2020-2021学年广西省河池市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西省河池市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是( )
A.朝上点数是2的概率为1
B.朝上点数是2的频率为1
C.抛掷第31次，朝上点数一定不会是2
D.抛掷第31次，朝上点数一定是2

2. 若π3角的终边上有一点3,a+1，则a=( )
A.−1B.0C.1D.2

3. 在样本的频率分布直方图中，共有13个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他12个小长方形面积的和的37，且样本容量为500，则中间一组的频数为( )
A.0.3C.150D.350

4. 已知1−sinαtanα<0,csπ−αtanα>0，则角α的终边在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5. 三张便签上分别印着字母M，M，O，将三张便签随机地贴成一行，恰好排成英文单词MOM的概率为( )
A.16B.15C.14D.13

6. 设向量e1→,e2→是平面内的一组基底，a→=λe1→−e2→,b→=e1→−μe2→，要使a→，b→也可以作为平面内的一组基底，则实数对λ,μ可以是( )
A.−2,−12B.−2,12C.2,12D.12,2

7. 函数fx=csωx+φω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，以下说法：
①fx的单调递增区间是4k−3,4k+1,k∈Z；
②f0=12；
③fx的图象关于点2023,0对称；
④fx的图象可由函数y=sinπ4x的图象向左平移一个单位长度得到．
正确的个数为( )

A.1B.2C.3D.4

8. 已知向量a→=1,3,b→=csθ,sinθ，满足2a→+5b→⊥a→，则向量a→，b→夹角的余弦值为( )
A.−255B.−31010C.31010D.255

9. 某程序框图如图所示，若输出的s=183，则判断框内为( )

A.k>5？B.k≥5？C.k>7？D.k≥7？

10. 已知奇函数y=fx的图象关于直线x=π2对称，当x∈0,π2时，fx=2−2cs2x2，则函数gx=fx+x2π的零点个数为( )
A.3B.4C.5D.6

11. 已知函数fx=sinπ8x,−3≤x<0tanπ8x,0≤x≤3 ，则在其定义域内任取一实数x0，使fx0∈0,1的概率为( )
A.13B.12C.23D.56

12. 在△ABC中，AB=4,AC=5,csA=34，若H为△ABC的垂心（即三角形三条高线的交点），则AH→⋅CH→=( )
A.−367B.−167C.−67D.367
二、填空题

某校有学生n名，其中男生数与女生数之比为5:4，为了解学生的阅读情况，现要求按分层抽样抽取一个样本容量为n25的样本，若样本中男生比女生多16人，则n=________

已知半径为2的扇形OAB的弦长AB=22，则该扇形的面积是________.

计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：B×D=8F，则用十六进制表示48÷8=________.

已知向量a→，b→满足|a→|=2,|b→|=1，且对于任意实数x，不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，设a→，b→的夹角为α，则sin2α+π3=________.
三、解答题

已知α为第一象限角，fα=sinπ2−αcs5π2+αtanα+πtan−α−3πcs−α−π.
(1)化简fα；

(2)若tanα=3，求fα的值．

如今，每年的6月18日成了各大电商平台的网购节了，每到这时候，各大电商都通过各种方式血拼促销．已知某家电旗舰店近五年“618”期间的成交额如表：

(1)求出y与x的回归直线方程y=bx+a；

(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，并根据（1）中所求的回归直线方程预测2022年该店“618”的成交额．
参考数据：i=15xiyi=3824，回归直线方程y=bx+a中， b=i=1nxiyi−nx¯⋅y¯i=1nxi2−nx¯2；a=y¯−bx¯.

为进一步增强青少年法治意识，提高自我保护能力，某市司法局组织普法宣传员和法律服务工作者走进校园，并通过开设法治教育课、发放宣传资料和宣传手册、开展法律知识竞赛等形式进行法治宣传．现统计局调查队随机抽取了A，B两校中7名学生的法津知识竞赛成绩，成绩如表所示：

(1)请计算A，B两校学生法律知识竞赛的平均成绩；

(2)请计算A，B两校学生法律知识竞赛成绩的方差，并判断对法律知识的掌握哪个学校更为稳定．

已知函数fx=4sinxcsx+56π+a−2的图象经过点π3,−3
(1)求函数fx的单调递减区间；

(2)当x∈−π2,π2时，求使fx<0成立的x的取值集合．

设a→=(sinx,2),b→=(csx,sin(π4−x)),f(x)=a→⋅b→,g(x)=|a→|2+|b→|2.
(1)当x∈−π2,0时，求函数y=fx的最值；

(2)已知gα4=165,π2≤α≤2π，求fα的值．

果树滴灌是利用一套专门的设备，把有压水经过滤后，通过各组输水管网到滴头，将水和溶于水中的肥料自水源通过压力管直接输送到作物根部，水、肥料皆需定时、定量供应，以达到有效地节约用水的目的．设有三片核桃林，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点M处，AB=8km，BC=4km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个蓄水池，记O点到三片核桃林的距离之和为L（km）．

(1)设∠OAB=xrad，将L表示为x的函数；

(2)试利用（1）的函数关系式确定蓄水池O的位置，使蓄水池Ο到三片核桃林的距离之和L（km）最小．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省河池市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
频数与频率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：朝上点数是2的频率是3030=1．朝上点数是2的概率是16，在第31次抛掷中，我们无法预知究竟会出现哪一种结果．
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为tanπ3=a+13=3，所以a=2.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
频数与频率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设中间一组的频率为x，则其他12组的频率为1−x，由题意知x=371−x，得x=310，所以中间一组频数为310×500=150.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为1−sinαtanα<0，所以tanα<0，又csπ−αtanα>0，所以sinα<0，故角α在第四象限．
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：包括的基本事件为；MOM，MMO，OMM，故恰好排成英文单词MOM的概率为13.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：易知a→与b→不共线，只需λμ≠1即可．
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图象可知fx的周期为8，故ω=2π8=π4,fx=csπ4x+φ，
将点1,1代入解析式，得1=csπ4+φ，故π4+φ=2kπ，所以φ=2kπ−π4,k∈Z.
因为|φ|<π2，所以φ=−π4，所以fx=csπ4x−π4，故①②错，③④正确．
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
数量积的坐标表达式
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|a→|=10,|b→|=1,2a→+5b→⋅a→=0,a→⋅b→=−22,cs⟨a→,b→⟩=−255.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
循环结构的应用
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当k=1时，k=k+1=2,s=0×2+2=2；
当k=2时，k=k+1=3,s=2×2+3=7；
当k=3时，k=k+1=4，s=7×2+4=18；
当k=4时，k=k+1=5,s=18×2+5=41，
当k=5时，k=k+1=6,s=88，
当k=6时，k=k+1=7,s=183，此时循环结束.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为奇函数y=fx的图象关于直线x=π2对称，
所以fπ−x=fx，又f−x=−fx，
所以fx−π=−fx,fx+2π=−fx+π=fx，
故fx是以2π为周期的函数
当x∈0,π2时，fx=2−2cs2x2=1−csx
作出y=fx和y=−x2π的图象，
观察图象可知有5个交点．
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：数形结合，由 fx0∈0,1，可得 x0∈0,2，由几何概型得P=2−03−−3=13.
故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
三角形五心
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图建立平面直角坐标系．
易知 A−3,0,B0,7,C2,0
设 H0,ℎ，由H为垂心可得，CH→⋅AB→=0，
即−2,ℎ⋅3,7=0
∴ −6+7ℎ=0
解得：ℎ=677
∴ AH→⋅CH→=3,ℎ⋅−2,ℎ=ℎ2−6=−67.
故选C.
二、填空题
【答案】
3600
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设样本中男生数为x，女生数为y，则x−y=16x:y=5:4，解得x=80y=64，所以样本容量为80+64=144，由144=n25，解得n=3600.
故答案为：3600.
【答案】
π
【考点】
扇形面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△OAB中，AB2=OA2+OB2=8，故∠AOB=π2，故面积S=12×π2×22=π.
故答案为：π.
【答案】
9
【考点】
进位制
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：48用十进制表示为4×16+8=72，而72÷8=9，所以用十六进制表示为9.
故答案为：9.
【答案】
−32
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，
当a→+b→⊥b→时，对于任意实数x,a→+xb→=OA→或a→+xb→=OB→，三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立，
因为a→+b→⊥b→,|a→|=2,|b→|=1，
所以csα=−12,α=2π3,sin2α+π3=−32.
故答案为：−32.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题可得 fa=csα⋅−sinα⋅tanαtan−α⋅[csα+π]
所以 f(a)=csα⋅(−sinα)⋅tanα−tanα⋅(−csα)=−sinα.
(2)因为 tanα=sinαcsα=3，所以 sinα=3csα，代入 cs2α+sin2α=1 得cs2α=110，
因为α为第一象限角，所以 csα=1010,sinα=31010，
故 fα=−sinα=−31010.
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可得 fa=csα⋅−sinα⋅tanαtan−α⋅[csα+π]
所以 f(a)=csα⋅(−sinα)⋅tanα−tanα⋅(−csα)=−sinα.
(2)因为 tanα=sinαcsα=3，所以 sinα=3csα，代入 cs2α+sin2α=1 得cs2α=110，
因为α为第一象限角，所以 csα=1010,sinα=31010，
故 fα=−sinα=−31010.
【答案】
解：(1)由题可知，x¯=1+2+3+4+55=3,y¯=72+140+212+284+3405=209.6，i=15xi2=55,i=15xiyi=3824
所以b=3824−5×3×209.655−5×32=68010=68,a=209.6−68×3=5.6，
所以回归直线方程y=68x+5.6.
(2)由b=68>0知y与x之间是正相关，
当x=6时，可得y=68×6+5.6=413.6，
因此可预测2022年该店“618”的成交额为413.6万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知，x¯=1+2+3+4+55=3,y¯=72+140+212+284+3405=209.6，i=15xi2=55,i=15xiyi=3824
所以b=3824−5×3×209.655−5×32=68010=68,a=209.6−68×3=5.6，
所以回归直线方程y=68x+5.6.
(2)由b=68>0知y与x之间是正相关，
当x=6时，可得y=68×6+5.6=413.6，
因此可预测2022年该店“618”的成交额为413.6万元．
【答案】
解：(1)x¯A=17×87+89+86+93+93+92+90=90，
x¯B=17×89+88+83+94+91+93+92=90.
(2)sA2=17×32+12+42+32+32+22+02=487
sB2=17×12+22+72+42+12+32+22=847
因为sA2【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x¯A=17×87+89+86+93+93+92+90=90，
x¯B=17×89+88+83+94+91+93+92=90.
(2)sA2=17×32+12+42+32+32+22+02=487
sB2=17×12+22+72+42+12+32+22=847
因为sA2【答案】
解：(1)因为函数fx=4sinxcsx+56π+a−2的图象经过点π3,−3
所以−3=4×32×−32+a−2，解得a=2
又fx=4sinxcsx+56x
=4sinx−32csx−12sinx
=−23sinxcsx−2sin2x
=−3sin2x+cs2x−1=2sin2x+5π6−1
由2kπ+π2≤2x+56π≤2kπ+3π2，得kπ−π6≤x≤kπ+13π
故fx的单调递减区间为kπ−π6,kπ+13π,k∈Z.
(2)由fx<0，得sin2x+56π<12
当x∈−π2,π2时，−π6≤2x+56π≤116π
故−π6≤2x+56π<π6或56π<2x+56π≤116π，解得−π2≤x<−π3或0故使fx<0成立的x的取值集合为{x|−π2≤x<−π3或0【考点】
复合三角函数的单调性
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为函数fx=4sinxcsx+56π+a−2的图象经过点π3,−3
所以−3=4×32×−32+a−2，解得a=2
又fx=4sinxcsx+56x
=4sinx−32csx−12sinx
=−23sinxcsx−2sin2x
=−3sin2x+cs2x−1=2sin2x+5π6−1
由2kπ+π2≤2x+56π≤2kπ+3π2，得kπ−π6≤x≤kπ+13π
故fx的单调递减区间为kπ−π6,kπ+13π,k∈Z.
(2)由fx<0，得sin2x+56π<12
当x∈−π2,π2时，−π6≤2x+56π≤116π
故−π6≤2x+56π<π6或56π<2x+56π≤116π，解得−π2≤x<−π3或0故使fx<0成立的x的取值集合为{x|−π2≤x<−π3或0【答案】
解：(1)fx=sinxcsx+2sinπ4−x
=sinxcsx+csx−sinx
记t=csx−sinx=2sinx+34π，当x∈−π2,0时，x+34π∈π4,3π4，则t∈1,2，sinxcsx=1−t22，
所以y=1−t22+t=−12t−12+1
所以当t=1，即x=0或x=−π2时，fx的最大值为1，
当 t=2，即 x=−π4时，fx的最小值为2−12.
(2)gx=|a→|2+|b→|2=sin2x+2+cs2x+sin2π4−x=72−12sin2x
∵ gα4=165．∴ 72−12sinα2=165，即sinα2=35
又π2≤α≤2π
∴ π4≤α2≤π∴ csα2=−45
∴ sinα=2sinα2csα2=−2425,csα=cs2α2−sin2α2=725
∴ fα=sinαcsα+csα−sinα=607625
【考点】
平面向量数量积的运算
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数中的恒等变换应用
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=sinxcsx+2sinπ4−x
=sinxcsx+csx−sinx
记t=csx−sinx=2sinx+34π，当x∈−π2,0时，x+34π∈π4,3π4，则t∈1,2，sinxcsx=1−t22，
所以y=1−t22+t=−12t−12+1
所以当t=1，即x=0或x=−π2时，fx的最大值为1，
当 t=2，即 x=−π4时，fx的最小值为2−12.
(2)gx=|a→|2+|b→|2=sin2x+2+cs2x+sin2π4−x=72−12sin2x
∵ gα4=165．∴ 72−12sinα2=165，即sinα2=35
又π2≤α≤2π
∴ π4≤α2≤π∴ csα2=−45
∴ sinα=2sinα2csα2=−2425,csα=cs2α2−sin2α2=725
∴ fα=sinαcsα+csα−sinα=607625
【答案】
解：(1)延长MO交AB于点N，
由题意可知AN=BN=12AB=4,OA=OB，OM=4−ON
在Rt△OAN中，OA=4csx,ON=4tanx
所以L=OA+OB+OM=8csx+4−4tanx=8csx−4tanx+4,x∈0,π4
(2)由（1）得Lx=42−sinxcsx+4
令t=2−sinxcsx,0≤x≤π4
则tcsx+sinx=2
∴ t2+1sinx+φ=2tanφ=t
由sinx+φ=2t2+1≤1
得t≥3或t≤−3（舍），
当t=3时，φ=π3,x=π6∈0,π4，L取最小值，
即蓄水池位置O满足：当x=π6,AO=BO=833km，MO=4−433km时，可使得三片核桃林到蓄水池的距离之和最小．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
解三角形的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)延长MO交AB于点N，
由题意可知AN=BN=12AB=4,OA=OB，OM=4−ON
在Rt△OAN中，OA=4csx,ON=4tanx
所以L=OA+OB+OM=8csx+4−4tanx=8csx−4tanx+4,x∈0,π4
(2)由（1）得Lx=42−sinxcsx+4
令t=2−sinxcsx,0≤x≤π4
则tcsx+sinx=2
∴ t2+1sinx+φ=2tanφ=t
由sinx+φ=2t2+1≤1
得t≥3或t≤−3（舍），
当t=3时，φ=π3,x=π6∈0,π4，L取最小值，
即蓄水池位置O满足：当x=π6,AO=BO=833km，MO=4−433km时，可使得三片核桃林到蓄水池的距离之和最小．年份
2017
2018
2019
2020
2021
时间代码．
1
2
3
4
5
成交额y（万）
72
140
212
284
340
A学校
87
89
86
93
93
92
90
B学校
89
88
83
94
91
93
92