选D。

4．若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】，，得，∴，

令，则，∴，故选D。

5．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，

若，则，可取，

若，则需，，解得，

∴的范围为，故选D。

6．已知函数(，)的最小正周期为，将的图像向右平移个单位后得函数的图像，则函数的图像(  )。

A、关于直线对称

B、关于直线对称

C、关于点对称

D、关于点对称

【答案】D

【解析】由题意得，故，∴，

∴，

又，∴，∴，

令()，解得()，

即的对称轴为()，经检验、都不符合，

∴令()，解得()，

即的对称中心为()，经检验不符合，符合，

故选D。

7．设函数，，若实数、分别是、的零点，则下列不等式一定成立的是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵、连续且都为单调增函数，

∴、各只有唯一一个零点，则：

，，则，

，，则，

∴，，选A。

8．已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，在定义域上是减函数，

∴时，，

又∵，

∴一种情况是、、都为负值①，

另一种情况是，，②，

在同一坐标系内画函数与的图象，

对于①要求、、都大于，对于②要求、都小于是，大于。

两种情况综合可得不可能成立，故选D。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．若集合，，且，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】ABC

【解析】，，

当时，，，可取，

当时，，令，，可取，令，，可取，

综上、或，故选ABC。

10．已知，则(　)。

A、

B、

C、

D、

【答案】AC

【解析】原式转化为，则，

∴，则或，

当时，

，

当时，，

故选AC。

11．已知函数的值域为，则下列说法正确的是(　)。

A、

B、

C、

D、

【答案】BC

【解析】设，函数式变形为，()，

由已知得，则，即，

其解集为，则和是方程的两个根，

应用韦达定理得，，，故选BC。

12．已知为定义在内的偶函数，对都有，当任意，且时，恒成立，则下列命题正确的是(  )。

A、

B、直线是函数的图像的一条对称轴

C、函数在区间内为增函数

D、方程在区间内有四个实数根

【答案】BD

【解析】A选项，∵为上的偶函数，且对，均有，

∴令得：，∴，错，

B选项，∵，∴，∴是以为周期的偶函数，

∴，，∴，

∴图像关于对称，对，

C选项，∵当且时，恒成立，

∴在上为增函数，

又函数是偶函数，∴在上为减函数，

又函数是以为周期的函数，∴在上为减函数，错，

D选项，∵在上为减函数，在上为增函数，且，

∴方程在上有个实根(和)，

又函数是以为周期的函数，

∴方程在上有个实根()，

在区间上有一个实根()，

∴方程在上有个实根，对，

故选BD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．定义集合运算，若，，则集合中的元素个数为      。

【答案】

【解析】∵，，

∴，

因此中的元素个数为。

14．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高。当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低。设住第层楼时，环境不满意程度为。则此人应选第       楼，会有一个最佳满意度。

【答案】

【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，∵，

当且仅当，即时取等号，

但考虑到，∴当时，当时，

即此人应选楼，不满意度最低。

15．设函数，则函数零点的个数是       。

【答案】

【解析】的零点相当于：

与的两图像的交点，

作图，有四个交点。

16．将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到图像，若，且、，则的最大值为        。

【答案】

【解析】由题意可得，∴，

又，∴，

由，得()，

∵、，∴。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知全集，非空集合，。

(1)当时，求；

(2)命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围。

【解析】(1)∵时，，                                  2分

，                                 4分

全集，∴，∴；            5分

(2)∵命题：，命题：，是的必要条件，∴，               6分

∵，∴，                             8分

∵，，

∴，解得或，故实数的取值范围。     10分

18．（本小题满分12分）

定义在上的函数满足，当时有。

(1)求在上的解析式；

(2)判断在上的单调性并用定义证明。

【解析】(1)设，则，∵，且时，，     2分

∴时，有，                         4分

在中，令，，                     5分

综上，当时，有：；                         6分

(2)在上是减函数，证明：设，则，，  8分

∴，，

∴，                   10分

∴，∴在上是减函数。                                12分

19．（本小题满分12分）

已知函数。

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)若，求函数的值域。

【解析】(1)函数

                   ，

∴，                                                  2分

令，，∴，

∵，∴函数的单调递增区间；                               4分

(2)

，                                    6分

令，∵，∴，                      8分

∴，∴，                                   10分

∴原式可化为，，                                 11分

∴，

∴最大值为，最小值为，∴值域为。                              12分

20．（本小题满分12分）

已知函数，。

(1)求函数的解析式；

(2)解不等式；

(3)若在上单调递增，求实数的范围。

【解析】(1)∵，∴；                              2分

(2)由可得：，

等价于，解得，或，解得，         4分

∴原不等式的解集为；                                          6分

(3)依题意在上单调递增，                       7分

①当时，在上单调递增，符合题意，                    8分

②当时，为二次函数，对称轴为，                          9分

当时，图像开口向上，只需，解得，                   10分

当时，图像开口向下，只需，解得，                 11分

综上：。                                                             12分

21．（本小题满分12分）

已知函数满足(且)。

(1)判断函数的奇偶性及单调性；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；

(3)当时，恒成立，求的取值范围。

【解析】(1)令()，则，∵，

则()，                                            2分

又∵，∴为奇函数，      4分

又当时，为增函数，为增函数，

当时，为减函数，仍为增函数，                  6分

综上，可知是上递增的奇函数；                                        7分

(2)由(1)，当时，，

再由单调性及定义域可得；                   9分

(3)设，∵是上的增函数，∴在上也递增，

由得，则，

要使恒成立，只需在时恒成立，                  11分

即，解得且。                    12分

22．（本小题满分12分）

已知函数。

(1)若且时，求的最大值和最小值；

(2)若且时，方程有两个不相等的实数根、，求的取值范围及的值。

【解析】(1)若，则，∵，∴，           1分

∴当时，的取得最大值为，

此时在的最大值为，                          3分

当时，的取得最小值为，

此时在的最小值为；                           5分

(2)若，，∵，∴，

∴，∴，                                     7分

当有两不等的根，

结合函数的图像可得或，

即，                                                         9分

由得，由，得，                           10分

即函数在内的对称性为和，

两个根分别关于和对称，                                        11分

即或。                                               12分