2021届山东省聊城市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届山东省聊城市高三数学三模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，假设 ，那么实数 的值为〔    〕
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
2. ， 为虚数单位，假设 为实数，那么 的值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
3.函数 的图象大致为〔    〕
A.                      B. 
C.                               D. 
4.直线 ，圆 ．那么“ 〞是“ 与 相切〞的〔    〕
A. 必要不充分条件             B. 充分不必要条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
5.声强级 〔单位：dB〕由公式 给出，其中 为声强〔单位：W/m2〕一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的〔    〕
A. 104倍                                  B. 105倍                                  C. 106倍                                  D. 107倍
6.在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，假设选出的两人性别相同的概率为 ，那么受表彰人员中男性人数为〔    〕
A. 15                                      B. 18                                      C. 21                                      D. 15或21
7.在 中， ， ， ，M为BC中点，O为 的内心，且 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 1
A ， B ， C是双曲线 上的三点，直线AB经过原点O ， AC经过右焦点F ， 假设 ，且 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
二、多项选择题
x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 假设两变量x ， y具有线性相关关系，那么回归直线至少经过一个样本点
B. 假设两变量x ， y具有线性相关关系，那么回归直线一定经过样本点中心
C. 假设以模型 拟合该组数据，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，那么a ， b的估计值分别是3和6．
D. 用 来刻画回归模型的拟合效果时，假设所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，那么 的值为1
10.将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，那么下面对函数 的表达中正确的选项是〔    〕
A. 函效 的最小正周期为                               B. 函数 图象关于点 对称
C. 函数 在区间 内单调递增                  D. 函数 图象关于直线 对称
a、b ， 以下说法一定正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么                                           B. 假设 ，那么
C. 假设 ， ， ，那么 的最小值为8     D. 假设 ，那么
ABC的边长为6，M ， N分别为AB ， AC的中点，将 沿MN折起至 ，在四棱锥 中，以下说法正确的选项是〔    〕
A. 直线MN∥平面
B. 当四棱锥 体积最大时，二面角 为直二面角
C. 在折起过程中存在某位置使BN⊥平面
D. 当四棱 体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为
三、填空题
13.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的?算盘全书?提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为________．
14.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，那么 ________．
15.点 ，过抛物线 ．上一点P作 的垂线，垂足为B ， 假设 ，那么 ________．
16.函数 有三个不同的零点 ， ， ，其中 ，那么 的值为________．
四、解答题
17.在 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 且 ，
〔1〕求角B的大小；
〔2〕点D满足 ，且 ，假设 ， ，求AC．
18.在① ， ， 成等比数列② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．
是公差不为零的等差数列， 为其n前项和， ，_______， 是等比数列， ， ，公比 ．
〔1〕求数列 ， 的通项公式；
〔2〕数列 和 的所有项分别构成集合A ， B ， 将 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ，求 ．
19.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，以BD为折痕把 折起，使点A到达点P的位置，且 ．

〔1〕证明： ；
〔2〕假设M为PB的中点，二面角 的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．
20.2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购置2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
40
80
60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．
〔1〕求X的分布列；
〔2〕以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？
21.圆 ，圆 ， ．当r变化时，圆 与圆 的交点P的轨迹为曲线C ，
〔1〕求曲线C的方程；
〔2〕点 ，过曲线C右焦点 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 交于点D ， 是否存在实数m ， ，使得 成立，假设存在，求出m ， ；假设不存在，请说明理由．
22. ．
〔1〕当 时求 的极值点个数；
〔2〕当 时， ，求a的取值范围；
〔3〕求证： ，其中 ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，而 ，故 ，
故答案为：B.

【分析】根据集合交集运算即可求得。
2.【解析】【解答】 ，假设其为实数，
那么 ，即
故答案为：D

【分析】根据复数乘除运算和复数概念即可求得。
3.【解析】【解答】由 ，定义域为
，
所以函数为奇函数，故排除BD；
当 时， ；当 时，函数 的增长速度比 的增产速度快，所以 ，故排除C；
故答案为：A

【分析】根据奇函数及其图像特征可判断B错误，D错误，再由 时 得C错误应选A。
4.【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ，
由直线 和 相切可得：
圆心到直线的距离 ，
解得 ，
解得 或 ，
故 是 或 的充分不必要条件，
故答案为：B.

【分析】根据直线与圆相切的性质解得 或 ， 再由充分必要条件即可判断B正确。
5.【解析】【解答】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，平时常人交谈时声强为 ，
由题意得
解得
∴
故答案为：C

【分析】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，平时常人交谈时声强为  把数据代入 联立，解得I1，I2 ， 二者相除即可求得。
6.【解析】【解答】设男性有 人，那么女性有 人
∵男性多于女性，∴ ，即
∵选出的两人性别相同的概率为
∴ ，即
∴ 或 〔舍〕
所以男性有21人
故答案为：C.

【分析】根据古典概率可得， 再由组合数公式化简得 ， 解一元二次方程即可求得。
7.【解析】【解答】由题知， ，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径 ，四边形AEOF为矩形，

那么 ，又
那么
那么 ，那么
故答案为：A

【分析】根据勾股定理可知  为直角三角形结合O为内心，可得四边形AEOF为正方形内切圆半径OE=OF=1，再过根据向量线性运算即可求得。
8.【解析】【解答】设双曲线的左焦点为 ，连接
由题意知
∴四边形 为矩形，令
∵ ，
∴在 中，
将 带入可得
∴
∴在 中，
即
可得
故答案为：D

【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， 根据矩形判定可得四边形 为矩形令 ， 根据双曲线定义和勾股定理结合可求得 ， 再在 中由勾股定理得 进而可得 。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】假设两变量x ， y具有线性相关关系，即满足 ，那么一定满足 ，样本点不一定在拟合直线上，A不符合题意，B符合题意；
假设以模型 拟合该组数据， ，故 ，C符合题意；
用 来刻画回归模型的拟合效果时，假设所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，那么 ，即 ，D符合题意；
故答案为：BCD

【分析】根据线性相关关系可判断A错误，B正确。根据拟合曲线关系可判断C正确，D正确。
10.【解析】【解答】由题意可得：函数 ，将其向右平移 个单位可得 ，再将所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，可得 ，
故可得函数 的周期 ,A符合题意；
令 ，可得 ，故 不是函数 的一个对称中心，B不符合题意；
当 ，可得 ，由正弦函数性质，可得函数 在 不单调，C不正确；
由 ，可得 是函数的对称轴，D符合题意；
故答案为：AD

【分析】根据正弦型函数图像变换可得由周期公式可得A正确。
B有正弦函数对称性可得B错误。
C由正弦函数周期性得C错误。
D由正弦函数对称性得D正确。
11.【解析】【解答】对于A，当 时， ，A不符合题意；
对于B，假设 ，那么 ，两边取对数得 ，B符合题意；
对于C，假设 ， ， ，那么
，当且仅当 ，即 时等号成立，C符合题意；
对于D，取 ， ，D不符合题意；
故答案为：BC

【分析】A由特值可判A错误。
B由得， 两面取对数可推得B正确。
C由根本不等式可推得C正确。
D由特值可判断D错误。
12.【解析】【解答】因为 , 平面 ， 平面 ，所以直线MN∥平面 ，A符合题意；
因为四棱锥 底面积为定值，所以当点 到平面 距离最大时体积最大，故当二面角 为直二面角时，满足题意，B符合题意；
对于C，如图，

假设BN⊥平面 ，那么 ，又 ， ，可知 平面 ,所以 ,又 ,所以 平面 ,这显然不可能，C不符合题意；
当四棱 体积最大时，二面角 为直二面角，如图，

由 ，取BC的中点E ， 那么E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，
作 平面MNCB ， OF上平面 MN ， 那么 是四棱锥 -MNCB的外接球的球心，且OF=DE= ，AF= .设四棱锥 -MNCB的外接球半径R，那么 ，所以球外表积是 ． 

【分析】A由线面平行判定可推得A正确。
B根据四棱锥 底面积为定值，所以当点 到平面 距离最大时体积最大，进而可判B正确。
C由反证法可得C错误。
D取BC的中点E ， 那么E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心得是四棱锥 -MNCB的外接球的球心，结合B的结论求得外接球半径R，进而求出球外表积，可判D正确。
三、填空题
13.【解析】【解答】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数，
∵ 的整数局部为673，余数为2，
∴该数列的前2021项中共有673个偶数，奇数的个数为 .
故答案为：1348

【分析】由斐波那契数列的特点经过推理即可求得。
14.【解析】【解答】由题得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：

【分析】根据导数即可求得切线倾斜角正切值，再由三角函数公式即可求得。
15.【解析】【解答】设 ， ，

可得 ，
，
由 ，带入可得： ，
所以 ，
故答案为：7.

【分析】根据两点间距离公式和点到直线距离结合可得 ， 和抛物线方程联立可解得P纵坐标进而得 。
16.【解析】【解答】设 ， ，当 时， ；当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 时， ； 时， ，
∴ ，作出 的图象，如图

要使 有三个不同的零点 ， ， 其中
令 ，那么 需要有两个不同的实数根 〔其中 〕
那么 ，即 或 ，且
假设 ，那么 ，∵ ，∴ ，那么
∴ ，那么 ，且
∴ =


假设 ，那么 ，因为 ，且 ，
∴ ，故不符合题意，舍去
综上
故答案为：1

【分析】设 根据导数求出函数单调性最值得到g(x〕图像，令 那么原函数式有 三个不同的零点那么需 有两不同实根数形结合得假设 时不符合题意，假设 时 那么，且 ， 进而可求得    值。
 
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕根据三角函数诱导公式和余弦倍角公式可化为   解该方程可求得B。
〔2〕由三角形面积公式得  ，再由余弦定理即可求得。
18.【解析】【分析】〔1 〕选①，∵  是公差不为0的等差数列，设公差为d，由等比数列通项和性质得    ，   ，可得an通项。 选② 根据等差数列前n项和即可求得an通项。 选③ 由   ， 可得 结合即可求得an通项。再根据等比数列通项可求得  。
〔2〕 由   ，  可知  的前80项中，数列  的项最多有5项 进而可得   的前80项是由  的前77项及   ，    ，   构成 ，再根据等差和等比前n 项和即可求得。
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕根据线面垂直的判定和性质即可证出。
〔2〕根据二面角的平面角可知  ，  取  的中点   ， 连接 ， 以  为原点建立如下列图的坐标系   ， 设   ，根据空间向量即可求出直线和平面夹角。
 
 
20.【解析】【分析】X所有可能取值0,1,2,3,4,5,6分别求出概率，即可求出分布列。
〔2〕 选择方案一 求出所需费用分布列和期望， 选择方案二 求出所需费用分布列和期望，由此能求出选择方案二对客户更合算 。
 
21.【解析】【分析】〔1〕由易得    ，    ，  ，根据椭圆定义可知 曲线C为以  、  为焦点的椭圆 ，再根据椭圆标准方程即可求得。
〔2〕利用反证法假设存在，设直线AB的方程为   ，    ，  ，联立直线和曲线C方程可推得    ，  ， 进而得kPA+kPB=2k-1,kPD=k-,  代入题中的可解得   ，  使  成立 。
 
 
22.【解析】【分析】〔1〕根据导数可推得    ，    ，  ， 所以，  时，  ；  时，  ；  时，   ， 所以0和  是  的极值点 。
〔2〕 设 ，h(x〕再求导可推得 当  时，  在  上单调递增 进而得  。 当  吋，利用导数推出 在  上单调递减进而得   时， ， 综上可得 时a取值范围。
〔3〕 由〔2〕可知  时，   ，   可得,x用n代替可推得 ，再把n用1,2,3......代替裂项相消即可推出。