2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 过点M−3,2 ，N−2,3的直线倾斜角是( )
A.3π4B.π4C.π6D.π3

2. 设双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为( )
A.4B.3C.2D.1

3. 直线l:ax+y−2−a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A.1B.−1C.−2或−1D.−2或1

4. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量xi(吨)与相应的生产能耗yi(吨)的几组对应数据如表所示：
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为( )
吨吨C.5.5吨D.9.5吨

5. 若执行如图所示的程序框图，输入N=5，则输出的S等于( )

A.54B.45C.65D.56

6. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中编号落入区间[1, 450]的人做问卷A，编号落入区间[451, 750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A.7B.9C.10D.15

7. 若甲，乙，丙三人随机站成一排，则甲乙两人相邻而站的概率为( )
A.16B.13C.12D.23

8. 如图，在利用随机模拟方法估计函数y=x2的图象，直线x=−1，x=1以及x轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为( )


9. 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，可见部分信息如下，据此计算得到：参加数学抽测的人数n，分数在[90, 100]内的人数分别为( )

A.25，2B.25，4C.24，2D.24，4

10. 已知双曲线的方程为y24−x212=1，F1，F2是其两个焦点，点P为双曲线上一点，|PF1|=5，则|PF2|等于( )
A.1或9B.9C.5+43或5−43D.5+43

11. 若椭圆 mx2+ny2=1m>0,n>0与直线y=1−x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为( )
A.12B.22C.32D.62

12. 已知点F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右两焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若△PQF2是以 ∠PQF2为顶角的等腰三角形，其中∠PQF2∈[π3,π），则双曲线离心率e的取值范围为( )
A.[7,3)B.[1,7)C.[5,3)D.[5,7)
二、填空题

空间直角坐标系中与点P(2, 3, 5)关于yOz平面对称的点为P′，则点P′的坐标为________．

直线x−y+5=0被圆x2+y2−2x−4y−4=0所截得的弦长等于________．

直线l:y=kx−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．

已知椭圆C:x2m+y2m−4=1m>4的右焦点为F，点A−2,2为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|=6，则实数m的取值范围为________.
三、解答题

已知直线l1:2x+y+2=0；l2:mx+4y+n=0.
(1)若l1⊥l2，求m的值.

(2)若l1//l2，且他们的距离为5，求m，n的值.

某校某班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110∼120的学生有14人.

(1)求总人数N和分数在120∼125的人数n；

(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？

为进一步提升摩托车，电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，有效减少交通事故死亡人数，2020年4月，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．为研究交通事故中摩托车驾乘人员致死与是否戴头盔有关，现对发生交通事故的摩托车驾乘人员做相关调查，制成如下2×2列联表．

(1)现从交通事故致死的驾乘人员中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行调查，求这2人都是不戴头盔致死的概率：

(2)试问：有多大把握认为交通事故中摩托车驾乘人员致死与不戴头盔有关？附： K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d（其中n=a+b+c+d）

某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x−2010，z=y−5得到表2：

(1)求z关于t的线性回归方程；

(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；

(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

已知点A4,4，B0,3，直线l:y=x−1，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
(1)若圆心C也在直线y=3x−7上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MB|=2|MO|，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围．

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，M是椭圆短轴的一个顶点，且△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知直线l:x−my−t=0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，使得四边形OAPB恰好为平行四边形，求直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
斜率的计算公式
【解析】
利用斜率公式解得k=1，再利用k=tanα得解
【解答】
解：由题设得k=3−2−2−−3=1,
即tanα=1，所以α=π4.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
利用双曲线的标准方程，即得此双曲线的渐近线方程，再与已知条件对照即可得出答案．
【解答】
解：∵ 双曲线的标准方程为x2a2−y29=1，
∴ 它的渐近线方程为y=±3ax，即3x±ay=0，
∵ 双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，
∴ a=2．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值．
【解答】
解：由直线的方程：ax+y−2−a=0得，
此直线在x轴和y轴上的截距分别为a+2a 和2+a，
由a+2a=2+a，
得a=1或a=−2.
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由表中数据，计算x¯、y¯，利用线性回归方程过样本中心点(x¯, y¯)求出a的值，写出线性回归方程，计算x＝7时y∧的值即可．
【解答】
解：由表中数据，计算得
x¯=14×(3+4+5+6)=4.5，
y¯=14×(2.5+3+4+4.5)=3.5.
∵ 线性回归方程y=0.7x+a过样本中心点(x¯, y¯)，
即3.5=0.7×4.5+a，
解得a=0.35，
∴ x，y的线性回归方程是y=0.7x+0.35.
当x=7时，估计生产7吨产品的生产能耗为：
y=0.7×7+0.35=5.25(吨)．
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知N=5，k=1，S=0，
S=0+11×2=12，k10.828，
故在犯错误的概率不超过0.001的情况下，
有99.9%的把握认为摩托车驾乘人员交通事故致死与不戴头盔有关．
【答案】
解：(1)t¯ = 1+2+3+4+55 =3，
z¯ = 0+1+2+3+55 =2.2，
i=15tizi=45，i=15t12=55，
b=45−5×3×2.255−5×9=1.2 ，
a=z¯ −bt¯=2.2−3×1.2=−1.4，
∴z=1.2t−1.4.
(2)将t=x−2012，z=y−5代入z=1.2t−1.4，
得y−5=1.2（x−2012）−1.4，
即y =1.2x−2410.8.
(3)∵y =1.2×2022−2410.8=15.6．
∴预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由已知表格中的数据求得t¯，z¯，得到b与a，则线性回归方程可求.
将t=x−2012，z=y−5代入z＝1.2t−1.4＝1.2t−1.4，即可得y关于x的回归方程.
在（2）中的回归方程中，取x=2022求得y值即可．
【解答】
解：(1)t¯ = 1+2+3+4+55 =3，
z¯ = 0+1+2+3+55 =2.2，
i=15tizi=45，i=15t12=55，
b=45−5×3×2.255−5×9=1.2 ，
a=z¯ −bt¯=2.2−3×1.2=−1.4，
∴z=1.2t−1.4.
(2)将t=x−2012，z=y−5代入z=1.2t−1.4，
得y−5=1.2（x−2012）−1.4，
即y =1.2x−2410.8.
(3)∵y =1.2×2022−2410.8=15.6．
∴预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．
【答案】
解：(1)由y=x−1，y=3x−7，得：C3,2，
所以圆C：x−32+y−22=1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=kx−4，
由d=|2−k|k2+1=1，解得：k=34，
当切线的斜率不存在时，即x=4也满足，
所以切线方程为：x=4或3x−4y+4=0．
(2)由圆心C在直线l：y=x−1上．设Ca,a−1，
设点Mx,y，由|MB|=2|MO|得：x2+y−32=2x2+y2，
化简得：x2+y+12=4，
所以点M在以D0,−1为圆心，2为半径的圆上，
又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则1≤|CD|≤3，
即1≤a2+a2≤3，
解得：−322≤a≤−22或22≤a≤322．
【考点】
点到直线的距离公式
圆的切线方程
两点间的距离公式
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)由y=x−1，y=3x−7，得：C3,2，
所以圆C：x−32+y−22=1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=kx−4，
由d=|2−k|k2+1=1，解得：k=34，
当切线的斜率不存在时，即x=4也满足，
所以切线方程为：x=4或3x−4y+4=0．
(2)由圆心C在直线l：y=x−1上．设Ca,a−1，
设点Mx,y，由|MB|=2|MO|得：x2+y−32=2x2+y2，
化简得：x2+y+12=4，
所以点M在以D0,−1为圆心，2为半径的圆上，
又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则1≤|CD|≤3，
即1≤a2+a2≤3，
解得：−322≤a≤−22或22≤a≤322．
【答案】
解：(1)由已知得F1(−c,0)，F2(c,0)，设M(0,b)．
∵ △MF1F2是面积为1的等腰直角三角形，
∴ b=c=1，a=2，
∴ 椭圆E的方程为x22+y2=1．
(2)由题意可设A(x1,y1)，B(x2,y2)．
联立x22+y2=1，x=my+t，
整理得(m2+2)y2+2mty+t2−2=0，
则Δ=8(m2+2−t2)>0，
根据韦达定理得y1+y2=−2mtm2+2，y1y2=t2−2m2+2，
因为四边形OAPB恰好为平行四边形，
所以OP→=OA→+OB→，
所以yP=y1+y2=−2mtm2+2，
xP=x1+x1=my1+t+my2+t
=m(y1+y2)+2t=4tm2+2．
因为点P在椭圆C上，
所以16t22(m2+2)+4m2t2(m2+2)=1，
整理得4(m2+2)t2(m2+2)2=1，即4t2=m2+2，
在直线l：x−my−t=0中，
由于直线l与坐标轴围成三角形，
则t≠0，m≠0．
令x=0，得y=−tm，
令y=0，得x=t，
所以三角形面积为S=12|t|−tm=18⋅m2+2|m|
=18|m|+2|m|≥18×22=24，
当且仅当m2=2，t2=1时，取等号，此时Δ=24>0，
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为24．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知得F1(−c,0)，F2(c,0)，设M(0,b)．
∵ △MF1F2是面积为1的等腰直角三角形，
∴ b=c=1，a=2，
∴ 椭圆E的方程为x22+y2=1．
(2)由题意可设A(x1,y1)，B(x2,y2)．
联立x22+y2=1，x=my+t，
整理得(m2+2)y2+2mty+t2−2=0，
则Δ=8(m2+2−t2)>0，
根据韦达定理得y1+y2=−2mtm2+2，y1y2=t2−2m2+2，
因为四边形OAPB恰好为平行四边形，
所以OP→=OA→+OB→，
所以yP=y1+y2=−2mtm2+2，
xP=x1+x1=my1+t+my2+t
=m(y1+y2)+2t=4tm2+2．
因为点P在椭圆C上，
所以16t22(m2+2)+4m2t2(m2+2)=1，
整理得4(m2+2)t2(m2+2)2=1，即4t2=m2+2，
在直线l：x−my−t=0中，
由于直线l与坐标轴围成三角形，
则t≠0，m≠0．
令x=0，得y=−tm，
令y=0，得x=t，
所以三角形面积为S=12|t|−tm=18⋅m2+2|m|
=18|m|+2|m|≥18×22=24，
当且仅当m2=2，t2=1时，取等号，此时Δ=24>0，
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为24．x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
交通事故致死
交通事故不致死
总计
不戴头盔
80
20
100
戴头盔
20
80
100
总计
100
100
200
P(K≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5