2020-2021学年湖南省常德市高二（上）9月月考考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省常德市高二（上）9月月考考试数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M=1,2，则下列关系成立的是（ ）
A.2⊇MB.2∉MC.2∈MD.1∈M

2. 化简(1−sin30∘)(1+sin30∘)得到的结果是( )
A.34B.14C.0D.1

3. 设fx=1x,x≥1,2,x<1, 则f1的值为（ ）
A.0B.1C.2D.−1

4. 已知倾斜角为θ的直线l1，与直线l2：x−3y+1=0垂直，则tanθ=( )
A.13B.−3C.3D.−13

5. 某袋中有9个大小相同的球，其中有4个红球，5个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）
A.15B.14C.59D.49

6. 已知向量|a→|=|b→|=1，a，b的夹角为60∘，则|a→+b→|=（ ）
A.3B.13C.3D.2

7. 某班有50名同学，将其编为1，2，3，⋯，50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为2，第2组抽取的学生编号为12，则第4组抽取的学生编号为( )
A.13B.22C.32D.42

8. 已知两点P(4, 0)，Q(0, 2)，则以线段PQ为直径的圆的方程是（ ）
A.(x+2)2+(y+1)2=5B.(x−2)2+(y−1)2=5
C.(x−2)2+(y−1)2=10D.(x+2)2+(y+1)2=10

9. 已知f(x)是定义在(−∞, 0)上的减函数，且f(1−m)A.m<2B.1
10. 三个数a=312，b=(12)3，c=lg312的大小顺序为（ ）
A.b二、填空题

函数fx=lg2x−1的定义域为________．

函数 y=sinωx+φ的最小正周期为π．则正实数ω的值为________.

已知向量a→与b→的夹角为π4，若|a→|=2，且a→⋅b→=4，则|b→|=________．

若△ABC的面积为3，BC=2，C=60∘，则边AB的长度等于________．

已知直线l:x+y+2=0．圆C:x2+y2=r2r>0，若直线l与圆C有交点，则圆C的半径r的取值范围是________.
三、解答题

已知定义域为R的二次函数y=fx=ax2+bx+c，它的部分图象如图所示．

(1)求函数fx的表达式；

(2)写出函数fx的单调区间．

某中学有1000人参加环保知识竞赛，现从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图估计本次竞赛成绩的众数及求实数a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数．

如图AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点．

(1)求证： BC⊥平面PAC；

(2)设PA=1，AB=2，C为弧AB的中点，求PC与平面ABC所成角的正弦值．

已知向量a→=sinx,1，b→=1,csx，x∈R.
(1)当x=π4时，求向量a→+b→的坐标；

(2)设函数fx=a→⋅b→，将函数fx图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到gx的图象，当x∈0,π2时，求函数gx的最大值．

已知数列{an}满足：a3=−13，an=an−1+4(n>1, n∈N)．
(1)求a1，a2及通项an；

(2)设Sn是数列{an}的前n项和，则数列S1，S2，S3，⋯中哪一项最小？并求出这个最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省常德市高二（上）9月月考考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据集合的表示，判定元素是否是集合中的元素即可．
【解答】
解：∵ 1，2是集合中的元素，
∴ 1，2∈M.
故B错误，D正确；
对于A，应为2⊆M，故AC错误．
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=1−sin230∘
=1−14
=34．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
由1≥1，利用分段函数的性质得f1=11=1.
【解答】
解：由fx=1x,x≥1,2,x<1可得：
f1=11=1.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
利用直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】
解：∵ 直线x−3y+1=0的斜率为13，
∴ 与此直线垂直的直线的斜率k=−3,
∴ tanθ=−3.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可求概率．
【解答】
解：袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法，
5个白球，现从中任意取出1个，取出的球恰好是白球，共有5种取法，
故取出的球恰好是白球的概率为59.
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
利用向量的数量积以及向量的模，转化求解即可．
【解答】
解：向量|a→|=|b→|=1，a，b的夹角为60∘，
则|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2
=1+1+2×1×1×12=3.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义求出抽取间隔即可得到结论．
【解答】
解：50名抽取5名学生，则抽取间隔为50÷5=10，
则抽取编号为2+10(n−1)，则第4组抽取的学生编号为2+30=32.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
【解析】
求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．
【解答】
解：∵ 圆的直径为线段PQ，
∴ 圆心坐标为(2, 1)，
半径r=|PQ|2=42+(0−2)22=5，
∴ 圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5．
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
用单调性定义求解，由“f(x)在(−∞, 0)上是减函数”则有自变量在区间内，且自变量变化与函数值变化异向．
【解答】
解：依题意得：1−m<0，①
m−3<0，②
1−m>m−3，③
联立①②③解得：1故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
根据所给的三个式子和1，和0的关系，把a与30进行比较，把b与(12)0进行比较，把c同lg31进行比较，得到三个数字的大小关系．
【解答】
解：∵ a=312>30=1，
0<(12)3<(12)0=1，
lg312∴ a>b>c.
故选D.
二、填空题
【答案】
(1,+∞)
【考点】
对数函数的定义域
【解析】
由于函数fx=lg2x−1具体给出，利用要求函数的定义域只需使得解析式都有意义即可，建立方程解出定义域．
【解答】
解：由函数fx=lg2x−1的解析式可知：
x−1>0，
解得：x>1，
即定义域为(1,+∞).
故答案为：(1,+∞).
【答案】
2
【考点】
正弦函数的周期性
【解析】
若函数y=sin ωx+φ的最小正周期为π，则T=2π|ω|=π，解得ω=±2，则正实数ω的值为2.
【解答】
解：若函数y=sin ωx+φ的最小正周期为π，
则T=2π|ω|=π，解得ω=±2，则正实数ω的值为2.
故答案为：2.
【答案】
4
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由条件=π4,|a→|=2，a→⋅b→=4带入向量数量积的计算公式便可得出2|b→|⋅22=4，这样便可得出|b→|的值．
【解答】
解：根据条件，a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅csπ4=2⋅|b→|⋅22=4.
∴ |b→|=4．
故答案为：4.
【答案】
2
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．
【解答】
解：∵ △ABC的面积为3，BC=a=2，C=60∘，
∴ 12absinC=3，即b=2，
由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC=4+4−4=4，
则AB=c=2.
故答案为：2.
【答案】
[2,+∞)
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由题意可知，直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离d与圆的半径r相等；根据点到直线的距离公式即可计算出半径值．
【解答】
解：直线l与圆C相切，
根据点到直线的距离公式d=r=|2|2=2，
则圆C的半径最小值可为r=2，
则圆C的半径r的取值范围是[2,+∞).
故答案为：[2,+∞).
三、解答题
【答案】
解：(1)把0,0，1,−1，2,0代入y=ax2+bx+c中，
c=0,a+b+c=−1,4a+2b+c=0,
解得:c=0,b=−2,a=1,
则fx=x2−2x.
(2)根据图象可知fx=x2−2x在(−∞,1)上是减函数；在[1,+∞)上是增函数.
【考点】
二次函数的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
用待定系数法即可求出方程的解析式.
根据函数图像，即可解答.
【解答】
解：(1)把0,0，1,−1，2,0代入y=ax2+bx+c中，
c=0,a+b+c=−1,4a+2b+c=0,
解得:c=0,b=−2,a=1,
则fx=x2−2x.
(2)根据图象可知fx=x2−2x在(−∞,1)上是减函数；在[1,+∞)上是增函数.
【答案】
解：(1)根据频率和等于1，得
2a+0.030+0.025+0.010+0.005×10=1，
解得a=0.015．
又频率分布直方图中最高的小矩形底边的中点为70+802=75，
所以众数为75．
(2)根据频率分布直方图，学生成绩在60分（含60分）以上的频率为
1−0.10−0.15=0.75，
所以估计该校1000名学生中成绩在60分（含60分）以上的人数为
1000×0.75=750．
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；再由分布图中最高的小矩形底边中点求出众数是多少．
（2）根据频率分布直方图，计算学生成绩在60（分）（含60分）以上的频率与频数即可．
【解答】
解：(1)根据频率和等于1，得
2a+0.030+0.025+0.010+0.005×10=1，
解得a=0.015．
又频率分布直方图中最高的小矩形底边的中点为70+802=75，
所以众数为75．
(2)根据频率分布直方图，学生成绩在60分（含60分）以上的频率为
1−0.10−0.15=0.75，
所以估计该校1000名学生中成绩在60分（含60分）以上的人数为
1000×0.75=750．
【答案】
(1)证明：∵ C为圆上一点，AB为直径，
∴ AC⊥BC.
又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ PA⊥BC.
又∵ AC∩PA=A，
PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
(2)解：∵ C为弧AB的中点，
∴ AC=BC.
∵ AB=2，
∴ AC=BC=1.
∵ PA⊥AC，
∴ PC=PA2+AC2=2，
∴ sin∠PCA=12=22，
∴ PC与平面ABC所成角的正弦值为22.
【考点】
直线与平面所成的角
直线与平面垂直的判定
【解析】
（1）证明AC⊥BC，PA⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC．

【解答】
(1)证明：∵ C为圆上一点，AB为直径，
∴ AC⊥BC.
又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ PA⊥BC.
又∵ AC∩PA=A，
PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
(2)解：∵ C为弧AB的中点，
∴ AC=BC.
∵ AB=2，
∴ AC=BC=1.
∵ PA⊥AC，
∴ PC=PA2+AC2=2，
∴ sin∠PCA=12=22，
∴ PC与平面ABC所成角的正弦值为22.
【答案】
解：(1)当x=π4时，向量a→=22,1，b→=1,22，
所以a→+b→=2+22,2+22．
(2)依题意知，fx=a→⋅b→=sinx+csx=2sinx+π4，
所以gx=fx+π4=2sinx+π2=2csx，
又x∈0,π2，
所以当x=0时，
函数gx取得最大值为gxmax=g(0)=2．
【考点】
诱导公式
三角函数的最值
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
【解析】
（1）求出x=π4时向量a→和b→，再求两向量的和；
（2）化简函数fx，根据坐标平移得出函数gx ，再求x∈0,π2时函数gx的最大值．
【解答】
解：(1)当x=π4时，向量a→=22,1，b→=1,22，
所以a→+b→=2+22,2+22．
(2)依题意知，fx=a→⋅b→=sinx+csx=2sinx+π4，
所以gx=fx+π4=2sinx+π2=2csx，
又x∈0,π2，
所以当x=0时，
函数gx取得最大值为gxmax=g(0)=2．
【答案】
解：(1)根据题意，数列{an}满足an=an−1+4，
即an−an−1=4，则数列{an}是公差为4的等差数列，
又由a3=−13，则an=a3+4×(n−3)=4n−25，
则a2=4×2−25=−17，
a1=4−25=−21.
(2)根据题意，由(1)的结论，an=4n−25，
分析可得：当n≤6时，an<0，当n≥7时，an>0，
即数列{an}的前6项为负值，从第7项开始为正值，
故数列S1，S2，S3，⋯中，S6最小．
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
（1）根据题意，分析可得an−an−1＝4，则数列{an}是公差为4的等差数列，结合a3＝−13分析可得数列{an}的通项公式，进而分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论分析可得当n≤6时，an<0，当n≥7时，an>0，据此分析可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，数列{an}满足an=an−1+4，
即an−an−1=4，则数列{an}是公差为4的等差数列，
又由a3=−13，则an=a3+4×(n−3)=4n−25，
则a2=4×2−25=−17，
a1=4−25=−21.
(2)根据题意，由(1)的结论，an=4n−25，
分析可得：当n≤6时，an<0，当n≥7时，an>0，
即数列{an}的前6项为负值，从第7项开始为正值，
故数列S1，S2，S3，⋯中，S6最小．