2021届山东省德州市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届山东省德州市高三数学一模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕．
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.复数 的共轭复数的虚部为〔    〕．
A.                                       B.                                       C.                                       D. 



3. ，那么 是 的〔    〕．
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件

             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件



4.?史记?卷六十五?孙子吴起列传第五?中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规那么为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否那么得0分．假设每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，那么比赛结束时，田忌得2分的概率为〔    〕．
A.                                           B.                                           C.                                           D. 



5. ，那么 的值为〔    〕．
A.                                     B.                                     C.                                     D. 



6.向量 ， 满足 ， ， ，那么 〔    〕．
A.                                        B.                                        C.                                        D. 



7.设函数 ，其中 ，假设存在唯一整数 ，使得 ，那么 的取值范围是〔    〕．
A.                              B.                              C.                              D. 



8.英国著名物理学家牛顿用“作切线〞的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列〞在航空航天中应用广泛，假设数列 满足 ，那么称数列 为牛顿数列．如果函数 ，数列 为牛顿数列，设 且 ， ，数列 的前 项和为 ，那么 〔    〕．
A.                          B.                          C.                          D. 



二、多项选择题
9.2021年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年〔2021年到2021年〕的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入〔单位：百元/人〕茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入〔以下分别简称“甲〞“乙〞〕情况的判断，正确的选项是〔    〕．

A. 过去的6年，“甲〞的极差小于“乙〞的极差


B. 过去的6年，“甲〞的平均值小于“乙〞的平均值


C. 过去的6年，“甲〞的中位数小于“乙〞的中位数


D. 过去的6年，“甲〞的平均增长率小于“乙〞的平均增长率．



10.函数 的局部图像如下列图，将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，那么以下关于函数 的说法正确的选项是〔    〕．

A. 的最小正周期为                                     B. 在区间 上单调递增


C. 的图像关于直线 对称                      D. 的图像关于点 成中心对称



11.双曲线 ， 、 分别为双曲线的左、右顶点， 、 为左、右焦点， ，且 ， ， 成等比数列，点 是双曲线 的右支上异于点 的任意一点，记 ， 的斜率分别为 ， ，那么以下说法正确的选项是〔    〕．
A. 当 轴时，


B. 双曲线的离心率


C. 为定值


D. 假设 为 的内心，满足 ，那么



12.如图，在边长为4的正方形 中，点 、 分别在边 、 上〔不含端点〕且 ，将 ， 分别沿 ， 折起，使 、 两点重合于点 ，那么以下结论正确的有〔    〕．

A. 


B. 当 时，三棱锥 的外接球体积为


C. 当 时，三棱锥 的体积为


D. 当 时，点 到平面 的距离为



三、填空题
13.假设二项式 的展开式中所有项的二项式系数和为32，那么该二项式展开式中含有 项的系数为________．
14.抛物线 ，点 、 在抛物线上，且分别位于 轴的上、下两侧，假设 ，那么直线 过定点________．
15.三棱锥 中， 、 、 三条棱两两垂直，且长度均为 ，以顶点 为球心，4为半径作一个球，那么该球面被三棱锥四个外表截得的所有弧长之和为________．
16.设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当 时，假设 在 内恒成立，那么称 点为函数 的“类对称中心点〞，那么函数 的“类对称中心点〞的坐标为________．
四、解答题
17.在① ，② ，③ ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 外接圆面积为 ， ，且  ▲  ， 求 的面积．
18.数列 满足 ．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设数列 的前 项和为 ，证明： ．
19.2021年春晚首次采用“云〞传播，“云〞互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆〞，共享新春气氛，“云课堂〞亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂〞建议的了解情况进行了问卷调查，记 表示了解， 表示不了解，统计结果如下表所示：
〔表一〕
了解情况


人数
140
60
〔表二〕

男
女
合计

80




40

合计



附：临界值参考表的参考公式














，其中 〕
〔1〕请根据所提供的数据，完成上面的 列联表〔表二〕，并判断是否有99％的把握认为对“云课堂〞建议的了解情况与性别有关系;
〔2〕用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂建议〞的概率为 ，“4名女性中恰有3人了解云课堂建议〞的概率为 ．试求出 与 ，并比较 与 的大小．
20.如图，四边形 为梯形， ， 于 ， 于 ， ， ， ，现沿 将 折起，使 为正三角形，且平面 平面 ，过 的平面与线段 、 分别交于 、 ．

〔1〕求证： ；
〔2〕在棱 上〔不含端点〕是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，假设存在，请确定 点的位置；假设不存在，说明理由．
21.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆上的点到焦点 的距离的最小值为 ，以椭圆 的短轴为直径的圆过点 ．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕假设过 的直线交椭圆 于 、 两点，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 ，求四边形 面积的取值范围．
22.函数 ， ．定义新函数 ．
〔1〕当 时，讨论函数 的单调性；
〔2〕假设新函数 的值域为 ，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，那么
由 ，那么
故
故答案为：D

【分析】首先由一元二次不等式的解法求出集合A再由对数函数的单调性求出集合B然后由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，虚部为 ，
故答案为：D

【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质整理化简再由共轭复数的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】当 时，推不出 ，例如 时，
当 时，可得 ，即 ，所以 成立，
所以 是 成立的必要不充分条件，
故答案为：B

【分析】首先由不等式的性质以及指数函数的单调性即可求出a与b的关系，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
4.【解析】【解答】设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a ， b ， c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，
所有的可能为:
Aa ， Bb ， Cc ， 田忌得0分;
Aa ， Bc ， Cb ， 田忌得1分
Ba ， Ab ， Cc ， 田忌得1分
Ba ， Ac ， Cb ， 田忌得1分;
Ca ， Ab ， Bc ， 田忌得2分，
Ca ， Ac ， Bb ， 田忌得1分
田忌得2分概率为 ，
故答案为：C

【分析】 根据题意设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，利用列举法能求出比赛结束时，田忌得2分的概率．
5.【解析】【解答】由 ，
所以
那么
故答案为：B

【分析】 先根据正弦的两角和公式对等式进行化简，再利用辅助角公式，即可得解．
6.【解析】【解答】由
又 ， ，
所以
故答案为：A

【分析】 利用向量的数量积以及向量的模，转化求解向量的焦距的余弦函数值即可．
7.【解析】【解答】由 可得 ，
化简得 ，
当 时， ，
故当 时， 恒成立，
故不存在唯一整数 ，使得 成立，
当 时，令 ，解得 且 ，
所以 的解为 ，
假设存在唯一整数 ，那么 ，
解得 ，
故答案为：C

【分析】 根据题意设出函数g〔x〕=xex ， y=ax，那么存在唯一的整数x0，使得g〔x0〕在直线y=ax的下方，求导数可得函数g〔x〕的极值，数形结合可得a的不等式，即可求出a的取值范围．
8.【解析】【解答】由题可知： ，
所以 ，
那么两边取对数可得 ，即
所以数列 是以1为首项2为公比的等比数列，
所以
故答案为：A

【分析】根据题意首先对函数求导再由等比数列的定义结合对数的运算性质即可得出， 从而得出数列为等比数列结合等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】甲的极差为：6，乙的极差为：7，A符合题意
甲的平均值为：
乙的平均值为： ，B不符合题意
甲的中位数为： ，乙的中位数为： ，C符合题意
设甲、乙的平均增长率分别为
那么对甲：
对乙：
D符合题意
故答案为：ACD

【分析】 根据茎叶图中数据，利用统计知识的相关性质判断即可.
10.【解析】【解答】由函数图象知：A=2， ，
所以 ，
所以 ，
因为函数图象过点 ，
所以 ，
那么 ，
解得 ，
所以 ，
将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 ，得到 ，
纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移 个单位长度，得到 ，
A. 的周期是 ，故正确；
B. 因为 ，所以 ，故错误；
C. 因为 ，所以 ，故正确；
D. 因为 ，故错误.
故答案为：AC

【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用判断A、B、C、D的结论．
11.【解析】【解答】∵a ， b ， c成等比数列，
∴b2＝ac ，
如图，

对于A ， 当PF2⊥x轴时，点P为 ,
，显然 ，即A不符合题意；
对于B ，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 〔舍负〕，即B符合题意；
对于C,设 ，那么 ，所以 ，
由点 在双曲线上可得 ，
代入 ，C符合题意；
对于D，设圆I的半径为r ，

，
即 ， 由双曲线的定义知，
，即 ， D符合题意；
故答案为：BCD．

【分析】根据题意结合双曲线的简单性质以及等比数列的性质即可判断出选项A错误，由双曲线的性质即可判断出选项B正确，结合斜率的公式代入数值计算出结果即可判断出选项C正确，由双曲线的性质以及离心率的公式整理即可得出结果由此判断出选项D正确，从而得出答案。
12.【解析】【解答】A选项： 正方形

由折叠的性质可知：
又
面
又 面 ，
；A符合题意.
B选项：当 时，
在 中， ，那么
由A选项可知，
三棱锥 的三条侧棱 两两相互垂直，
把三棱锥 放置在长方体中，可得长方体的对角线长为 ，
三棱锥 的外接球半径为 ，体积为 ，
B不符合题意
C选项：当 时，
在 中， ，

那么

C符合题意；
D选项：设点 到平面 的距离为 ，那么
在 中， ，

那么

即
D符合题意；
故答案为：ACD

【分析】结合线面垂直的性质定理即可判断出选项A正确，由条件解三棱锥的性质即可得出三条侧棱 两两相互垂直时满足题意即可判断出选项B错误，利用等体积法计算出结果即可判断出选项C正确，再由等体积法即可求出点到面的距离从而判断出选项D正确，由此即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为二项式 的展开式中所有项的二项式系数和为32
所以 ，解得 ，
所以 的展开式通项为： ，
令 可得 ，
所以该二项式展开式中含有 项的系数为 .
故答案为：80.

【分析】 利用二项式系数的性质可求得n=5，从而可求得该二项式展开式中含有x3项的系数．
14.【解析】【解答】设直线 方程 ，
那么 ，那么 ，且
又 ，所以
那么 或 〔舍〕，
故直线 方程 ，所以直线 过定点〔5,0〕
故答案为：〔5,0〕

【分析】 设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之积，求出数量积， 由题意可得b的值，再由题意可得直线AB 恒过的定点的坐标．
15.【解析】【解答】由题可知： 、 、 三条棱两两垂直，且长度均为
如图：

所以
，
所以 ，那么
所以 ，那么

所以球面被三棱锥四个外表截得的所有弧长之和为
故答案为：3π

【分析】 由题意画出图形，再由求出扇形中心角，根据弧长公式求解．
16.【解析】【解答】由题可知：函数定义域为
，所以 ，
所以在点 的切线方程为： ，
即 ，那么
令 ，且
所以
当 时， ， ； ，
所以函数 在 递减，在 递增，
不符合 在D内恒成立
当 时， ， ； ，
所以函数 在 递减，在 递增，
不符合 在D内恒成立
当 时， ，又 ，
所以 在D内恒成立
故 ，且
所以“类对称中心点〞的坐标为
故答案为：

【分析】 由求导公式求出函数f〔x〕的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y=g〔x〕，设F〔x〕=f〔x〕-g〔x〕，求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F〔x〕的单调性和最值，从而可判断出的符号，再由“类对称中心点〞的定义确定“类对称中心点〞的坐标．
四、解答题
17.【解析】【分析】 结合所需条件及正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理可求a及b，c的关系，再由余弦定理及三角形面积公式可求．
18.【解析】【分析】(1)根据题意由错位相减法整理即可得出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论整理即可定点数列的通项公式，再列项相法整理即可得出答案。
19.【解析】【分析】 〔1〕根据题意填写列联表，计算K2 ， 对照临界值表得出结论；
〔2〕用样本估计总体，将频率视为概率，分别计算所求的概率值即可．
20.【解析】【分析】(1)根据题意即可得到线线平行，由线面平行判定定理以及线面垂直的性质定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合诱导公式即可得到 直线 与平面 所成的角的正弦值。
21.【解析】【分析】 〔1〕由题意可得b的值，和到左焦点的距离的最小值可得a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；
〔2〕设直线AB的方程，由题意可得直线CD的方程，取过右焦点平行于CD的直线C1D1的方程，由椭圆的对称性可得|CD|=|C1D1|，将直线AB，C1D1的方程分别与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出弦长|AB|，|C1D1|的值，代入四边形的面积公式，设函数，由函数的单调性可得面积的取值范围．
 
 
22.【解析】【分析】(1)首先求出a的值由此得到函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可，得出当a取不同范围时函数的单调性以及单调区间。
〔2〕由可得f〔x〕-g〔x〕=0有解，转化为在〔0，+∞〕上有解，构造函数然后利用导数研究函数h〔x〕的性质，求出h〔x〕的最值，即可得到a的取值范围．