2021届四川省凉山州高三理数二模试卷及答案

这是一份2021届四川省凉山州高三理数二模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合 ， ，那么 〔 〕
A. B. 〔0，+∞〕 C. D.
2.数列 为等差数列，数列 的前5项和为 ， ，那么 〔 〕
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
3.一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如 ．在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是〔 〕
A. B. C. D.
4.中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 ，其长轴长为4，焦距为2，那么 的方程为〔 〕
A.
B. 或
C.
D. 或
5.数列 为等比数列，函数 过定点 ， ，数列 的前 项和为 ，那么 〔 〕
A. 44 B. 45 C. 46 D. 50
6.命题 实数 、 满足 ，命题 ，那么命题 是 的〔 〕条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
7.高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分〞的分数线．考生总成绩到达总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩到达及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的奉献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线奉献率〞 和“学科有效分上线命中率〞 这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的奉献与匹配程度，这对有效安排备考复习方案具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，那么该小组“数学学科对总分上线奉献率、有效分上线命中率〞分别是〔 〕〔结果保存到小数点后一位有效数字〕
A. 41.7%，71.4% B. 60%，71.4% C. 41.7%，35% D. 60%，35%
8.函数 ，假设 在 内没有零点，那么 的取值范围是〔 〕
A. B. C. D.
9.函数 ，那么 的值为〔 〕
A. 1 B. 2 C. 2021 D. 2021
10.集合 ， 是 到 的函数，方程 恰好有两个不同的根，且 ，那么函数 的零点个数为〔 〕
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4
11.、 分别为双曲线 的焦点，以 为直径的圆依次与双曲线的渐近线交于 、 、 、 四点， ，假设直线 ， 的斜率之积为 ，那么双曲线的离心率 〔 〕
A. B. C. D.
12.在 中， ，假设 ， ， ，且 ， ，那么有〔 〕
A. B. C. D.
二、填空题
13.在 的展开式中常数项为________(用数字作答).
14.复数z满足 ，且 ，那么 ________．
15.在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ，那么 在 上的投影为________．
16.三棱柱 ， 面 ， 为 内的一点〔含边界〕，且 为边长为2的等边三角形， ， 、 分别为 、 的中点，以下命题正确的有________．
①假设 为 的中点时，那么过 、 、 三点的平面截三棱柱外表的图形为等腰梯形；
②假设 为 的中点时，三棱锥 的体积 ；
③假设 为 的中点时， ；
④假设 与平面 所成的角与 的二面角相等，那么满足条件的 的轨迹是椭圆的一局部．
三、解答题
17.为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下 列联表：
在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．
参考公式及数据：
〔1〕将 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？
〔2〕从上述不喜欢数学竞赛的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的活动类型，用 表示3人中女生的人数，求 的分布列及数学期望．
18.如图，在四棱锥 中，棱 ， ， 两两垂直且长度分别为1，2，2，假设 ，且向量 与 夹角的余弦值为 ．
〔1〕求 的值；
〔2〕求二面角 的正弦值．
19.如图在锐角 中，内角 的对边分别是 ，假设 ．
〔1〕求角 ；
〔2〕假设在线段 上存在一点 ，使得 ， 为 延长线上一点， ， ， ，求 的面积．
20.抛物线 ，过 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，当 轴时， ．
〔1〕求抛物线 的方程；
〔2〕如图，过点 的另一条直线 与 交于 两点，设 的斜率分别为 ，假设 ，且 ，求直线 的方程．
21.函数 ， ．
〔1〕讨论函数 的单调区间；
〔2〕是否存在正数 使得关于 的方程 在区间 上恰有两个不等实数根？如果有，求出 的取值范围；如果没有，请说明理由．
22.在直角坐标系xOy中，曲线 〔 为参数， 〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
〔1〕求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
〔2〕在直角坐标系xOy中，倾斜角为 的直线过点 ，分别与 ， 交于A，B两点，求 ．
23.函数 ．
〔1〕解不等式 ；
〔2〕 〔 、 、 均为正实数〕，求 的最小值．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由题意得集合 ，集合 ，
所以 ，
故答案为：D．

【分析】利用一元一次不等式求解集的方法求出集合A，再利用一次函数求值域的方法求出集合B,再结合交集的运算法那么，进而求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】解：设等差数列 的公差为 ， ， ，
， ，
解得 ， ，那么 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，进而求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列第十项的值。
3.【解析】【解答】解：在不超过20的素数2，3，5，7，11，13，17，19中，
随机地取两个不同的数，根本领件总数 ，
其和等于20包含的根本领件有： ， ，
其和等于20的概率是 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而求出在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率 。
4.【解析】【解答】因椭圆 中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，那么 ， ， ，
当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆方程为： ，
当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆方程为： 。
故答案为：D

【分析】利用条件结合长轴长的定义和焦距的定义，进而求出a,c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出c的值，再利用分类讨论的方法结合焦点的位置，进而求出椭圆的标准方程。
5.【解析】【解答】 函数 过定点 ，
， ， 等比数列 的公比 ，
， ，
数列 的前 项和为 ，那么 。
故答案为：B

【分析】利用条件结合对数型函数的图像恒过定点的性质，进而求出定点坐标，再利用等比数列的定义求出公比，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用对数的运算法那么求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前十项的和。
6.【解析】【解答】 对应的平面区域为：阴影局部 ，
表示的区域在直线 的下方，
由图象知阴影局部 都在 的下方，即 是 的充分不必要条件。
故答案为：A．

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出 是 的充分不必要条件。
7.【解析】【解答】解：由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；
“学科对总分上线奉献率〞为 ，
“学科有效分上线命中率〞为 。
故答案为：A．

【分析】利用条件结合古典概型求概率公式，进而求出该小组“数学学科对总分上线奉献率和有效分上线命中率〞 。
8.【解析】【解答】 函数
，
， ，
在 内没有零点， ,
,
①，或 ②，
由①得 ，由②得 ．
综上可得， ，或 。
故答案为：D．

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用零点存在性定理结合条件函数 在 内没有零点， 进而求出实数 的取值范围 。
9.【解析】【解答】解：函数 ，设 ，那么有 ，
所以 ，
所以当 时， ，
令 ，
所以 ，
故 。
故答案为：C

【分析】因为函数 ，设 ，那么有 ，所以 ，所以当 时， ，再利用求和法结合当 时， ，进而化简求出 的值 。
10.【解析】【解答】解：函数 是 到 的函数，意思为 ， ， ， 分别与 ， ， ， 中的某一个对应，
又 ，
①当是 或 或 这三种情况，
比方1对2，2对2，3对3，4对3，
即 ， ，有 ， 两个零点，
②当是 或 这两种情况，
比方1对4，2对2，3对2，4对2，那么 ， ，
此时只有 一个零点。
故答案为：C．

【分析】利用集合 ， 是 到 的函数，方程 恰好有两个不同的根，且 ， 再结合函数的定义中的对应关系，再结合分类讨论的方法，进而求出函数 的零点个数。
11.【解析】【解答】如下列图：
如图， ， ，
因为 ，
所以 ，
，
联立圆 与双曲线的渐近线方程，
可得 ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
由题意， ，即 ，
。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合三角形法那么和平行四边形法那么，从而利用平面向量根本定理得出，联立圆 与双曲线的渐近线方程，可得 、 、 、 四个交点坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合两点求斜率公式结合求积法，再利用条件直线 ， 的斜率之积为 ， 得出， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式和双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
12.【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
由 为三角形内角得 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
又因为
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
那么 ，所以A符合题意，B不符合题意；
，D不符合题意；
又因为 ，
所以 ，C不符合题意．
故答案为：A．

【分析】利用条件结合同角三角函数根本关系式，从而解一元二次方程求出，由角 为三角形内角，得 ，再利用三角形内角和为180度的性质，得出 ，因为 ，所以 ， ，又因为 ， 再利用同角三角函数根本关系式结合辅助角公式，所以 ， ，那么 ，再利用两角和的正弦公式结合两角差的余弦公式，得出， 又因为 ，所以 ，从而找出正确的选项。
二、填空题
13.【解析】【解答】 的展开式的通项为：
，
当 ，
解得 ，
的展开式中常数项是： ，
故答案为：160。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
14.【解析】【解答】解：设复数 ，那么 ，解得 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 。
故答案为：1-i。

【分析】设复数 ，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数的共轭复数，进而求出复数与共轭复数的和结合条件 ， 进而求出a的值，再利用复数加法运算法那么结合复数求模公式，进而结合条件求出b的值，从而求出复数z。
15.【解析】【解答】解：由题意得， ， ，
那么 在 上的投影为= 。
故答案为： 。

【分析】利用向量的坐标表示结合条件求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量投影的求解公式，进而结合数量积的定义，进而求出向量 在 上的投影 。
16.【解析】【解答】解：对于①，取 的中点 ，连结 ， ， ，如图〔1〕所示，
那么 为 的中位线，所以 ，
因为 ，所以 ，
故梯形 即为过 ， ， 三点的截面，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，故梯形 为等腰梯形，故答案为：项①正确；
对于②，过点 作 ，垂足为 ，如图〔1〕所示，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离即为 ，
所以 ，
那么 ，故答案为：项②正确；
对于③，设 的中点为 ，如图〔2〕所示，
那么 为 的中位线，所以 ，
因为 ， 平面 ，那么 与 不平行，故答案为：项③错误；
对于④，过点 作 平面 ，垂足为 ，连结 ，
过 作 与点 ，连结 ，
过点 作 于点 ，连结 ，
因为四边形 为矩形，所以 ，
四边形 为矩形，所以 ，
因为 ， ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，
因为 平面 ，所以 即为 与平面 所成的角，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，那么有 ，
所以点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离，
所以点 的轨迹为抛物线〔 为焦点， 为准线〕，故答案为：项④错误．
故正确的选项是①②．
故答案为：①②．

【分析】对于①，取 的中点 ，连结 ， ， ，那么 为 的中位线，再利用中位线的性质推出线线平行，所以 ，因为 ，再利用平行的传递性，所以 ，故梯形 即为过 ， ， 三点的截面，在 中， 结合勾股定理求出的长， 在 中， 结合勾股定理求出BQ的长，所以 ，故梯形 为等腰梯形，所以命题①正确；对于②，过点 作 ，垂足为 ，因为 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，所以 到平面 的距离即为 ，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积 ，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积 ，所以命题②正确；对于③，设 的中点为 ，那么 为 的中位线，再利用中位线的性质推出线线平行，所以 ，因为 ， 平面 ，那么 与 不平行，所以命题③错误；对于④，过点 作 平面 ，垂足为 ，连结 ，过 作 与点 ，连结 ，过点 作 于点 ，连结 ，因为四边形 为矩形，所以 ，四边形 为矩形，所以 ，因为 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，所以 即为二面角 的平面角，因为 平面 ，所以 即为 与平面 所成的角，所以 ，再利用正切函数的定义，所以 ，那么有 ，所以点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离，所以点 的轨迹为抛物线〔 为焦点， 为准线〕，所以命题④错误，进而选出正确的命题序号。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件补充完整 列联表，再利用独立性检验的方法判断出没有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关。
〔2〕利用条件求出随机变量X可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
18.【解析】【分析】〔1〕 因为棱 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点建立空间直角坐标系，因为 ， ， ， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而结合条件向量 与 夹角的余弦值为 ， 进而求出的值。
〔2〕 由〔1〕可知， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出平面 的法向量的坐标， 设平面 的法向量为 ， 再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出平面 的法向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数根本关系式求出二面角 的正弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理得出 ，再利用余弦定理变形得出 ，再利用同角三角函数根本关系式，得出角B的正切值，再利用锐角三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
〔2〕 在 中， 利用条件结合正弦函数的定义求出 的值 ， 再利用诱导公式求出 的值 ， 在 中， 再利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出 的值 ，再利用 为锐角结合同角三角函数根本关系式，进而求出 的值 ， 再结合两角和的正弦公式求出角A的正弦值， 在 中，由正弦定理求出AB的长，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积 。
20.【解析】【分析】〔1〕利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而设出焦点坐标， 当 轴时，直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程求出交点A,B的坐标，再利用条件结合两点距离公式，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
〔2〕 由〔1〕可知焦点的坐标，再利用点斜式设出过点 的另一条直线 的方程为 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ， ， 因为 ，所以 ，直线 与抛物线交于点 ， 与 关于 轴对称， 与 关于 轴对称，因为， ， 所以，即 ，再利用三角形面积公式得出，
由抛物线定义得出，代入 得出 ，进而解一元二次方程求出 或〔舍去〕，进而求出的值，从而求出的值，进而求出直线 的斜率，从而求出直线 的方程。
21.【解析】【分析】(1)利用函数f(x)和函数g(x)的解析式求出函数h(x)的解析式，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数h(x)的单调区间。
〔2〕 方程 在区间 上恰有两个不等实数根，等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，因为 ，即等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，令函数 ，再利用导数的运算法那么求出函数F(x)的导函数，那么 ，令 ，再利用求导的方法判断函数G(x)的单调性，进而判断函数F(x)的单调性，故方程 在区间 上恰有两个不等实数根，等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，等价于方程 在区间 上恰有两个不等实数根，令 ，再利用求导的方法判断函数m(x)的单调性，再结合函数m(x)的图象可得存在正数 使得关于 的方程 在区间 上恰有两个不等实数根，进而求出实数a的取值范围。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合参数方程与普通方程的互化公式，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程。
〔2〕利用直线的倾斜角求出直线的斜率，再利用点斜式求出倾斜角为 且过点 的直线方程，再利用直线分别与 ， 交于A，B两点，分别联立直线与曲线 的方程、直线与曲线 的方程，进而求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式求出A,B两点的距离。
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
〔2〕利用分类讨论的方法结合绝对值的定义，从而将函数转化为分段函数，再利用分段函数的图像求出分段函数的最小值， 又因为 、 、 是正实数，由柯西不等式求出 的最小值 。学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
总分成绩
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
喜欢数学竞赛
不喜欢数学竞赛
合计
男生
70
女生
30
合计
P〔K2≥k〕
k