2021年湖北省黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（二）(word版含答案)

这是一份2021年湖北省黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（二）(word版含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（ ）
A．B．﹣3＜s≤3C．﹣6＜s≤D．
2有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若，则；③命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3若函数，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374B．390C．765D．578
4如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S△ABE＝S△ADF＝，则＝（ ）
A．3B．C．5D．
5如图，Rt三角形ABC位于第一象限，AB＝4，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（ ）
A．5B．C．D．4
6如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝，则DQ的长为（ ）
A．B．C．D．4
二、填空题（每小题5分，共30分）
7已知α为锐角，＝，则tanα＝ ．
8方程|1﹣|x+1||﹣3k＝kx有三个实数根，则k＝ ．
9从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是 ．
10把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 ，B部分的数是 ．
11如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为2，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于 ．
12如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF，CF，则的最小值为 ．
三、解答题（每小题12分，共60分）
13已知正整数x，y满足2xy+x+y＝117，求x+y的值．
14已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来
的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推．
（1）第10个1是这列数的第几项；
（2）该列数的第2018项为多少？
（3）求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该列数的前N项和为2的整数幂．（参考公式：1+q++q2+…+qn）＝
15如图，△ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q．
（1）证明：A，Q，D，E四点共圆；
（2）证明：A，Q，B，C四点共圆．
16在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|y1﹣y2|．
例如：点，点，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2﹣5|＝3，也就是图（1）中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标 ；
②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值 ；
（2）已知C是直线上的一个动点，如图（2），点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．
17如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+p的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求p的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．
（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究+是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1．若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．
答案
一、选择题（每小题5分，共30分）
1：C．
2：B．
3：C．
4：A．
5：B．
6：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7：．
8：．
9：．
10：1、2、3、4、5、8、9、10；：6、7．
11：1．
12：5．
三、解答题（每小题12分，共60分）
13
解：∵2xy+x+y＝117，
∴y＝≥1，可得x≤，
结合正整数的条件可得或，
∴x+y＝25．
14
解：（1）由题意可知，
第1个1是第1项，
第2个1是第1+1＝2项，
第3个1是第1+2+1＝4项，
第4个1是第1+2+3+1＝7项，
…
由此规律可知：第10个1是第1+2+3+…+9+1＝46项，
故第10个1是第46项；
（2）将其数列分组，使每组第一项均为1，
第一组：20，
第二组：20，21，
第三组：20，21，22，
…
第k组：20，21，22，…，2k﹣1，
共有项数为1+2+3+…+k＝，
当k＝63时，，
则2018项应该为第64组的第二项，
∴该列数的第2018项为2；
（3）由题意得，前n组的和为：S＝20+21+22+，…，+2n﹣1＝2n+1﹣n﹣2
2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可．
∴第n+1组为：1，2，4，8，…，2n
∴前n+1组的和为：2n+2﹣n﹣3
∴只需要再加上第n+2组的前两项即可消除，此时共有项数：1+2+3+…+n+n+1+2＝
∵N＞100，∴令≥100
∴n≥14，
由题意2+n＝2k+1﹣1，
可得n的最小值为29，k的最小值为4，
，此时N＝+5＝440
综上所述，N的最小值为440．
15
证明：（1）连接QA，QD，QE，QP，PD，PE，
根据对称性可知：DQ＝DP，EQ＝EP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠EQD＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠DPE，
∵E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，
∴EC＝EP，DB＝DP，
∴∠C＝∠5，∠B＝∠6，∠A+∠B+∠C＝180°，∠DPE+∠6+∠5＝180°，
∴∠A＝∠DPE＝∠EQD，
∴A，Q，D，E四点共圆；
（2）连接QB，QC，
∵A，Q，D，E四点共圆，
∴∠7＝∠8，
∴∠BDQ＝∠QEC，BD＝PD＝QD，QE＝PE＝CE，
∴△BDQ∽△CEQ，
∴∠BQD＝∠CQE，
∴∠BQC＝∠DQE＝∠DPE＝∠A，
∴A，Q，B，C四点共圆．
16
解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠3，
∴|0﹣y|＝3，
解得y＝3或y＝﹣3；
∴点B的坐标是（0，3）或（0，﹣3），
故答案为：（0，3）；
②设点B的坐标为（0，y），
当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，
∴|﹣﹣0|＝|0﹣y|，
∴当|y|≤时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为；
故答案为：；
（2）当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，
∵C是直线y＝x+4上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+4），
∴|x1﹣x2|＝﹣x0，|y1﹣y2|＝x0+4﹣1，
∴﹣x0＝x0+3，
此时，x0＝﹣，
∴x0+4＝，
∴点C与点D的“特别距离”的最小值为：|x0|＝，
此时C（﹣，）．
17
解：（1）∵一次函数y＝x+p的图象与x轴交于A（﹣1，0）
∴0＝﹣+p
∴p＝．
∴一次函数的解析式为y＝x+．
∴点C的坐标为（0，）．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是直线x＝2，
∴，解得
∴y＝﹣x2+x+．
∴p的值为，抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+x+．
（2）要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小
连接BD交x＝2于点F，因为点B与点A关于x＝2对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．
令y＝﹣x2+x+中的y＝0，则x＝﹣1或5
∴B（5，0）
∵D（0，）
∴直线BD解析式为y＝﹣x+，
∴F（2，）．
令过F（2，）的直线M1M2解析式为y＝kx+b1，
则＝2k+b1，∴b1＝﹣2k
则直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k．
解法一：
由
得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k＝0
∴x1+x2＝4﹣4k，x1x2＝﹣8k
∵y1＝kx1+﹣2k，y2＝kx2+﹣2k
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2）
∴M1M2＝
＝
＝
＝
＝
＝4（1+k2）
M1F＝
＝
＝
同理M2F＝
∴M1F•M2F＝（1+k2）
＝（1+k2）
＝（1+k2）
＝4（1+k2）＝M1M2
∴+＝
＝＝1；
解法二：
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴（x﹣2）2＝9﹣4y
设M1（x1，y1），则有（x1﹣2）2＝9﹣4y1．
∴M1F＝＝＝﹣y1；
设M2（x2，y2），同理可求得：M2F＝﹣y2．
∴+＝＝＝①．
直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k，即：y﹣＝k（x﹣2）．
联立y﹣＝k（x﹣2）与抛物线（x﹣2）2＝9﹣4y，得：
y2+（4k2﹣）y+﹣9k2＝0，
∴y1+y2＝﹣4k2，y1y2＝﹣9k2，代入①式，得：
+＝＝1．
（3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x0′，
∵抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x0′的值不断增大
∴当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x0′处取得
∴当x0＝1时，对应的x0′即为m的最大值
将x0＝1代入y2＝﹣（x﹣h）2＝﹣x得（1﹣h）2＝4，
∴h＝3或﹣1（舍）
将h＝3代入y2＝﹣（x﹣h）2＝﹣x有
﹣（x﹣3）2＝﹣x
∴x0＝1，x0′＝9．
∴m的最大值为9．