2021届上海市嘉定区高三数学三模试卷及答案

 高三数学三模试卷

一、填空题

1.集合 ， ，假设 ，那么实数 ________．   

2.计算： ________.   

3.假设复数 〔其中i为虚数单位〕，那么共轭复数 ________.   

4.不等式 的解集是________.   

x  ， y满足 ，那么 的最小值为________.   

6.假设两个球的外表积之比为 ，那么这两个球的体积之比为________．   

7.在 中， ， ，且 的面积为 ，那么 ________.   

8.展开式中的常数项为________.   

9.设椭圆 ，直线l过 的左顶点A交y轴于点P  ， 交 于点Q  ， 假设 为等腰三角形〔O为坐标原点〕，且Q是 的中点，那么 的长轴长等于________. 

10.有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，那么取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是________.   

O的半径为2，圆O的一条弦 长为2，P是圆O上任意一点，点P满足 ，那么 的最大值为________.   

12.数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推，假设该数列的前n项和为2的整数幂，如 ， ， ，那么称 ， ， 中的 为“一对佳数〞，当 时，首次出现的“一对佳数〞是________.   

二、单项选择题

13.两条直线 ， ，那么“ 〞是“两直线 ， 平行〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件

14.设抛物线 的焦点为F  ， 过点F作直线交抛物线于A  ， B两点，假设线段 的中点E到y轴的距离为3，那么弦 的长为〔    〕           

A. 等于10                            B. 大于10                            C. 小于10                            D. 与l的斜率有关

15.曲线 和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ， ， ，…，那么 等于〔    〕           

A. π                                         B. 2π                                         C. 3π                                         D. 4π

三、解答题

16.如图，在四棱锥 中， 平面 ，且四边形 为直角梯形， ， ， .且Q为线段 的中点 

〔1〕求直线 与 平面所成角的大小；   

〔2〕求直线 与平面 所成角的大小   

17.在 中，角A  ， B  ， C的对边分别为a、b、c  ， 且

〔1〕求 的值；   

〔2〕假设 ， ，求B和c.   

A  ， B两光源的强度分别为a  ， b  ， 异于A  ， B的线段 上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设 米.   

〔1〕假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数 ，测得数据：当 时， ；当 时， ，求A  ， B两处的光强度，并写出函数 的解析式；   

〔2〕假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数 ，测得数据：当 时， ；当 时， ，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.   

19.在直角坐标系 中，直线 是双曲线 的一条渐近线，点 在双曲线C上，设 为双曲线上的动点，直线 与y轴相交于点P  ， 点M关于y轴的对称点为N  ， 直线 与y轴相交于点Q.   

〔1〕求双曲线C的方程；   

〔2〕在x轴上是否存在一点T？使得 ，假设存在，求T点的坐标；假设不存在，说明理由；   

〔3〕求M点的坐标，使得 的面积最小.   

20.对于数列 ，假设存在常数 对任意 恒有 ，那么称 是“ 数列〞.   

〔1〕首项为 ，公差为d的等差数列是否是“ 数列〞？并说明理由；   

〔2〕首项为 ，公比为q的等比数列是否是“ 数列〞？并说明理由；   

〔3〕假设数列 是 数列，证明： 也是“ 数列〞，设 ，判断数列 是否是“ 数列〞？并说明理由.   

答案解析局部

一、填空题

1.【解析】【解答】解：由集合 ， ，又因为 ，那么有 或 ，解得 无解或 ，综上可得实数 。

故答案为1。

 
【分析】利用条件结合集合间的包含关系式，再利用分类讨论的方法，从而求出实数m的值。

2.【解析】【解答】 。

故答案为：3。

 
【分析】利用变形的方法结合数列求极限的方法，进而求出极限值。

3.【解析】【解答】由得， ，那么 。

故答案为：-1-i。

 
【分析】利用复数的乘法运算法那么求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。

4.【解析】【解答】由 得， 。

故答案为： 。

 
【分析】利用对数的运算法那么结合一元二次不等式求解集的方法，从而结合对数的单调性，进而求出不等式 的解集。

5.【解析】【解答】不等式组表示的可行域如图：

由 可得 ，

由图可得当直线 过点 时纵截距最大，即 最小，最小值为 。

故答案为：1。

 
【分析】利用条件结合二元一次不等式画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最小值。

6.【解析】【解答】解：由求得外表积公式 得半径比为 ，由体积公式 可知体积比为

【分析】先利用球的外表积公式，得到这两个球的半径比，再由球的体积公式，即可求出这两个球的体积之比.

7.【解析】【解答】在 中， ， ，且三角形 的面积为 ，

所以 ，所以 ，整理得： ，

因为 ，所以 或，

故答案为： 或 。

 
【分析】在 中， ， ，且三角形 的面积为 ，从而利用三角形面积公式，从而求出角A的正弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出的值。

8.【解析】【解答】依题意， 展开式的通项公式是 ，

当 时， ，当 时， ，

所以 展开式的常数项是 ，
故答案为：-19。

 
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用分类讨论的方法结合展开式中的通项公式，从而求出 展开式中的常数项。

9.【解析】【解答】设 ，由题意可得： ， ， 

因为Q是 的中点，所以 ，

∴ ，∴ ， ，

代入椭圆方程可得： ，解得 ，∴椭圆 的长轴长等于 。

故答案为： 。

 
【分析】利用条件可得： ， ， 再利用点Q是 的中点，所以 ， 再利用向量的坐标表示结合向量相等的判断方法，从而得出点Q的坐标，再利用点Q在椭圆上结合代入法，从而求出a的值，再结合椭圆的长轴长的定义，从而求出椭圆的长轴长。

10.【解析】【解答】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是 。

故答案为： 。

 
【分析】利用条件结合组合数公式，再利用反面求概率公式结合古典概型求概率公式，从而求出 取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率。

11.【解析】【解答】解：法一、如图以 中点C为原点建系，那么 ， ， ，

所以圆O方程为 ，所以设 ， ，

因为 ， ，

，

所以 ，

所以 ，

因为 ，

所以 的最大值为10。

法二、连接OA  ， OB过点O作 ，垂足为C  ，

那么 ，

∴ ，

因为 ，所以 ，

所以 ，

，当且仅当 且同向时取等号，

所以 的最大值为10。

故答案为：10。

 
【分析】利用两种方法求解。
法一，以 中点C为原点建系，从而求出点的坐标，再利用代入法求出圆O的标准方程为 ，所以设 ， ， 因为 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用共线向量的坐标表示，得出

 ，再利用数量积的坐标表示求出 ，再利用余弦函数的值域，从而求出 的取值范围，进而求出的最大值。

法二，连接OA  ， OB过点O作 ，垂足为C  ， 那么 ，再利用余弦函数的定义得出，因为 ，结合平面向量根本定理，所以 ，

所以 ，再利用数量积的运算法那么结合数量积的定义，再结合余弦函数的值域求出  ，当且仅当 且同向时取等号，从而求出 的最大值。

12.【解析】【解答】由得

，

又由 ，即前n组共有 个数，

令 ，解得 〔当 时有105个数〕，

由题意可知： 为2的整数幂，只需将 消去即可，

那么① 时，解得 ，总共有 项，不满足 ；

② 时，解得 ，总共有 项，不满足 ；

③ 时，解得 ，总共有 项，

不满足 ；

④ 时，解得 ；总共有 项，

满足 ，所以n的最小值为441，

所以首次出现的“一对佳数〞是〔441,29〕。

故答案为〔441,29〕。

 
【分析】由结合等比数列前n项和公式和等差数列前n项和公式，再结合分组求和法得出  ， 又由等差数列前n项和公式得出前n组共有 个数，令 ，从而求出n的取值范围〔当 时，有105个数〕，由题意可知： 为2的整数幂，只需将 消去即可，再利用分类讨论的方法得出n的值，再利用等差数列前n项和公式求出共有的项数，从而得出满足 时n的最小值为441，所以首次出现的“一对佳数〞是〔441,29〕。

二、单项选择题

13.【解析】【解答】假设 ，那么 ，假设 那么 ， 重合；

假设 ，那么 ，∴ ；故“ 〞是“两直线 ， 平行〞的必要非充分条件。

故答案为：B.

 
【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“两直线 ， 平行〞的必要非充分条件。

14.【解析】【解答】设 ，那么 ，

由抛物线方程可知 ， ，

由线段 的中点E到y轴的距离为3得， ，∴ 。

故答案为：A

 
【分析】设 ，再利用中点坐标公式求出点E的坐标，再利用抛物线的标准方程求出p的值，再利用抛物线的定义得出， 再由线段 的中点E到y轴的距离为3，得出的值，从而求出弦 的长。

15.【解析】【解答】由得， ， 

令 ，即 ，那么 或 ， ，

即 或 ， ，即 ， ，故 。

故答案为：A.

 
【分析】 曲线 和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ， ， ，…， 得出， 令 ，得出， 再结合正弦型函数的图像得出或 ， ，从而结合代入法求出， ，再利用两点距离公式求出 的值。

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕 以 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利结合数量积求向量夹角公式，从而结合反三角函数求值的方法，进而求出异面直线 与 所成角的大小。
〔2〕以 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而求出直线 与平面 所成的角的正弦值 ，从而结合反三角函数求值的方法，进而求出直线 与平面 所成角的大小 。

17.【解析】【分析】〔1〕 因为 ，再利用二倍角的余弦公式结合三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式和两角和的余弦公式，从而求出角A的余弦值。
〔2〕 由〔1〕求出的 ，再结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的正弦值，由正弦定理得出 ， 因为 为钝角，所以 为锐角，从而求出角B的值，再利用角之间的关系结合两角和的正弦公式，从而求出角C的正弦值，再利用正弦定理求出c的值。

18.【解析】【分析】〔1〕 由，得 ， 再利用当 时， ；当 时， ，从而结合代入法解方程组求出a,b的值，进而求出函数的解析式。

〔2〕 由，得 ，再利用当 时， ；当 时， ，从而结合代入法解方程组求出a,b的值，进而求出函数的解析式为， ，
因为    ，再结合均值不等式求最值的方法，从而求出当 时的C处，光强度最弱为 。

19.【解析】【分析】(1)利用条件直线 是双曲线 的一条渐近线结合双曲线的渐近线的方程求解方法，从而求出a,b的关系式，再利用点A(1,0)在双曲线上结合代入法求出a的值，从而求出b的值，进而求出双曲线的标准方程。
〔2〕设 ，再利用点斜式设出直线 ，令 ，得 ，再利用点斜式设出直线 ，令 ，得 ， 再利用三角形法那么得出 ，平方结合数量积的运算法那么和数量积的定义，可得 ，再利用数量积的坐标表示得出 ，因为点M在双曲线上结合代入法得出 ， 故 ，所以在x轴上存在点 ，  使得 。
〔3〕利用三角形的面积公式结合条件，得出 ， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出三角形 的面积的最小值，进而求出此时M的坐标。

20.【解析】【分析】〔1〕利用 “ 数列〞的定义结合等差数列的定义，再结合分类讨论的方法和绝对值的性质，从而得出当时，等差数列是“ 数列〞；当 时，等差数列不是“ 数列〞。
〔2〕利用 “ 数列〞的定义结合等比数列的定义和通项公式，再结合分类讨论的方法和绝对值的性质，再利用数列求极限的方法，从而得出当 或 时，是“ 数列〞；当 或 时，不是“ 数列〞。
〔3〕 利用 “ 数列〞的定义结合是 数列，所以 ， 当 时，

又因为 ， 可得 ， 所以 是 数列.

因为 ， 再利用作差法结合绝对值的性质得出 ， 再利用求和的方法结合绝对值的性质，得出 ， 从而推出数列 是 数列。