2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共9页。试卷主要包含了 圆C1， 夹在两条平行线l1等内容，欢迎下载使用。

1. 直线x+3y+1=0的倾斜角为( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

2. 椭圆x225+y216=1的离心率是（ ）
A.35B.45C.34D.541

3. 若双曲线-＝1的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x

4. 顶点在原点，准线为y＝2的抛物线方程为（ ）
A.y2＝8xB.y2＝−8xC.x2＝8yD.x2＝−8y

5. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )

A.B.C.D.

6. 直线x+2y−5+5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为( )
A.1B.2C.4D.46

7. 圆C1:x2+y2+2x+2y−2＝0与圆C2:x2+y2−4x−2y+4＝0的公切线有（ ）
A.1条B.2条C.3条D.4条

8. 夹在两条平行线l1:3x−4y=0与l2:3x−4y−20=0之间的圆的最大面积为（ ）
A.2πB.4πC.8πD.16π

9. 过点P(1, 2)的直线与圆x2+y2＝1相切，且与直线ax+y−1＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A.0B.−43C.0或43D.43

10. 经过椭圆x22+y2＝1的一个焦点作倾斜角为45∘的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA→⋅OB→等于（ ）
A.−3B.−13C.−13或−3D.±13

11. 双曲线x2a2−y2b2=1(a, b>0)离心率为3，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线方程为（ ）
A.x22−y2＝1B.x2−y22=1C.x2−y23=1D.x23−y2＝1

12. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|=322S，则p＝（ ）
A.12B.1C.32D.2
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

已知直线l:x+my−3＝0与圆C:x2+y2＝4相切，则m＝________．

棱长为2的正方体体积为________．

已知双曲线方程是x2−y22=1，过定点P(2, 1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2, 1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．

设l表示直线，α，β表示平面．给出下列四个结论：
①如果L // α，则α内有无数条直线与l平行；
②如果l // α，则α内任意一条直线都与l平行；
③如果α // β，则α内任意一条直线都与β平行；
④如果α // β，对于α内的一条确定的直线l，在β内仅有唯一一条直线与l平行．
以上四个结论中，正确结论的个数为________
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
(Ⅱ)证明：直线MN // 平面BDH；
(Ⅲ)求二面角A−EG−M的余弦值．


已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2＝−4y的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点P(2, 1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．

如图，过点F(1, 0)的直线l与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点．

（1）若|AB|＝8，求直线l的方程；

（2）记抛物线C的准线为l′，设直线OA，OB分别交l′于点N，M，求的值．

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．

（1）求异面直线SC和BD的成角大小；

（2）求证：平面EFG // 平面BDD1B1．

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线x−y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

已知椭圆C：+＝1(a>0, b>0)的离心率为，A(a, 0)，B(0, b)，O(0, 0)，△OAB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|⋅|BM|为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（文科）
一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．
【解答】
解：直线x+3y+1＝0的斜率k=−13=−33，
设其倾斜角为θ(0∘≤θ0，
当k2=2即k=±2时，与渐近线的斜率相等，
即k=±2的直线l与双曲线不可能有两个交点，
综上所述，所求直线方程为y=4x−7．
故答案为：4x−y−7=0．
【答案】
2个
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
（1）F、G、H的位置如图；
证明：(Ⅱ)连接BD，设O是BD的中点，
∵ BC的中点为M、GH的中点为N，
∴ OM // CD，OM=12CD，
HN // CD，HN=12CD，
∴ OM // HN，OM＝HN，
即四边形MNHO是平行四边形，
∴ MN // OH，
∵ MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，
∴ 直线MN // 平面BDH；
(Ⅲ)方法一：
连接AC，过M作MH⊥AC于P，
则正方体ABCD−EFGH中，AC // EG，
∴ MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM，
∴ EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A−EG−M的平面角，
设AD＝2，则CM＝1，PK＝2，
在Rt△CMP中，PM＝CMsin45∘=22，
在Rt△PKM中，KM=PK2+PM2=322，
∴ cs∠PKM=PKKM=223，
即二面角A−EG−M的余弦值为223．
方法二：以D为坐标原点，
分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：
设AD＝2，则M(1, 2, 0)，G(0, 2, 2)，E(2, 0, 2)，O(1, 1, 0)，
则GE→=(2, −2, 0)，MG→=(−1,0,2)，
设平面EGM的法向量为n→=(x, y, z)，
则n→⋅GE→=0n→⋅MG→=0 ，即2x−2y=0−x+2z=0 ，令x＝2，得n→=(2, 2, 1)，
在正方体中，DO⊥平面AEGC，
则m→=DO→=(1, 1, 0)是平面AEG的一个法向量，
则cs=m→⋅n→|m→||n→|=2+29×2=432=223．
二面角A−EG−M的余弦值为223．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
(Ⅰ)根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；
(Ⅱ)利用线面平行的判定定理即可证明直线MN // 平面BDH；
(Ⅲ)法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．
法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】
（1）F、G、H的位置如图；
证明：(Ⅱ)连接BD，设O是BD的中点，
∵ BC的中点为M、GH的中点为N，
∴ OM // CD，OM=12CD，
HN // CD，HN=12CD，
∴ OM // HN，OM＝HN，
即四边形MNHO是平行四边形，
∴ MN // OH，
∵ MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，
∴ 直线MN // 平面BDH；
(Ⅲ)方法一：
连接AC，过M作MH⊥AC于P，
则正方体ABCD−EFGH中，AC // EG，
∴ MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM，
∴ EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A−EG−M的平面角，
设AD＝2，则CM＝1，PK＝2，
在Rt△CMP中，PM＝CMsin45∘=22，
在Rt△PKM中，KM=PK2+PM2=322，
∴ cs∠PKM=PKKM=223，
即二面角A−EG−M的余弦值为223．
方法二：以D为坐标原点，
分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：
设AD＝2，则M(1, 2, 0)，G(0, 2, 2)，E(2, 0, 2)，O(1, 1, 0)，
则GE→=(2, −2, 0)，MG→=(−1,0,2)，
设平面EGM的法向量为n→=(x, y, z)，
则n→⋅GE→=0n→⋅MG→=0 ，即2x−2y=0−x+2z=0 ，令x＝2，得n→=(2, 2, 1)，
在正方体中，DO⊥平面AEGC，
则m→=DO→=(1, 1, 0)是平面AEG的一个法向量，
则cs=m→⋅n→|m→||n→|=2+29×2=432=223．
二面角A−EG−M的余弦值为223．
【答案】
由抛物线的方程可得焦点坐标为：(0，-），
设椭圆的方程为：+＝1(a>b>0)，
由题意可得椭圆中的参数b＝，b2＝a2−c4，又e＝＝，
所以可得a＝5，c＝1，
所以椭圆的方程为：+＝5；
当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，
设切线的方程为：y＝kx+m，k0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2＝4−a，x1x2=a2−2a+12⋯①
由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，又y1＝x1+a，y2＝x2+a，所以可得2x1x2+a(x1+x2)+a2＝0…②
由①②可得a＝−1，满足△＝56−16a−4a2>0．故a＝−1．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数；
（2）利用设而不求思想设出圆C与直线x−y+a＝0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．
【解答】
圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0，x＝0，y＝1有1+E+F＝0
y＝0，x2 −6x+1＝0与x2+Dx+F＝0是同一方程，故有D＝−6，F＝1，E＝−2，
即圆方程为x2+y2−6x−2y+1＝0；
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，其坐标满足方程组x2+y2−6x−2y+1=0x−y+a=0
消去y，得到方程2x2+(2a−8)x+a2−2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56−16a−4a2>0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2＝4−a，x1x2=a2−2a+12⋯①
由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，又y1＝x1+a，y2＝x2+a，所以可得2x1x2+a(x1+x2)+a2＝0…②
由①②可得a＝−1，满足△＝56−16a−4a2>0．故a＝−1．
【答案】
由题意可得e＝＝，＝，c2＝a2−b2，
解得a2＝3，b2＝2，
所以椭圆的方程为+＝2；
由（1）可得A（，0)，），
设P（x0, y0,），则+＝8；
直线PA的方程为y＝(x−），
令x＝0，可得y＝，），
直线PB的方程为y−＝x，
令y＝5，可得x＝，8)，
所以|AN|⋅|BM|＝|+|⋅|+|
＝|+++|
＝|++|
＝|+|
＝|+|
＝4，
所以|AN|⋅|BM|为定值2．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答