2021届山东省泰安肥城市高三三模数学试题及答案

这是一份2021届山东省泰安肥城市高三三模数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三三模数学试题
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
2.命题“奇函数的图象关于原点对称〞的否认是〔    〕
A. 所有奇函数的图象都不关于原点对称                  B. 所有非奇函数的图象都关于原点对称
C. 存在一个奇函数的图象不关于原点对称               D. 存在一个奇函数的图象关于原点对称
3.复数 〔 为虚数单位〕，那么 的最大值为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
4.在 中， ， ， ，那么 〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
5.平面四边形 满足 ，平面内点 满足 ， 与 交于点 ，假设 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 〔单位： 〕与时间〔单位： 〕间的关系为： ，其中 是正的常数．如果在前 消除了 的污染物，那么污染物减少 需要花费的时间为〔    〕
〔精确到 ，参考数据 〕
A. 30                                         B. 31                                         C. 32                                         D. 33
7.某城市9月平均气温为 ，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过 ，那么该月平均气温在 及以上的日子最多有多少天？〔    〕
A. 24                                         B. 25                                         C. 26                                         D. 27
8.如图， 为圆锥底面直径，点 是底面圆 上异于 的动点， ，圆锥侧面展开图是圆心角为 的扇形，当 与 所成角为 时， 与 所成角为〔    〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
二、多项选择题
9.定义在 上的函数 满足 ，函数 为偶函数，且当 时， ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 函数 是周期为4的周期函数
B. 
C. 当 时，
D. 不等式 的解集为
10.请根据以下资料判断以下说法正确的有〔    〕

2021-2021年我国海洋主题公园年末数量〔单位：家〕

2021--2021年全年游客规模〔单位：万人次〕
A. 2021年我国平均每家海洋主题公园全年游客规模比2021年大
B. 2021年初—2021年末我国所有开业的海洋主题公园都持续营业，那么该期间我国平均约两个半月开一家海洋主题公园
C. 2021—2021年间累计游客规模超过3亿人次
D. 2021—2021年间，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的年份是同一个
11.椭圆 的左右焦点分别为 直线 与圆 相切于点 ，与椭圆相交于 两点，点 在 轴上方，那么〔    〕
A. 弦长 的最大值是
B. 假设 方程为 ，那么
C. 假设直线 过右焦点 ，且切点 恰为线段 的中点，那么椭圆的离心率为
D. 假设圆 经过椭圆的两个焦点，且 ，设点 在第一象限，那么 的周长是定值
12.函数 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 假设 的最小正周期为 ，那么
B. 假设 ，那么 是 的一个对称中心
C. 假设 在 内单调，那么
D. 假设 在 上恰有2个极值点，那么
三、填空题
13.请写出一个值域为 且在 上单调递减的偶函数 ________．
14.大于3的素数只分布在 和 两数列中〔其中 为非零自然数〕，数列 中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列 中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．那么从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率是________．
15.双曲线 的左右焦点分别为 ， 是坐标原点，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ， 交双曲线的另一条渐近线于点 ，且满足 那么双曲线的渐近线的斜率为________．
16.函数 ，当 时，函数 在区间 上有唯一零点，那么实数 的取值范围是________．
四、解答题
17.在① 成等比数列，② 是 和 的等差中项，③ 的前 项和是 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
数列 为公差大于 的等差数列， ，且前 项和为 ，假设_______，数列 为等比数列， 且 ．
〔1〕求数列 ， 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 ．
18.锐角 的外接圆半径为 ，内角 的对边分别为 ， 的面积为 且 ．
〔1〕求 ；
〔2〕求 的取值范围．
19.三棱柱 ， ， ， ，点 为 中点.

〔1〕试确定线段 上一点 ，使 平面 ；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设平面 平面 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
20.三点 ， 为曲线 上任意一点，满足 ．
〔1〕求曲线 的方程；
〔2〕点 ， 为曲线 上的不同两点，且 ， ， 为垂足，证明：存在定点 ，使 为定值．
21.俗话说：“天上蟠桃，人间肥桃．〞肥桃又名佛桃、寿桃，因个大，味儿美，营养丰富，被誉为“群桃之冠〞，迄今已有1200多年的栽培历史，自明朝起即为皇室贡品．七月份，肥城桃——“大红袍〞上市了，它满身红扑扑的，吃起来脆脆甜甜，感觉好极了，吸引着全国各地的采购商．
山东省肥城桃开发总公司从进入市场的“大红袍〞中随机抽检100个，利用等级分类标准得到数据如下：
等级
级
级
级
个数
40
40
20
〔1〕以表中抽检的样本估计全市“大红袍〞等级，现从全市上市的“大红袍〞中随机抽取10个，假设取到 个 级品的可能性最大，求 值；
〔2〕一北京连锁超市采购商每年采购 级“大红袍〞，前 20年“大红袍〞在此超市的实际销量统计如下表：
销量〔吨〕
15
16
17
18
19
20
年数
2
4
5
6
2
1
今年 级“大红袍〞的采购价为0.8万元/吨，超市以1.6万元/吨的价格卖出，由于桃不易储存，卖不完当垃圾处理．超市方案今年购进17吨或18吨“大红袍〞，你认为应该购进17吨还是18吨？请说明理由．
22.函数 ， ，且曲线 和 在原点处有相同的切线．
〔1〕求实数 的值，并证明：当 时， ；
〔2〕令 ，且 ，证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】易得 ，
又因为,
∴ 。
故答案为：A。

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用并集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的并集。
2.【解析】【解答】全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称〞的否认是特称命题，
所以命题“奇函数的图象关于原点对称〞的否认是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称〞。
故答案为：C

【分析】利用全称命题与特称命题互为否认的关系，从而写出命题“奇函数的图象关于原点对称〞的否认。
3.【解析】【解答】 的几何意义为 与 两点间的距离，且 在单位圆上，
所以| |的最大值为3。
故答案为：C

【分析】利用复数的模的几何意义得出 为 与 两点间的距离，且 在单位圆上，从而结合过圆心上的点到点距离的最大或最小的性质，进而求出 的最大值 。
4.【解析】【解答】由余弦定理，得： ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ， 。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合余弦定理，从而求出AB的长，因为 ，再利用对边对角的性质，所以 ，从而得出， 再利用同角三角函数根本关系式，从而求出角A的正切值。
5.【解析】【解答】易知 ， ，


，
∴ 。
故答案为：C .

【分析】由题意易知 ， ，再利用三角形法那么和共线定理，再结合平面向量根本定理，由条件求出x+y的值。
6.【解析】【解答】由题意，当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
当 时，有 ，
即 ，解得 。
故答案为：D．

【分析】利用实际问题的条件结合指数与对数的互化公式，从而求出污染物减少 需要花费的时间。
7.【解析】【解答】设平均气温 度有 天，30度以下有 天，
∴ ，化简得 ，要使30度及以上的天数多，气温 就要低，
∴ 度时，天数 最多为 天〔因为不到26天〕，故最多有25天。
故答案为：B．

【分析】利用条件设平均气温 度有 天，30度以下有 天，从而得出， 化简得 ，要使30度及以上的天数多，气温 就要低，从而结合代入法得出该月平均气温在 及以上的日子最多的天数。
8.【解析】【解答】设圆锥母线长为 ，那么 ，解得 ，
， 与 所成角 ，
， 中 ，
作 与圆 交于点 ，

连接 ，四边形 为平行四边形， ，
连接 ，那么 为 与 所成角，
中 ，可得 ，
。
故答案为：C.

【分析】设圆锥母线长为 ，再利用扇形面积公式得出 ，从而求出的长，因为，所以 与 所成角 ，所以，在 中，利用勾股定理得出 的长 ，作 与圆 交于点 ，连接 ，四边形 为平行四边形，得出 ，连接 ，那么 为 与 所成角，在中， ，可得 ，从而求出当 与 所成角为 时， 与 所成角。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A，由函数 为偶函数得函数 的对称轴为 ，
故得 ，又 ，所以 ，从而得 ，所以函数 是周期为4的周期函数，A符合题意；
对于B，又奇函数 当 时， ，
故得 ，解得 ，所以当 时， ．
所以 ，B符合题意；
对于C，当 时， ，
所以 ，C不正确；
对于D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期 上解的情况即可．
当 时，由 ，解得 ，故得 ；
当 时，由 ，解得 ，故得 ，
综上可得不等式 在一个周期 上的解集为 ，所以不等式在定义域上的解集为 ，D符合题意．
综上可知，ABD符合题意．
故答案为：ABD.

【分析】利用函数 为偶函数结合偶函数的图像对称性和图象的平移，从而得到函数 的对称轴为 ，故得 ，又因为 ，所以 ，从而得 ，再利用周期函数的定义，所以函数 是周期为4的周期函数；又因为奇函数 的性质，得出当 时， ，
故得 ，从而求出a的值，所以当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期 上解的情况即可，再利用分类讨论的方法结合对数函数的单调性，从而求出不等式 在一个周期 上的解集为 ，所以不等式在定义域上的解集为 ，从而选出结论正确的选项。
10.【解析】【解答】对于A，2021年的平均游客规模约为 2021年的平均游客规模约为 而 A符合题意；
对于B，2021年初至2021年末8年共96个月，期间新开海洋主题公园约
家，所以平均 个月开一家海洋主题公园，B符合题意；
对于C，2021-2021年间游客数量 万 亿，C不符合题意；
对于D，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的都是2021年，D符合题意．
故答案为：ABD.

【分析】利用条件结合条形图和折线图，再结合统计的知识，从而选出说法正确的选项。
11.【解析】【解答】对于A，当直线 与圆相切于点 时，由 得 ，
此时 ，A不符合题意；
对于B ，圆心 到直线 的距离为 ，得 ， ，B符合题意；
对于C， 为 的中点， 为 的中点，直线 与圆 相切于点 ，
，且 ，
， ，由椭圆的定义知 ，
化简得 ， ， C符合题意；
对于D， ， ，
圆 过椭圆的两个焦点，所以 ，故椭圆的方程为 ，
设 ， ，
，
在第一象限， ，  ，
同理 ，
的周长 ，D符合题意．
故答案为：BCD.

【分析】当直线 与圆相切于点 时，利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出此时 ；利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线 的距离为 ，从而求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c,b的关系式，即；因为为 的中点， 为 的中点，直线 与圆 相切于点 ，所以，且 ，所以，再利用勾股定理得出 ，由椭圆的定义知 ，从而结合椭圆中a,b,c三者的关系式，得出a,b的关系式，再利用椭圆a,b,c三者的关系式，得出a,c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率；因为 结合椭圆的定义，从而求出a的值，因为 圆 过椭圆的两个焦点，所以 ，故椭圆的标准方程为 ，设 ， ，再利用两点距离公式得出，因为点在第一象限， 所以，再利用两点距离公式得出  ，同理 ，再利用三角形周长公式，从而求出三角形的周长，进而选出正确的选项。
 
12.【解析】【解答】 .
对于A， ， 的最小正周期为 ，
所以， 的最小正周期为 ，解得 ，A不符合题意；
对于B，假设 ，那么 ， ，B符合题意；
对于C，由 得 ，
当 在 内单调递增时， ，
即 ，
所以， ，可得 ，
又 ，那么 ，得 ，
当 在 内单调递减时， ，
即 ，可得 ，可得 ，
，所以，不等式组 无解，
综上所述 ，C符合题意；
对于D， ，
，由 ，得 ，
在 上恰有2个极值点，
在 恰有2个解，
， ，解得 ,
D符合题意.
故答案为：BCD.

【分析】利用二倍角的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数， 再利用正弦型函数的最小正周期公式结合，从而结合条件求出的值；假设 ，从而求出函数的解析式，再利用代入法结合诱导公式，从而得出从而得出 是 的一个对称中心；由 ，得 ，再利用正弦型函数的单调性结合分类讨论的方法，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，再借助数轴求出实数k的取值范围，又因为 ，得出；因为 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数 在 上恰有2个极值点， 从而求出在 恰有2个解，因为结合，从而求出 ,进而选出结论正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】由 在 上偶函数，值域为 且在 上单调递减。
故答案为： 。

【分析】利用函数求值域的方法结合减函数的定义，再结合偶函数的定义，从而找出满足要求的函数。
14.【解析】【解答】30以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个．其中阴性素数有5、11、17、23、29共5个，阳性素数有7、13、19共3个，
因此，所求概率为 。
故答案为：。

【分析】利用条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，从而求出从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率。
15.【解析】【解答】不妨假设直线 垂直于渐近线 ，由 解得点 ，
又因为 ，且 ，那么 ，又因为 在直线 上，故 ， ，故双曲线的渐近线的斜率为 。
故答案为： 。

【分析】不妨假设直线 垂直于渐近线 ，再利用两直线求交点的方法，联立二者方程求出交点P的坐标，再利用条件且 ，再结合向量共线的坐标表示，从而求出点Q的坐标，再利用点Q在直线 上结合代入法，从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的关系式，进而变形求出双曲线的渐近线的斜率。
16.【解析】【解答】由 得 ，等价于函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，当 时， ，
设 ， ，那么 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，
因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
又 ， ，函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，
所以 ，所以 的取值范围是(2,3]。
故答案为：(2,3]。

【分析】利用函数零点的定义，由 得 ，再利用函数的零点与两函数图象交点的横坐标的等价关系，等价于函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，当 时，结合导数的运算法那么求出函数f(x)的导函数，那么 ，设 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在区间 上单调递减，再利用零点存在性定理得出存在唯一的 ，使得 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，那么当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，又因为 ， ，函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，从而求出实数a的取值范围。
 
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕在① 成等比数列，② 是 和 的等差中项，③ 的前 项和是 这三个条件中任选一个，补充在问题中并求解。 设 的公差为 ， 选条件①，利用条件结合等差数列的通项公式，从而结合公差的取值范围，进而求出公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。选条件②，因为条件结合等差数列前n项和公式结合等差数列的性质，从而求出公差，再利用等差数列的性质，从而求出数列 的通项公式。 选条件③，利用条件结合等差数列前n项和公式，从而求出公差，再利用等差数列的性质，从而求出数列 的通项公式，再利用条件 且 ，爱结婚等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，从而求出公比，再利用等比数列的性质，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 ， 的通项公式结合 ， 从而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。
18.【解析】【分析】〔1〕 由 ， 得 ，再利用余弦定理结合三角形的面积公式，从而得出 ，再利用 结合同角三角函数根本关系式，从而求出的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。      
〔2〕因为三角形  的外接圆半径为1，从而结合正弦定理的性质，从而求出 ， 再利用正弦定理得出 ， ，再利用角A和角B的关系式和两角和的正弦公式以及同角三角函数根本关系式，所以  ，又因为 是锐角三角形，从而求出角A的取值范围，再利用正切函数的图像，得出 ， 所以 ，从而求出 的取值范围。
19.【解析】【分析】〔1〕 当 时， 平面 ， 证明如下：设 ，连接 ，再利用对应边成比例，那么 ，由 ，得 ， 再利用对应边成比例两直线平行，所以， 再利用线线平行推出线面平行，所以当 时， 平面 。
〔2〕 取 中点 ，连接 ， ，因为，再利用等腰三角形三线合一，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以平面 ， 因为， ， 再利用等边三角形的性质，得出，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理推出线线垂直， 所以， 以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，进而求出向量 的坐标 ，再利用向量的模的坐标表示得出 ， 再利用向量的坐标运算结合数量积的坐标运算，再结合 ，从而化简得出曲线C的方程。
〔2〕 假设直线 ，那么直线 与曲线 只有一个交点，不合题意； 设直线 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法联立 ，得 ，可得 ，设 ，再利用韦达定理得出，再利用向量的坐标表示结合，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，所以 ，再利用点 在曲线 上，显然 且 ，再结合代入法得出， 所以直线 的方程为 ，再利用点斜式方程求出直线过定点 ，所以 ，且三角形 是以 为斜边的直角三角形，所以 中点 满足 为定值，  从而证出存在 ，使 为定值。
21.【解析】【分析】〔1〕 由题意结合古典概型求概率公式，从而求出取到A级品的概率，从全市上市的“大红袍〞中随机抽取10个，得出取到A级品的个数X服从二项分布，再利用二项分布求概率公式，从而求出随机变量X的分布列， 为取到 个 级品的可能性最大， 由   得出k的取值范围，从而得出当 时概率最大，进而求出k的值。
〔2〕利用条件得出超市购进17吨“大红袍〞时，利润为 ，卖出的吨数为 ，进而得出随机变量的可能取值和随机变量 的可能取值，再利用古典概型求概率公式结合对立事件求概率公式，从而求出随机变量 的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量 的数学期望，再利用条件得出超市购进18吨“大红袍〞时，利润为 ，卖出的吨数为 ， 进而得出随机变量的可能取值和随机变量的可能取值，再利用古典概型求概率公式结合对立事件求概率公式，从而求出随机变量 的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量 的数学期望，再利用 从而推出超市应该购进17吨“大红袍〞。
22.【解析】【分析】〔1〕 利用条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，因为曲线 和 在原点处有相同的切线，从而求出a的值，要证 ，即证 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出 ，所以 ，即 证出当 时， 。
〔2〕 由〔1〕可得，当 时， ，所以 ，即 ，两边同除以 ，得 ，再利用乘积相消的方法得出 ， 要证 ，只需证 ，又因为 ，故只需证 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，故当 且 时， ，又因为 ，所以，当 时， ，所以 ，从而证出不等式 成立。