2020-2021学年福建省龙岩市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省龙岩市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知i为虚数单位， 1−iz=2，则复平面上z对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 设e1→，e2→是平面内两个不共线的向量，则向量a→，b→可作为基底的是( )
A.a→=e1→+e2→，b→=−e1→−e2→
B.a→=2e1→+e2→，b→=12e1→+14e2→
C.a→=e1→+e2→，b→=e→1−e2→
D.a→=e1→−2e2→，b→=−2e1→+4e2→

3. 新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下图所示．根据该图数据判断，下列选项中错误的是( )

A.乡村人口数均高于城镇人口数
B.城镇人口数达到最高峰是第7次
C.和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次
D.和前一次相比，城镇人口比重增量最小的是第3次

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=105∘，C=30∘，b=2，则c=( )
A.12B.1C.2D.2

5. 已知圆柱OO1的侧面积为4π ，体积为2π，则该圆柱的轴截面的面积为( )
A.2B.4C.6D.8

6. 若α,β是两个不重合的平面，a，b，c是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A.若a//α,α∩β=b，则a//b
B.若a⊂α,b⊂β, b//α, a//β，则α//β
C.若a⊂α,b⊂α，且c⊥a,c⊥b，则c⊥α
D.若a⊥α,α∩β=c,b // c，则a⊥b

7. 已知菱形ABCD， AC=2 BD=4，且AE→=2BE→，则∠DEC的余弦值为（ ）
A.63131B.63731C.63137D.63737

8. 现有5个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件A表示“第一次取出的球数字是2”，事件B表示“第二次取出的球数字是3”，事件C表示“两次取出的球的数字之和为8”，事件D表示“两次取出的球的数字之和为6”，则下列选项正确的是（ ）
A.事件A和事件C相互独立B.事件B和事件C相互独立
C.事件B和事件D相互独立D.事件C和事件D相互独立
二、多选题

设z1,z2,z3为复数，则（ ）
A.若z1>z2，则z1−z2>0
B.若z1z2=z1z3，则z2=z3
C.若z2¯=z1，则|z1z3|=|z2|z3|
D.若z1满足|z1|=1，则|z1−2|的最小值为1

已知正四面体PABC的棱长为2，M、N分别为PA、PB的中点．下列说法正确的有（ ）
A.MN⊥PC
B.异面直线BM与PC所成角的余弦值为36
C.该正四面体的体积为23
D.该正四面体的内切球体积为627π

在平行四边形ABCD中， AB=2,AD=23,AB→⋅AD→=−6,AM→=λAD→， λ∈0,1则下列选项正确的是（ ）
A.MB→⋅MC→的最小值是−3
B.MB→⋅MC→的最小值是—2
C.MB→⋅MC→的最大值是10
D.MB→⋅MC→的最大值是25

在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量m→=c,a+b,n→=a,c，且m→//n→，则下列选项正确的是（ ）
A.A=2BB.C=2A
C.1三、填空题

已知向量a→=1,3，b→=3,4，若λa→−b→⊥b→，则λ=________.

记一组数据xii=1,2,⋯,n的平均数为x¯，且x¯=1.6， 1ni=1nxi−x¯2=1.44，则1ni=1nxi2=________.

已知圆C的弦AB的长度为23，则AB→⋅AC→=________.

已知三棱锥P−ABC PB=PC=AB=BC=AC=23，侧面PBC⊥底面ABC，则PA=________，三棱锥P−ABC外接球的表面积为________.
四、解答题

已知复数z=a+a−1ia∈R．
(1)若z⋅z¯=5，求a；

(2)求|z|的最小值．

如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆O的直径，C为底面圆周上异于A，B的点，D为BC的中点．

(1)求证：平面SOD⊥平面SBC；

(2)若圆锥的侧面积为35π，且BC=4,AC=2，求该圆锥的体积．

为了解某班级学生期末考试数学成绩情况，抽取该班40名学生的数学成绩，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如下图），已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1．

(1)根据频率分布直方图，计算抽取的数学成绩的平均数和第65百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)若从分数在[80,90）和130,140的同学中随机抽取两位同学，求抽取的两位同学中至少有一位同学的数学成绩在130,140的概率．

在①3a−bcsC=csinB；②3acsA+C2=bsinA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD=2,AC=3，求△ABC的面积．

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p，乙每轮猜对的概率为q．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知每轮甲、乙同时猜错的概率为112，恰有一人猜错的概率为512．
(1)求p和q；

(2)若p>q，求“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率．

已知等边三角形ABC，D，E分别是边AB，AC上的三等分点，且AD=CE （如图甲），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置（如图乙），M是A1D的中点．

(1)求证：EM//平面A1BC；

(2)若二面角A1−DE−B的大小为2π3，求直线DE与平面A1CE所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省龙岩市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】
解：∵ 1−iz=2，
∴ z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)
=2(1+i)1−i2=2(1+i)2=1+i，
∴ z在复平面上对应的点为(1,1)在第一象限．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
【解析】
根据不共线的两个向量可以作为基底的依据，逐一进行判断即可．
【解答】
解：A，b→=−a→，∴ a→，b→共线，故A不符合题意；
B，b→=14a→ ，∴ a→，b→共线，故B不符合题意；
C，a→不能用b→表示，故a→，b→不共线，故C符合题意；
D，b→=−2a→，∴ a→，b→共线，故D不符合题意．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
频率分布直方图
【解析】
根据图中数据，逐一分析选项，即可得答案．
【解答】
解：A，2020年，城镇人口比重为63.89%>50% ，即城镇人口数高于乡村人口数，故A错误；
B，由图可得，城镇人口数达到最高峰是第7次，故B正确；
C，第二次与第一次相比，城镇人口比重增量为18.30%−13.26%=5.04%，
第三次与第二次相比，城镇人口比重增量为20.91%−18.30%=2.61%，
第四次与第三次相比，城镇人口比重增量为26.44%−20.91%=5.53%，
第五次与第四次相比，城镇人口比重增量为36.22%−26.44%=9.78%，
第六次与第五次相比，城镇人口比重增量为49.68%−36.22%=13.46%，
第七次与第六次相比，城镇人口比重增量为63.89%−49.68%=14.21%，
所以和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次，故C正确；
D，由图象可得：城镇人口比重增量最小的是第3次，故D正确．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知可先求B，然后结合正弦定理bsinB=csinC可求
【解答】
解：∵ A=105∘，C=30∘，
∴ B=180∘−105∘−30∘=45∘，
∵ b=2，
由正弦定理可得，bsinB=csinC，
则c=bsinCsinB=2×1222=1．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据圆柱的高和体积计算出圆柱底面圆的半径，再根据轴截面面积等于底面圆的直径乘以圆柱的高，即可得到轴截面的面积．
【解答】
解：设底面圆半径为r，高为ℎ，则
πr2ℎ=2π,2πrℎ=4π,
解得r=1,ℎ=2,
故该圆柱的轴截面的面积为2r⋅ℎ=2×2=4．
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
利用空间中线面的位置关系，逐项求解即可
【解答】
解：对于选项A，若a//α ，α∩β=b，则直线a也可能与直线b异面，故错误；
对于选项B，若a⊂α，b⊂β，b//α，a//β，则α与β也可能相交，故错误；
对于选项C，只有直线a和b为相交直线时，若c⊥a ，c⊥b，则c⊥α 故错误；
对于选项D，若a⊥α，α∩β=c，则a⊥c，又b//c，则a⊥b，故正确.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
余弦定理的应用
【解析】

【解答】
解：由题可知，BE=AB=CD，且BE // CD，
故四边形BDCE为平行四边形，
故∠BDE=∠DEC.
易得边长为5，
且cs∠ABD=25，
则cs∠DBE=−25，
且BE=5，BD=4，
则由余弦定理可得DE=37，
再由余弦定理的cs∠BDE=63737.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件
【解析】
根据题意，计算基本事件总的个数，依次判断事件ABCD所包含的基本事件个数，求得四个事件的概率，再求P（A∩C），P（B∩C），P（B∩D），P（C∩D），根据公式P（A∩B）=PAPB判断四个事件的独立性．
【解答】
解：由题意可知，基本事件的总数为5×5=25，
事件A所包含的基本事件为2,1 ，2,2 ，2,3 ，2,4 ，2,5 ，
事件B所包含的基本事件为1,3 ，2,3， 3,3 ，4,3， 5,3，
事件C所包含的基本事件为 3,5 ，4,4 ，5,3 ，
事件D所包含的基本事件为1,5 ，2,4 ，3,3 ，4,2 ，5,1 ，
P(A)=15，P(B)=15，P(C)=325，p(D)=15，
P(AB)=125，P(AC)=0，P(AD)=125，P(BC)=125，P(BD)=125，P(CD)=0，
则P(BD)=P(B)⋅P(D),
∴ 事件B与事件D相互独立，
故选C．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
结合复数的定义及其几何意义即可求解证明
【解答】
解：对于A，若z1>z2，可得其为实数，故有z1−z2>0，故正确；
对于B，若z1z2=z1z3，则z1z2−z3=0，
若z1=0，所以z2−z3≠0，即z2≠z3，故错误；
对于C，若z2¯=z1，则|z2|=|z2¯|=|z1|，|z1||z3|=|z2||z3|，
又|z1z3|=|z1||z3|，|z2z3|=|z2||z3|，
则|z1z3|=|z2z3|，故正确．
对于D，若z1满足|z1|=1，设z1=x+yi，则x2+y2=1，
则|z1−2|可看做2,0到x,y的距离，可得最小值为1，正确.
故选ACD.
【答案】
A,B,D
【考点】
异面直线及其所成的角
球的表面积和体积
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积
【解析】

【解答】
解：由题可知，MN // AB，
又因为AB⊥PC，
所以MN⊥PC，故A正确；
取AC中点D，
连接MD,BD，
BM=3，MD=1，BD=3，
则夹角的余弦值为cs∠BMD=3+1−32×3×1=36，故B正确；
在三角形PBD中，ℎ=22−2332=263，
则V=13⋅S⋅ℎ=223，故C错误；
设内切球半径为r，
则V=13r⋅S表，
求得r=66，
则球体积为6π27，
故D正确.
故选ABD.
【答案】
B,C
【考点】
向量在几何中的应用
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：MB→⋅MC→=MA→+AB→MD→+DC→
=−λAD→+AB→(1−λ)AD→+AB→
=12λ2−2，
则最大值为10，最小值为−2.
故选BC.
【答案】
B,C
【考点】
余弦定理的应用
正弦定理
【解析】
根据余弦定理求解．
【解答】
解：∵ m→//n→，
∴ c2−a(a+b)=0，即c2=a2+ba，
从而a2+b2−2abcsC=a2+ba，
解得：b−2acsC=a，
sinB−2sinAcsC=sinA，
∵ sinB=sin(A+C)，
∴ sin(A+C)−2sinAcsC=sinA，
sinAcsC+csAsinC−2sinAcsC=sinA，
csAsinC−sinAcsC=sinA，
∴ sin(C−A)=sinA，
即C−A=A，
∴ C=2A．
故B正确，A错误；
∵C=2A，
∴ca>1，
由正弦定理可得ca=sinCsinA=2csA<2，
故C正确，D错误.
故选BC.
三、填空题
【答案】
53
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用两向量垂直，两向量数量积为零，列方程求解即可.
【解答】
解：由题意可得：若λa→−b→=(λ−3,3λ−4)，b→=(3,4)，
若λa→−b→⊥b→，
则3(λ−3)+4(3λ−4)=0，
解得λ=53.
故答案为：53.
【答案】
4
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
找出数据之间的关系，即可求解
【解答】
解： 1ni=1nxi−x¯2=1nx1−x¯2+x2−x¯2+⋯+xn−x¯2
=1nx12+x22+⋯+xn2−2x¯x1+x2+⋯+xn+nx¯2
=1nx12+x22+⋯+xn2−2x¯x1+x2+⋯+xn×1n+x¯2，
因为x1,x2，…，xn的平均数为x¯，
所以x1+x2+⋯+xn×1n=x¯，
代入，得1ni=1nxi−x¯2=1ni=1nxi2−2x¯2+x¯2
整理，得1ni=1nxi2=1ni=1nxi−x¯2+x¯2=4.
故答案为：4
【答案】
6
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
根据向量数量积的定义和公式转化为投影的关系进行求解即可．
【解答】
解：取AB的中点D，如图，
则AD是向量AC→在AB→上的投影，且AD=3，
则AB→⋅AC→=|AB→| |AC→|⋅cs∠CAB
=|AB→|⋅|AD→|=23×3=6，
故答案为：6．
【答案】
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
棱锥的结构特征
【解析】
【解答】
解：连接PQ，QA，由PB=PC=AB=BC=AC=23，
可知： △ABC和△PBC是等边三角形，
设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心F，E，
△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC，
又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC=BC，
所以PQ⊥底面ABC，
而AQ⊂底面ABC，
因此PQ⊥AQ，
所以OFQE是矩形，△ABC和 △PBC 是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高 ℎ=(23)2−12×232=3，
在矩形OFQE中， OE=FQ=13ℎ=1，AE=23ℎ=2，
连接OA，所以OA=OE2+EA2=5，
所以三棱锥P−ABC外接球的表面积为4π⋅OA2=4π⋅5=20π.
易得△APQ为直角三角形，
则PA=PQ2+AQ2=32.
故答案为：32；20π.
四、解答题
【答案】
解：(1)因为zz¯=a−12+a2=5，
所以a2−a−2=0，
所以a=2或a=−1．
(2) |z|=a−12+a2=2a2−2a+1
=2a−122+12，
所以a=12时，|z|的最小值为22.
【考点】
复数的运算
共轭复数
复数的模
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为zz¯=a−12+a2=5，
所以a2−a−2=0，
所以a=2或a=−1．
(2) |z|=a−12+a2=2a2−2a+1
=2a−122+12，
所以a=12时，|z|的最小值为22.
【答案】
(1)证明：由圆锥的性质可知， SO⊥底面圆O，
∵ BC在底面圆O上，∴ BC⊥SO，
∵ C在圆O上，AB为直径，∴ AC⊥BC，
又点O，D分别为AB，BC的中点，∴ OD//AC，∴ OD⊥BC，
又OD∩SO=O，且OD， SO⊂平面SOD，∴ BC⊥平面SOD，
又BC⊂平面SBC，∴ 平面SOD⊥平面SBC．
(2)解：∵ BC=4,AC=2，∴ AB=AC2+BC2=42+22=25，
∴ 底面周长为25π ，∴ S侧=12SA⋅25π=35π，
∴ SA=3，∴ SO=SA2−AO2=2，
∴ V圆锥=13×5π×SO=10π3．
【考点】
平面与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：由圆锥的性质可知， SO⊥底面圆O，
∵ BC在底面圆O上，∴ BC⊥SO，
∵ C在圆O上，AB为直径，∴ AC⊥BC，
又点O，D分别为AB，BC的中点，∴ OD//AC，∴ OD⊥BC，
又OD∩SO=O，且OD， SO⊂平面SOD，∴ BC⊥平面SOD，
又BC⊂平面SBC，∴ 平面SOD⊥平面SBC．
(2)解：∵ BC=4,AC=2，∴ AB=AC2+BC2=42+22=25，
∴ 底面周长为25π ，∴ S侧=12SA⋅25π=35π，
∴ SA=3，∴ SO=SA2−AO2=2，
∴ V圆锥=13×5π×SO=10π3．
【答案】
解：(1)因为频率分布直方图中，高的比就是频率的比，所以各区间上的频率可依次设为
2x，3x，5x，6x，3x,x，它们的和为2x+3x+5x+6x+3x+x=1，
即x=120，
所以各区间上的频率从左往右依次为：0.1，0.15，0.25，0.3，0.15，0.05，
所以平均数为：
85×0.1+95×0.15+105×0.25+115×0.3+125×0.15+135×0.05=109，
假设第65百分位数为，则0.1+0.15+0.25+y−110×0.03=0.65，
解得y=115 ；所以所求平均数为109，第65百分位数为115 ．
(2)由(1)可知数学成绩在[80,90)共有220×40=4人，分别记为a，b，c，d，
数学成绩在130,140共有120×40=2人，分别记为A，B，
从这6人中随机抽出两位同学的样本空间
Ω={AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd,cd}，
故nΩ=15，
记事件M表示“至少有一位同学的数学成绩在130,140，
M={AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd}，
故nM=9，
所以至少有一位同学的数学成绩130,140的概率为
PM=nMnΩ=35 .
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为频率分布直方图中，高的比就是频率的比，所以各区间上的频率可依次设为
2x，3x，5x，6x，3x,x，它们的和为2x+3x+5x+6x+3x+x=1，
即x=120，
所以各区间上的频率从左往右依次为：0.1，0.15，0.25，0.3，0.15，0.05，
所以平均数为：
85×0.1+95×0.15+105×0.25+115×0.3+125×0.15+135×0.05=109，
假设第65百分位数为，则0.1+0.15+0.25+y−110×0.03=0.65，
解得y=115 ；所以所求平均数为109，第65百分位数为115 ．
(2)由(1)可知数学成绩在[80,90)共有220×40=4人，分别记为a，b，c，d，
数学成绩在130,140共有120×40=2人，分别记为A，B，
从这6人中随机抽出两位同学的样本空间
Ω={AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd,cd}，
故nΩ=15，
记事件M表示“至少有一位同学的数学成绩在130,140，
M={AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd}，
故nM=9，
所以至少有一位同学的数学成绩130,140的概率为
PM=nMnΩ=35 .
【答案】
解：若选①，由正弦定理，得3sinA−sinBcsC=sinCsinB．
由sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
得3csBsinC=sinCsinB，由0所以3csB=sinB，所以tanB=3．又0若选②，因为3acsA+C2=bsinA，
由正弦定理得3sinAcsA+C2=sinBsinA，
因为0又因为A+B+C=π，所以A+C2=π2−B2，
所以csA+C2=csπ2−B2=sinB2，所以3sinB2=2sinB2csB2，
又因为B2∈0,π2，sinB2≠0 ，所以csB2=32 ，所以B=π3 ．
因为S△ABD+S△CBD=S△ABC，
所以12×2×c×sinπ6+12×2×a×sinπ6=12×a×sinπ3，
化简得a+c=32ac①，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，所以9=a2+c2−ac，
所以a+c2=3ac+9②，联立①②化简得a2c2−4ac−12=0，
所以ac−6ac+2=0，解得ac=6或ac=−2 （舍去），
又因为S△ABC=12acsinB，
所以S△ABC=12×6×32=323 ．
【考点】
余弦定理
正弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若选①，由正弦定理，得3sinA−sinBcsC=sinCsinB．
由sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
得3csBsinC=sinCsinB，由0所以3csB=sinB，所以tanB=3．又0若选②，因为3acsA+C2=bsinA，
由正弦定理得3sinAcsA+C2=sinBsinA，
因为0又因为A+B+C=π，所以A+C2=π2−B2，
所以csA+C2=csπ2−B2=sinB2，所以3sinB2=2sinB2csB2，
又因为B2∈0,π2，sinB2≠0 ，所以csB2=32 ，所以B=π3 ．
因为S△ABD+S△CBD=S△ABC，
所以12×2×c×sinπ6+12×2×a×sinπ6=12×a×sinπ3，
化简得a+c=32ac①，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，所以9=a2+c2−ac，
所以a+c2=3ac+9②，联立①②化简得a2c2−4ac−12=0，
所以ac−6ac+2=0，解得ac=6或ac=−2 （舍去），
又因为S△ABC=12acsinB，
所以S△ABC=12×6×32=323 ．
【答案】
解：(1)设M表示事件“每轮甲、乙同时猜错”；N表示事件“恰有一人猜错”
PM=1−p1−q=112 ，
PN=1−pq+p1−q=512，
∴ p=23,q=34或，p=34,q=23 ．
(2)∵ p>q，由(1)可知p=34,q=23，
设Ai表示事件“甲在两轮中猜对i个成语”， Bi表示事件“乙在两轮中猜对i个成语”，i=0,1,2，
X表示“星队”在两轮活动中猜对成语的个数”，由于两轮猜的结果相互独立，
所以PX=2=PA0B2+PA1B1+PA2B0
=4144+24144+914=37144，
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为37144 ．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设M表示事件“每轮甲、乙同时猜错”；N表示事件“恰有一人猜错”
PM=1−p1−q=112 ，
PN=1−pq+p1−q=512，
∴ p=23,q=34或，p=34,q=23 ．
(2)∵ p>q，由(1)可知p=34,q=23，
设Ai表示事件“甲在两轮中猜对i个成语”， Bi表示事件“乙在两轮中猜对i个成语”，i=0,1,2，
X表示“星队”在两轮活动中猜对成语的个数”，由于两轮猜的结果相互独立，
所以PX=2=PA0B2+PA1B1+PA2B0
=4144+24144+914=37144，
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为37144 ．
【答案】
(1)证明：过点E作EF//BD交BC于点F，取A1B的中点G，
∵ △ABC是等边三角形， AD=CE ，∴ EF=//12BD.
又∵ M、G分别为A1D和A1B的中点，∴ MG为△A1BD的中位线，
∴ MG=//12BD，
∴ EF=//MG，
∴ 四边形EFGM为平行四边形，
∴ EM//FG .
又因∵FG⊂面A1BC，EM⊄面A1BC，
∴ EM//平面A1BC ．
(2)解：设AB=3，则AD=1,AE=2，
∵ ∠A=60∘，
∴ 在△ADE中，
又余弦定理得DE=AD2+AE2−2AD⋅AE⋅csA=3.
∵ 22=12+32，
∴ AE2=AD2+DE2，
∴ ∠ADE=90∘，
∴ DE⊥AD,DE⊥BD，
∴ DE⊥BD,DE⊥A1D，
又∵A1D⊂面A1DE,BD⊂面BDE，
∴ ∠A1DB为二面角A1−DE−B的平面角，
∴ ∠A1DB=2π3.
设A1在面BDEC内的投影为P，则P在BD的延长线上，
∴ A1P⊥BD，
∵ ∠A1DB=2π3 ，
∴ ∠A1DP=π3，
在△A1DP中，A1D=AD=1，由正弦定理得DP=12,A1P=32，连接CP，
且BP=52，
在△BCP中，由余弦定理得CP=BP2+BC2−2BP⋅BC⋅csB=312，
在Rt△A1PC中， A1C=A1P2+CP2=342，
∴在△A1CE中， cs∠A1EC=4+1−3444=−78 ，
∴sin∠A1EC=158，
∴S△A1CE=12×2×1×158=158，
设DE与平面A1CE所成角为θ，点D到平面A1CE的距离为d，
由VD−A1CE=VA−DCE，
∴13×S△A1CE×d=13×S△DCE×A1P，
又∵S△DCE=12×3×1×sin5π6=34，
∴d=315，
∴sinθ=dDE=55，
∴直线DE与平面A1CE所成角的正弦值为55 ．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：过点E作EF//BD交BC于点F，取A1B的中点G，
∵ △ABC是等边三角形， AD=CE ，∴ EF=//12BD.
又∵ M、G分别为A1D和A1B的中点，∴ MG为△A1BD的中位线，
∴ MG=//12BD，
∴ EF=//MG，
∴ 四边形EFGM为平行四边形，
∴ EM//FG .
又因∵FG⊂面A1BC，EM⊄面A1BC，
∴ EM//平面A1BC ．
(2)解：设AB=3，则AD=1,AE=2，
∵ ∠A=60∘，
∴ 在△ADE中，
又余弦定理得DE=AD2+AE2−2AD⋅AE⋅csA=3.
∵ 22=12+32，
∴ AE2=AD2+DE2，
∴ ∠ADE=90∘，
∴ DE⊥AD,DE⊥BD，
∴ DE⊥BD,DE⊥A1D，
又∵A1D⊂面A1DE,BD⊂面BDE，
∴ ∠A1DB为二面角A1−DE−B的平面角，
∴ ∠A1DB=2π3.
设A1在面BDEC内的投影为P，则P在BD的延长线上，
∴ A1P⊥BD，
∵ ∠A1DB=2π3 ，
∴ ∠A1DP=π3，
在△A1DP中，A1D=AD=1，由正弦定理得DP=12,A1P=32，连接CP，
且BP=52，
在△BCP中，由余弦定理得CP=BP2+BC2−2BP⋅BC⋅csB=312，
在Rt△A1PC中， A1C=A1P2+CP2=342，
∴在△A1CE中， cs∠A1EC=4+1−3444=−78 ，
∴sin∠A1EC=158，
∴S△A1CE=12×2×1×158=158，
设DE与平面A1CE所成角为θ，点D到平面A1CE的距离为d，
由VD−A1CE=VA−DCE，
∴13×S△A1CE×d=13×S△DCE×A1P，
又∵S△DCE=12×3×1×sin5π6=34，
∴d=315，
∴sinθ=dDE=55，
∴直线DE与平面A1CE所成角的正弦值为55 ．