高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数测试题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1.已知 ， ， ，则（    ）           

A.                            B.                            C.                            D. 

【答案】 C  

【解析】由 ， ，可得 ， ，

则有 ，所以 ； ，则 .

故答案为：C

2.命题p：关于x的不等式 能成立时，实数a的取值范围．命题q：关于a的不等式 的解．则命题P是命题q的（    ）           

A. 充要条件             B. 即不充分也不必要条件 

C. 必要不充分条件             D. 充分不必要条件 

【答案】 D  

【解析】解:对于命题 ，令 ，

由函数在 上单调递减，在 上单调递增，

故函数 的最小值为 ，

故由x的不等式 能成立时，则 ，

即实数a的取值范围为 ，

对于命题 ，当 时， ，由对数函数的单调性得： ，

当 时， ，由对数函数的单调性得： ，

综上，关于a的不等式 的解集为 ，

因为 ⫋ ，

所以命题p是命题1的充分不必要条件.

故答案为：D.

 3.已知 ， ， ，则（    ）           

A.                            B.                            C.                            D.   

【答案】 C  

【解析】构造函数 ，

令 ，可得 ，

当 ， ， 为减函数，

故可得 时， 为减函数，

，而 ，

可得 ，

故答案为：C.

4.已知 ， 为实数，则“ ”是“ ”的（    ）           

A. 充分而不必要条件           B. 必要而不充分条件
C. 充要条件                   D. 既不充分又不必要条件 

【答案】 C  

【解析】充分性：∵ 为增函数，∴ 时有 ，故充分性满足；

必要性：∵ 为增函数，∴ 时可以得到 ，故必要性满足；

∴“ ”是“ ”的充要条件.

故答案为：C

5.已知 ， ， ，则（    ）           

A.                            B.   

C.                            D.   

【答案】 B  

【解析】因为 ， ， ，

所以 .

故答案为：B

6.函数 的定义域是（    ）           

A.                              B.                              C.                              D. 

【答案】 D  

【解析】由题意，函数 有意义，则满足 ，解得 ，

即函数 的定义域为 .

故答案为：D.

二、填空题

7.函数 的最大值是________．   

【答案】 2  

【解析】设 ，则 ，即求 在 上的最大值，

由 在 上是单调递增函数，

所以当 ，即 时，函数有最大值2.

故答案为：2.

8.函数 的定义域为________．   

【答案】 {x｜-1＜x＜3}  

【解析】 ，得

故答案为：{x|-1＜x＜3}

9.已知函数 且 ，且的图象恒过定点 ，则点 的坐标为________.   

【答案】 （2,1）  

【解析】令 ，则 ， ，即 图象过定点（2,1）．

故答案为：（2,1）

三、解答题

10.已知集合 .   

（1）求 ；   

（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.   

【答案】 （1）解： ， ， ，  

.

（2）解：当 时， ，即 成立；  

当 时， 成立.

综上所述， ．

【解析】(1)首先由指数函数的单调性即可求出x的取值范围由此得到集合A，再由对数函数的单调性即可求出x的取值范围由此得到集合B，再由并集以及补集的定义即可得出答案。
(2)根据题意由即可得出集合之间的关系，对集合C分情况讨论结合边界点的位置关系即可得出a的不等式组，求解出a的取值范围即可。

11.已知函数 .   

（1）求不等式 的解集；   

（2）判断并证明 的单调性.   

【答案】 （1）解：因为 ，又 ，所以 ，所以    

解 即 ，解得 ；解 ，即 ，所以 ，解得 或 ，

综上可得不等式组的解集为

（2）解：因为 ，所以函数的定义域为 ，函数在定义域上单调递增，  

证明：设 且 ，

因为 ，所以 ，所以 ， ， ，

所以 ，所以

所以

所以

即 在 上单调递增

【解析】(1)首先由已知条件即可得出不等式再由对数函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
(2)根据题意由函数单调性的定义结合对数的运算性质即可得证出结论。

12.已知函数 是定义在 上的奇函数，其中a为常数.   

（1）求a的值；   

（2）设函数 ，求不等式 的解集.   

【答案】 （1）解：函数 是奇函数，所以 ，  

即 恒成立，即 恒成立，即 ，故 ，即 或 .

当 时，显然不符合题意，舍去； 时，显然适合.

故

（2）解：由（1）知， ，  

故 ，定义域为 ，

故 即 ，所以 ， ，

故不等式的解集为

【解析】（1）利用奇函数的定义求出a的值。
（2）利用（1）求出的a的值，进而求出函数的解析式，从而求出函数g(x)的解析式，再利用对数函数的单调性结合对数函数的定义域，进而结合交集的运算法则求出不等式 的解集。