2021届内蒙古呼和浩特市高三理数二模试卷及答案

 高三理数二模试卷

一、单项选择题

1.设全集为R，集合 ，那么 〔    〕           

A.
B.
C.
D.

2.设复数 ，那么 的的虚部是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

以以下列图的四个电路图，那么能表示“开关A闭合〞是“灯泡B亮〞的必要不充分条件的一个电路图是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

4.在等比数列 中， ，那么 〔    〕           

5.假设x，y满足约束条件 ，那么 的最大值是〔    〕           

A.－2
B.－5

D.－1

6.函数 在其定义域上的图象大致为〔    〕           

A.
B.
C.
D.

7.在平行四边形ABCD中，两邻边满足AD＝2AB＝2，且 ，E为BC的中点， 是 中点，那么 〔    〕           

B.
C.
 

8.设X~N〔1，1〕，且其概率密度曲线如以下列图，那么从正方形ABCD中随机取100000个点，那么取自阴影局部的点的个数的估计值是〔    〕 

〔注：假设 ，那么

9.设a，b为正数，假设圆 关于直线 对称，那么 的最小值为〔    〕           

10.设 、 、 表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出以下四个命题： 

①假设 ，且 ，那么 ；

②假设 ， ， ，那么 ；

③假设 ，且 ，那么 ；

④假设 ， ， ，那么 ．

那么正确的命题个数为〔   〕

11.实数a、b，满足 ， ，那么关于a、b以下判断正确的选项是〔    〕           

A.a＜b＜2
B.b＜a＜2
C.2＜a＜b
D.2＜b＜a

12.点 是椭圆 上异于顶点的动点， 、 为椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，假设 是 平分线上的一点，且 ，那么 的取值范围是〔    〕           

A.
B.
C.
D.

二、填空题

13. ，那么 ________．   

14.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的平安距离，某会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米．疫情期间为了更加平安，规定在此会议室开会时，每一行，每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件〔其中“√〞表示就座人员〕根据这一规定，该会议室最多可容纳的参会人数为________． 

15.在正方体 中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段 上一动点〔不含C〕过M、N、P与正方体的截面记为 ，那么下面三个判断，其中正确判断的序号有________．

①当P为 中点时，截面 为六边形；

②当 时，截面 为五边形；

③当截面 为四边形时，它一定是等腰梯形；

16.数列 中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列， 为其前n项和，定义 ，且数列 的前n项和为 ，假设 ，那么数列 的前30项中0的个数为________个．   

三、解答题

17.2021年是脱贫攻坚的收官之年，为了响应国务院扶贫办确定的“精准扶贫〞〕〕〕〕， 分成五组，得到如以下列图的频率分布直方图．规定： 

假设0≤x＜0.6，那么认定该户为“绝对贫困户〞否那么认定该户为“相对贫困户〞此次调查中甲村的“绝对贫困户〞占甲村贫困户的24%

〔1〕根据频率分布直方图求这100户村民贫困指标x的平均值及甲、乙两村“绝对贫困户〞的总户数；〔同一组中的数据用该组区间的中点值代表〕   

〔2〕完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关 

附： ，其中 ．

18.，以以下列图是为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量得到的数据．AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求由D、E、F三点构成的三角形的外接圆的半径R． 

19.如以下列图，在直角梯形BCEF中， ，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2AD＝2AF＝2，〔如图1〕将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE〔如图2〕． 

〔1〕求证：AC∥平面BEF；   

〔2〕当EF⊥CF时，求异面直线BF与EC所成角的余弦值．   

20.如图，抛物线 的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点〔直线l不垂直于x轴〕，交直线ND于第三象限的点C． 

〔1〕求抛物线E的方程；   

〔2〕假设直线MA，MB，MC的斜率分别记为 判断 是否是定值？假设是，求该定值；假设不是，请说明理由．   

21.函数

〔1〕讨论g(x)的单调性；   

〔2〕假设 ，对任意 恒成立，求a的最大值；   

22.在极坐标系中，点A的极坐标为 ，曲线 ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，假设直线l过A点，且倾斜角为

〔1〕求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；   

〔2〕假设直线l与曲线C交于B、C两点，且 ，求直线l的斜率．   

23.设函数 ．   

〔1〕求不等式 的解集；   

〔2〕假设不等式 在区间 上恒成立，求a的取值范围．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】解： 全集为 ，集合 ， ，

或 ，

．

故答案为：D．

 
【分析】 解不等式，分别求出关于A, B的范围，取交集即可.

2.【解析】【解答】 ,

所以 的的虚部是 .

故答案为：A

 
【分析】 利用复数的运算法那么、虚部的定义即可得出.

3.【解析】【解答】A：“开关A闭合〞是“灯泡B亮〞的充分不必要条件；

B：“开关A闭合〞是“灯泡B亮〞的充要条件；

C：“开关A闭合〞是“灯泡B亮〞的必要不充分条件；

D：“开关A闭合〞是“灯泡B亮〞的既不充分也不必要条件.

故答案为：C.

 
【分析】 开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件,即表示开关 A闭合时灯泡B不一定亮，但是灯泡B亮时开关A一定闭合.

4.【解析】【解答】解：在等比数列 中， ， ，

，解得 ，

，

解得 ．

故答案为：D．

 
【分析】 利用等比数列通项公式求出 ,由此能求出a1 .

5.【解析】【解答】作出可行域，如图阴影局部〔线段 ，射线 ，射线 围成的区域〕，

作直线 ，

在 中 表示直线的截距，直线向上平移时纵截距增大， 增大，

平移该直线，当它过 时， ．

故答案为：A．

 
【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

6.【解析】【解答】函数的定义域为 .

因为 ， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称，排除A,B；

当 ， ，排除C.

故答案为：D.

 
【分析】 根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AB；再在区间(1, +∞)上，分析f(x)的符号，排除C,即可得答案.

7.【解析】【解答】因为E为BC的中点， 是 中点，所以 ，

，

，那么 ，

所以

．

故答案为：C．

 
【分析】平面向量的线性运算可得， 再利用向量的数量积公式，即可求解。

8.【解析】【解答】解：因为 ， ，

向正方形 中随机投掷一个点，这个点落在阴影局部的概率为 ，

所以阴影局部的 ．

故答案为：D．

 
【分析】利用正态曲线的对称性分析求解即可。

9.【解析】【解答】解：圆 ，即 ，所以圆心为 ，

所以 ，即 ，因为 、 ，

那么 ，

当且仅当 时，取等号．

故答案为：A．

 
【分析】 化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得2a +b= 1,然后利用“1〞的代换及根本不等式求最值.

10.【解析】【解答】解：①根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行〞知，假设 ，且 ，那么 正确；故①正确，

②假设 ， ， ，那么 错误，当 时，也满足前面条件；故②错误，

③假设 ，且 ，那么 不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，

④假设 ， ， ，那么 不一定成立，有可能平行．故④错误，

故正确的个数为1，

故答案为：D．

 
【分析】 根据空间线面平行，垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可.

11.【解析】【解答】 .

构造函数： ，易知函数 是R上的减函数，且 ，由 ，可知： ，又 ，∴ ，那么a>b.

又∵ ，∴a>b>2.

故答案为：D.

 
【分析】先根据 ， 判断a接近2，进一步对a进行放缩，， 通过对数运算性质和根本不等式可以判断；根据b的结构，构造函数， 得出函数的单调性和零点，进而得到a，b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案。

12.【解析】【解答】如以以下列图，延长 、 相交于点 ，连接 ，

因为 ，那么 ，

因为 为 的角平分线，所以， ，那么点 为 的中点，

因为 为 的中点，所以， ，

设点 ，由可得 ， ， ，

那么 且 ，且有 ，

，

故 ，

所以， .

故答案为：C.

 
【分析】 由题意画出图形，延长 、 相交于点 ， 由可得，可得，求出的范围，那么答案可求.

二、填空题

13.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，

所以

故答案为：

 
【分析】根据同角三角函数的根本关系式求出，再将弦化切代入计算可得。

14.【解析】【解答】解：第一步：在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，

第二步：在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，那么可空出第二个或第三个座位，

第三步：假设第二排空出第二个座位，那么第三排只能安排一人在第二个座位就坐，

第四步：在第四排安排3人就坐，且空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳 人，

重复第三步：假设第二排空出第三个座位，那么第三排可安排2人在中间位置就坐，

重复第四步：在第四排安排3人就坐，且空出第二个座位，此时会议室共容纳 人，

故答案为：11．

 
【分析】 分布安排每一排就坐， 根据第一排与第二排的空座位置是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论.

15.【解析】【解答】解：如图①，延长 交 于 ，交 于 ，延长 交 于 ，取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ，

因为M为AB中点，N为BC中点，

所以 ，

同理 ，

又因 ，

所以 ，

同理 ，

所以 共面，

此时六边形 为截面 ，

所以截面 为六边形；故①正确；

如图②，延长 交 于 ，交 于 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，此时截面 为五边形

因为 ，所以 ，

所以 ，即 ，

所以当 时，截面 为五边形；故②错误；

当截面 为四边形时，点 与点 重合，如图，

由①得， ，所以四边形 即为截面 ，

设正方体的棱长为1，

那么 ， ，所以 ，

所以四边形 是等腰梯形；故③正确.

故答案为：①③.

 
【分析】如图①，延长 交 于 ，交 于 ，延长 交 于 ，取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ，结合图形即可判断；如图②，延长 交 于 ，交 于 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，此时截面 为五边形，求出即可判断；当截面 为四边形时，点 与点 重合，判断四边形 的形状即可。

16.【解析】【解答】设 前30项中有 个1，因为 ，那么有 个 ，其余的都是0，

所以 ，解得 ，因此0的个数是29－2×11＝7个．

故答案为：7．

 
【分析】 要判断数列的前30项中0的个数，可以先弄清有多少个1或-1,根据
，可求出k，进而得出答案。

三、解答题

17.【解析】【分析】 (1)根据频率分布直方图中平均数的计算方法可得贫困指标x的平均值，再由频数/组距X组距X样本容量，即可得甲、乙两村的“绝对贫困户〞的户数;
(2)先计算甲村“绝对贫困户〞的总户数,再填写2 X 2列联表，然后根据K2的参考公式计算其观测值,并与附表中的数据比照，即可.

18.【解析】【分析】 分别在Rt△DM F中和Rt△DN E中利用勾股定理，求得DF, DE再算出EF = 150m,在△D EF中利用余弦定理，可算出cos∠DE F的值，利用同角三角函数根本关系式可求sin∠DEF,进而根据正弦定理即可求解.

19.【解析】【分析】 ( 1 )取DE中点M,连接AM,证明EF//AM,可得AM //平面BEF,连接AC、BD,设AC'∩BD = N,证得MN//BE,可得MN //平面BEF,由面面平行的.判定可得平面AMN //平面BEF,从而得到AC//平面BEF;
( 2 )在平面ADEF中，证明EF⊥FD,结合EF⊥CF,可得EF⊥平面CDF,那么EF⊥CD,再由CD⊥AD,得到CD⊥平面ADEF,得到CD⊥DE,由求解CE、CM,证明BF//CM,可得∠ECM为异面直线BF与EC所成角(或其补角) ,再由余弦定理求解.

20.【解析】【分析】 ( 1 )由F的坐标求出点M的坐标,代入抛物线方程，即可求出p的值,从而得到抛物线E的方程；
〔2〕由( 1 )可知    ，     ，     ，   设    ，     ，     ，    ，设直线  的方程为  与抛物线方程联立,利用韦达定理可得    ，  ， 联立直线与准线方程，求出点C的坐标，利用斜率公式表达出 ,把    ，   代入  的表达式,化简整理,即可得到  为定值.

21.【解析】【分析】〔1〕对函数求导，然后结合导数与单调性关系，对a进行分类讨论即可得出 g(x)的单调性； 〔2〕 即   ，设  ，那么  ， 易知函数  在  上单调递增， 当  时，即为    ，  设    ， 那么 ， 得 ，即可求出 a的最大值 。

22.【解析】【分析】〔1〕求出点A的直角坐标为 ， 即可得出直线  的参数方程；由曲线C的极坐标方程   得 即可求出曲线C的直角坐标方程；
〔2〕 把  代入  并整理得    ， 可得  ， 令    ，     ，   为锐角，那么    ，  利用参数的几何的几何意义即可求出直线l的斜率。

23.【解析】【分析】 ( 1 )由绝对值不等式的解法,可得所求解集；
(2 )原不等式等价为 ，   ，运用绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围.