2020-2021学年河南省信阳市高二（上）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省信阳市高二（上）期中考试数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|x−3x+1≤0}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=( )
A.[−1, 3]B.(−1, 3]C.(0, 1]D.(0, 3]

2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于( )
A.13B.35C.49D.63

3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+c2−b2=3ac，则角B的值为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

4. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个说法：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a+c>b+d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④a>b，则1a>1b．其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4

5. “今有垣厚一丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚12.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( )
A.2B.3C.4D.5

6. 若实数x，y满足约束条件x−y≥0,x+y+2≥0,x−3≤0, 则2x+y的最大值为( )
A.−3B.1C.9D.10

7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=60∘，b2=ac，则△ABC一定是( )
A.底边和腰不相等的等腰三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.等边三角形

8. 已知a1，a2，a3，⋯，an是各项不为零的nn≥4项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则n的值为( )
A.4B.6C.7D.无法确定

9. 如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45∘的方向上，B在C的北偏东15∘的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30∘的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5∘的方向上，则A，B两座岛屿间的距离为( )

A.3B.4C.32D.42

10. 已知数列an满足a1=1,a2=116，anan+2an+12=2，则数列an的最小项为( )
A.129B.1210C.12818D.1211

11. 《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，AB是圆弧所在圆的直径，O为圆心．在AB上取一点C，使得AC=a，BC=b，过点C作CD⊥AB交圆弧于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E．则下列不等式可以表示CD≥DE的是( )

A.ab≥2aba+b(a>0，b>0)B.a+b2≥ab(a>0，b>0)
C.a2+b22≥a+b2(a>0，b>0)D.a2+b2≥2ab(a>0，b>0)

12. 已知点P在△ABC的边BC上，C=π3，AP=2，AC⋅PC=4，且△ABC 的面积为532，则sin∠PAB=( )
A.33B.34C.5719D.35738
二、填空题

已知不等式x2−ax+1>0对任意的实数x恒成立，则实数a的一个可能取值为________.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB=23，b=4，c=3，则csC=__________.

等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则lg3 a1+lg3 a2+⋯+lg3 a10=________.

已知x+y=1，y>0，x≠0，则1|x|+|x|y的最小值是________.
三、解答题

已知关于x的不等式ax−3x2−4a<0的解集为 M．
(1)当a=1时，求集合M；

(2)当1∈M且12∉M时，求实数a的取值范围．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ccsA+acsC=2a
(1)求ab的值；

(2)若a=1,c=7，求△ABC的面积．

给出以下三个条件：
①数列an是首项为2，满足Sn+1=4Sn+2的数列；
②数列an是首项为2，满足3Sn=22n+1+λλ∈R的数列；
③数列an是首项为2，满足3Sn=an+1−2的数列．
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设数列an的前n项和为Sn，an与Sn满足________，记数列bn=lg2a1+lg2a2+⋯+lg2an，cn=n2+nbnbn+1，求数列cn的前n项和Tn.

如图，在平面四边形ABCD中，∠B=120∘，AB=2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且AE=6.

(1)求∠BAE及AC；

(2)若∠ADC=60∘，求四边形ABCD周长的最大值.

已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入为Rx=−14x2+500x（元），Px为每天生产x件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）．销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售，b=a+λc−a，其中c为最高限价a(1)每天生产量x为多少时，平均利润Px取得最大值？并求出Px的最大值；

(2)求畅销系数入的值；

(3)若c=600，当厂家平均利润最大时，求ａ与b的值．

已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2x)=2x+1+1，定义数列{an}，a1=1，an+1=f(an)−1(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且Sn+1−Sn=1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

(2)令cn=bnan(n∈N∗)，求{cn}的前n项和Tn；

(3)数列{an}中是否存在三项am，an，ak(m参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省信阳市高二（上）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】
解：由A中不等式变形得：(x+1)(x−3)≤0，且x+1≠0，
解得：−1由B中不等式变形得：lgx≤1=lg10，
解得：0则A∩B=(0, 3].
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．
【解答】
解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，
所以S7=7(a1+a7)2=7(a2+a6)2=7×142=49.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=3ac2ac=32，
∵ B∈0,π，∴ B=π6．
故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
由不等式的性质，逐个选项验证可得．
【解答】
解：选项①ac2>bc2，则a>b正确，由不等式的性质可得；
选项②若a>b，c>d，则a+c>b+d正确，由不等式的可加性可得；
选项③举反例a=10，b=1，c=−1，d=−2，但ac选项④举反例−1>−2，但1−1<1−2．
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题设大鼠前3天打洞4.5尺，小鼠前3天打洞3.5尺，
第4天大鼠打洞2.5尺，小鼠打洞2尺，
由于4.5+3.5+2.5+2=12.5(尺)，所以两鼠相逢最快需要的天数为4．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可．
【解答】
解：由实数x，y满足约束条件x−y≥0,x+y+2≥0,x−3≤0, 画出可行域如图，
目标函数z=2x+y，可化为y=−2x+z，
得到一簇斜率为−2，截距为z的平行线，
要求z的最大值，须满足截距最大，
∴ 当目标函数过点A时截距最大，
又x=3，y=x， ，∴ x=3，y=3，
∴ 点A的坐标为(3, 3)
∴ z的最大值为：2×3+3=9．
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
【解析】
利用余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac，又 b2=ac，可得 (a−c)2=0，从而得到
△ABC一定是等边三角形．
题干错误：b=ac，应是：b2=ac，纠错的题．
【解答】
解：∵ b2=ac，∠B=60∘，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac，
∴ ac=a2+c2−ac，
∴ (a−c)2=0，
故a=c，则∠A=∠C=60∘，
故△ABC一定是等边三角形.
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
等差数列与等比数列的综合
【解析】
无
【解答】
解：当n≥6时，无论删掉哪一项，
必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，
则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，
则n=4或n=5．当n=5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，
此时a1a5=a2a4⇒a1a1+4d=a1+da1+3d⇒d=0，
不满足题意．故n=4．
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
三角函数模型的应用
正弦定理
余弦定理
【解析】
首先利用方向角求出三角形中各个角的大小，进一步利用正弦定理的应用求出AC和BC，最后利用余弦定理的应用求出结果．
【解答】
解：根据题意知：∠ADC=∠DAC=67.5∘，
∠ACB=60∘，DC=26，CE=2，∠BCE=75∘，
∠CBE=45∘，∠CEB=60∘．
所以在△BCE中，利用正弦定理CBsin∠CEB=CEsin∠CBE，
解得：BC=6，
在△ADC中，∠ADC=∠DAC=67.5∘，
所以DC=AC=26，
则在△ACB中，利用余弦定理AB2=AC2+CB2−2AC⋅CB⋅cs60∘，
解得AB=32．
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列与函数最值问题
【解析】
无
【解答】
解：∵ anan+2an+12=2，∴ an+2an+1=2×an+1an，
∵ a1=1，a2=116，
∴ an+1an=116×2n−1=2n−5，
a2a1=2−4，a3a2=2−3，…，anan−1=2n−6，
以上各式相乘可得
ana1=2−4×2−3×⋯×2n−6=2−4−3+⋯n−6=2n2−11n+102，
∴ an=2n2−11n+102，n∈N∗，
由于y=n2−11n+10有最小值−20，∴ an的最小值为2−10．
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接DB，
因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB=90∘，
所以在Rt△ADB中，中线OD=AB2=a+b2．
由射影定理可得CD2=AC⋅CB=ab，
所以CD=ab.
在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2=DE⋅OD，
即 DE=CD2OD=aba+b2=2aba+b，
由CD≥DE得ab≥2aba+b，
当CD=DE，即a=b时取等号，
综上ab≥2aba+b(a>0，b>0)成立．
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：在△ACP中，由余弦定理，得AP2=AC2+PC2−2AC⋅PC⋅csC，
即AC2+PC2−AC⋅PC=4．∴ AC+PC2−3AC⋅PC=4，
∵ AC⋅PC=4，∴ AC+PC=4，解得AC=PC=2，
∴ △ACP是等边三角形，∴ S△ACP=3，由S△ABC=532，
∴ BPPC=32，∴ BP=3．
在△ABP中，由余弦定理，
得AB2=AP2+BP2−2AP⋅BP⋅cs∠APB
=4+9−2⋅2⋅3⋅−12=19，即AB=19，
在△ABP 中，由正弦定理，得ABsinB=BPsin∠APB，
∴ sin∠PAB=BP⋅sin120∘AB=3⋅3219=35738．
故选D.
二、填空题
【答案】
1(答案不唯一)
【考点】
不等式恒成立问题
一元二次不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：Δ=a2−4<0⇒−2故答案为：1(答案不唯一).
【答案】
114
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
【解答】
解：由csB=23，B∈(0,π)得sinB=53，
由正弦定理得bsinB=csinC⇒sinC=3×534=54．
∵ c∴ C一定为锐角，
∴ csC=1−(54)2=114．
故答案为：114.
【答案】
10
【考点】
等比数列的性质
对数及其运算
【解析】
本题考查等比数列的性质、对数的运算．
【解答】
解：由等比数列的性质知a5a6=a4a7=9，
所以lg3 a1+lg3 a2+lg3 a3+⋯+lg3 a10
=lg3(a1a2a3⋯a10)
=lg3(a5a6)5
=lg395
=lg3310
=10．
故答案为：10.
【答案】
1
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
1|x|+|x|y=x+y|x|+|x|y=y|x|+|x|y+x|x|≥2+x|x|≥2−1=1 .
【解答】
解：1|x|+|x|y
=x+y|x|+|x|y
=y|x|+|x|y+x|x|
≥2+x|x|
≥2−1=1 .
故答案为：1.
三、解答题
【答案】
解：(1)当a=1时，
x−3x2−4<0⇔x−3x+2x−2<0，
∴ M={x|x<−2或2(2)∵ 1∈M，∴ a−31−4a<0，得a<14或a>3．
又∵ 12∉M，∴ 12a−314−4a<0不成立，
即12a−314−4a≥0，
解得116≤a≤6，综上可得实数a的取值范围116,14∪3,6．
【考点】
其他不等式的解法
元素与集合关系的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=1时，
x−3x2−4<0⇔x−3x+2x−2<0，
∴ M={x|x<−2或2(2)∵ 1∈M，∴ a−31−4a<0，得a<14或a>3．
又∵ 12∉M，∴ 12a−314−4a<0不成立，
即12a−314−4a≥0，
解得116≤a≤6，综上可得实数a的取值范围116,14∪3,6．
【答案】
解：(1)由正弦定理，ccsA+acsC=2a，
可化为sin CcsA+csCsinA=2sinA，
也就是sinA+C=2sinA．
由△ABC中A+B+C=π，
可得sinA+C=sinπ−B=sinB .
即sinB=2sinA．
由正弦定理可得b=2a，
故ab=12 .
(2)由a=1可知b=2．而c=7，
由余弦定理可知csC=a2+b2−c22ab=−12，
又0S△ABC=12absinC=12×1×2×sin2π3=32．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)由正弦定理，ccsA+acsC=2a，
可化为sin CcsA+csCsinA=2sinA，
也就是sinA+C=2sinA．
由△ABC中A+B+C=π，
可得sinA+C=sinπ−B=sinB .
即sinB=2sinA．
由正弦定理可得b=2a，
故ab=12 .
(2)由a=1可知b=2．而c=7，
由余弦定理可知csC=a2+b2−c22ab=−12，
又0S△ABC=12absinC=12×1×2×sin2π3=32．
【答案】
解：选①，由已知Sn+1=4Sn+2，(1)
当n≥2时，Sn=4Sn−1+2，(2)，
(1)−(2)得：an+1=4Sn−Sn−1=4an，即an+1=4an，
当n=1时，S2=4S1+2，由a1=2，所以2+a2=4×2+2，
所以a2=8，满足a2=4a1
故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an=22n−1，
bn=lg2a1+lg2a2+⋯+lg2an
=lg2a1a2⋯an=1+3+⋯+2n−1=n2.
cn=n2+nbnbn+1=nn+1n2n+12=1nn+1=1n−1n+1，
所以Tn=c1+c2+⋯+cn
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1.
选②，由已知3Sn=22n+1+λ，(1)，
当n≥2时，3Sn−1=22n−1+λ，(2)，
(1)−(2)得，3an=22n+1−22n−1=3⋅22n−1，即an=22n−1，
当n=1时，a1=2满足an=22n−1，
故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an=22n−1，
下同选①；
选③，由已知3Sn=an+1−2，(1)，
则n≥2时，3Sn−1=an−2，(2)，
(1)−(2)得3an=an+1−an，即an+1=4an，
当n=1时，3a1=a2−2，而a1=2，得a2=8，满足a2=4a1，
故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an=22n−1，
下同选①．
【考点】
数列的求和
等比数列的通项公式
【解析】
先根据所填条件求出数列an的通项公式，再依次求bn,cn的通项公式，由cn=1nn+1=1n−1n+1，用裂项相消求
数列cn的前n项和T即可．
【解答】
解：选①，由已知Sn+1=4Sn+2，(1)
当n≥2时，Sn=4Sn−1+2，(2)，
(1)−(2)得：an+1=4Sn−Sn−1=4an，即an+1=4an，
当n=1时，S2=4S1+2，由a1=2，所以2+a2=4×2+2，
所以a2=8，满足a2=4a1
故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an=22n−1，
bn=lg2a1+lg2a2+⋯+lg2an
=lg2a1a2⋯an=1+3+⋯+2n−1=n2.
cn=n2+nbnbn+1=nn+1n2n+12=1nn+1=1n−1n+1，
所以Tn=c1+c2+⋯+cn
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1.
选②，由已知3Sn=22n+1+λ，(1)，
当n≥2时，3Sn−1=22n−1+λ，(2)，
(1)−(2)得，3an=22n+1−22n−1=3⋅22n−1，即an=22n−1，
当n=1时，a1=2满足an=22n−1，
故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an=22n−1，
下同选①；
选③，由已知3Sn=an+1−2，(1)，
则n≥2时，3Sn−1=an−2，(2)，
(1)−(2)得3an=an+1−an，即an+1=4an，
当n=1时，3a1=a2−2，而a1=2，得a2=8，满足a2=4a1，
故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an=22n−1，
下同选①．
【答案】
解：(1)在△ABE中，
由正弦定理得：
sin∠AEB=ABsinBAE=2×sin120∘6=22，
∵ ∠AEB<∠B，
∴ ∠AEB=45∘，
∴ ∠BAE=180∘−120∘−45∘=15∘，
∴ ∠BAC=30∘，∠ACB=180∘−120∘−30∘=30∘，
∴ BC=AB=2.
在△ABC中，
根据余弦定理得：
AC2=22+22−2×2×2×cs120∘=12，
所以AC=23.
(2)令AD=m，CD=n，
在△ACD中，
根据余弦定理得：
232=m2+n2−2mncs60∘=m+n2−3mn，
∵ m+n2=12+3mn≤12+3×m+n22，
∴ m+n24≤12，
∴ m+n≤43，
当且仅当m=n=23时，等号成立.
所以四边形ABCD周长的最大值为4+43.
【考点】
正弦定理
余弦定理
解三角形
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．
本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力.
【解答】
解：(1)在△ABE中，
由正弦定理得：
sin∠AEB=ABsinBAE=2×sin120∘6=22，
∵ ∠AEB<∠B，
∴ ∠AEB=45∘，
∴ ∠BAE=180∘−120∘−45∘=15∘，
∴ ∠BAC=30∘，∠ACB=180∘−120∘−30∘=30∘，
∴ BC=AB=2.
在△ABC中，
根据余弦定理得：
AC2=22+22−2×2×2×cs120∘=12，
所以AC=23.
(2)令AD=m，CD=n，
在△ACD中，
根据余弦定理得：
232=m2+n2−2mncs60∘=m+n2−3mn，
∵ m+n2=12+3mn≤12+3×m+n22，
∴ m+n24≤12，
∴ m+n≤43，
当且仅当m=n=23时，等号成立.
所以四边形ABCD周长的最大值为4+43.
【答案】
解：(1)由题意得总利润为−14x2+500x−100x−40000
=−14x2+400x−40000．
于是Px=−14x2+400x−40000x
=−14x−40000x+400
≤−214x⋅40000x+400=−200+400=200，
当且仅当14x=40000x，即x=400时等号成立．
故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元．
(2)由b=a+λc−a可得λ=b−ac−a，
由b−a是c−b，c−a的比例中项可知b−a2=c−bc−a，
即1=(c−b)(c−a)(b−a)2
=c−a+a−bb−a⋅c−ab−a
=c−ab−a−1⋅c−ab−a，
化简1=1λ−1⋅1λ，解得λ=5−12．
(3)厂家平均利润最大，生产量为x=400件．
a=Rxx=−14x+500=−14×400+500=400．
代入b=a+λc−a可得b=1005+3．
于是a=400，b=1005+3．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
等比中项
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由题意得总利润为−14x2+500x−100x−40000
=−14x2+400x−40000．
于是Px=−14x2+400x−40000x
=−14x−40000x+400
≤−214x⋅40000x+400=−200+400=200，
当且仅当14x=40000x，即x=400时等号成立．
故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元．
(2)由b=a+λc−a可得λ=b−ac−a，
由b−a是c−b，c−a的比例中项可知b−a2=c−bc−a，
即1=(c−b)(c−a)(b−a)2
=c−a+a−bb−a⋅c−ab−a
=c−ab−a−1⋅c−ab−a，
化简1=1λ−1⋅1λ，解得λ=5−12．
(3)厂家平均利润最大，生产量为x=400件．
a=Rxx=−14x+500=−14×400+500=400．
代入b=a+λc−a可得b=1005+3．
于是a=400，b=1005+3．
【答案】
解：(1)由f(2x)=2x+1+1，得f(x)=2x+1，
又an+1=f(an)−1，得an+1=2an+1−1=2an，
又a1=1，
∴ {an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an=2n−1，
由b1=1，Sn+1−Sn=1(n∈N∗)，
可得{Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ Sn=n，Sn=n2，
则bn=Sn−Sn−1=2n−1(n≥2)，
当n=1时，b1=1满足上式，
∴ bn=2n−1.
(2)由cn=bnan，an=2n−1，bn=2n−1得
cn=2n−12n−1，
∴ Tn=c1+c2+c3+...+cn，
即Tn=1+32+522+723+…+2n−12n−1 ①
两边同乘公比12得，
12Tn=12+322+523+724+…+2n−12n ②
①−②得，
(1−12)Tn=1+22+222+223+224+…+22n−1−2n−12n，
化简得：Tn=6−2n+32n−1.
(3)假设存在am，an，ak(m则2an=am+ak，
2⋅2n−1=2m−1+2k−1，
两边同除2m−1，得2n+1−m=1+2k−m，
∵ 2n+1−m为偶数，而1+2k−m为奇数，上面等式矛盾．
∴ 假设不成立，
故不存在任三项能构成等差数列．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
等差中项
等比数列的性质
【解析】
（1）由f(2x)=2x+1+1求得函数f(x)的解析式，结合an+1=f(an)−1得到数列{an}的递推式，确定数列{an}为等比数列，求得其通项公式，再由Sn+1−Sn=1求出数列{bn}的前n项和，进一步求得数列{bn}的通项公式；
（2）把数列{an}和{bn}的通项公式代入cn=bnan，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）假设存在am，an，ak(m【解答】
解：(1)由f(2x)=2x+1+1，得f(x)=2x+1，
又an+1=f(an)−1，得an+1=2an+1−1=2an，
又a1=1，
∴ {an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an=2n−1，
由b1=1，Sn+1−Sn=1(n∈N∗)，
可得{Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ Sn=n，Sn=n2，
则bn=Sn−Sn−1=2n−1(n≥2)，
当n=1时，b1=1满足上式，
∴ bn=2n−1.
(2)由cn=bnan，an=2n−1，bn=2n−1得
cn=2n−12n−1，
∴ Tn=c1+c2+c3+...+cn，
即Tn=1+32+522+723+…+2n−12n−1 ①
两边同乘公比12得，
12Tn=12+322+523+724+…+2n−12n ②
①−②得，
(1−12)Tn=1+22+222+223+224+…+22n−1−2n−12n，
化简得：Tn=6−2n+32n−1.
(3)假设存在am，an，ak(m则2an=am+ak，
2⋅2n−1=2m−1+2k−1，
两边同除2m−1，得2n+1−m=1+2k−m，
∵ 2n+1−m为偶数，而1+2k−m为奇数，上面等式矛盾．
∴ 假设不成立，
故不存在任三项能构成等差数列．