2021届陕西省宝鸡市高三下学期理数二模试卷及答案

这是一份2021届陕西省宝鸡市高三下学期理数二模试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数二模试卷
一、单项选择题
1.复数 〔 为虚数单位〕在复平面上对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
2.集合 ， ，那么 等于〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
3.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 〔每分钟鸣叫的次数〕与气温 〔单位：℃〕存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了 关于 的线性回归方程 ，那么以下说法不正确的选项是〔    〕
〔次数/分钟〕
20
30
40
50
60
〔℃〕
25

29

36
A. 的值是20
B. 变量 ， 呈正相关关系
C. 假设 的值增加1，那么
D. 当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
4.为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各300名，让他们同时完成多个任务.以下4个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的选项是〔    〕
①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大.

A. ①④                                     B. ②③                                     C. ①③                                     D. ②④
5.以下函数中，值域为 且在定义域上为单调递增函数的是〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 以上都正确
6.抛物线 的焦点为 ，过 点倾斜角为 的直线与曲线 交于 ， 两点〔 在 的右侧〕，那么 〔    〕
A. 9                                        B. 1                                        C.                                         D. 3
7.某组合体的三视图如下列图，那么该组合体的体积为〔    〕

A.                          B.                          C.                          D. 
8.四边形 中， ， ， ， ，那么对角线 的长为〔    〕
A.                                      B.                                      C. 7                                     D. 
9.函数 ，判断以下给出的四个命题，其中错误的命题有〔    〕个
①对任意的 ，都有 ；②将函数 的图象向左平移 个单位，得到偶函数 ；③函数 在区间 上是减函数；④“函数 取得最大值〞的一个充分条件是“ 〞
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
10.圆 ，圆 ，直线 ， 分别过圆心 ， ，且 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相交于 ， 两点，点 是椭圆 上任意一点，那么 的最小值为〔    〕
A. 7                                           B. 9                                           C. 6                                           D. 8
11.奇函数 ，当 时， ，且对任意 都有 成立.假设方程 在 仅有2个不相等的实根，那么 的值为〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
12.如图是一个底面半径和高都是1的装满沙子的圆锥形沙漏，从计时开始，流出沙子的体积 是沙面下降高度 的函数 ，假设正数 ， 满足 ，那么 的最大值为〔    〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题
13.中国古代四大创造造纸术、印刷术、指南针、火药对中国古代的政治、经济、文化的开展产生了巨大的推动作用；2021年月，来自“一带一路〞沿线的20国青年评选出了“中国的新四大创造〞：高铁、扫码支付、共享单车和网购.假设从这8个创造中任取两个创造，那么只有一个是新四大创造的概率为________.
14.的展开式中的常数项为________．
15.把四个半径为1的小球装入一个大球内，那么大球半径的最小值为________.
16.双曲线 〔 ， 〕的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点， 是双曲线上在第一象限内的点，直线 、 分别交双曲线 左、右支于另一点 、 ， ，且 ，那么双曲线 的离心率为________；渐近线方程为________.
三、解答题
17.等差数列 的公差 ，且 ，数列 是各项均为正数的等比数列，且满足 ， .
〔1〕求数列 与 的通项公式；
〔2〕设数列 满足 ，其前 项和为 .求证： .
18.新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期〔单位：天〕进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期〞.按照年龄统计样本得到下面的列联表：

长潜伏期
非长潜伏期
40岁以上
15
55
40岁及以下
10
20
附： .






假设随机变量 服从正态分布 ，那么 ， ， ， .
〔1〕能否有90%以上的把握认为“长潜伏期〞与年龄有关；
〔2〕假设潜伏期 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
〔3〕以题目中的样本频率估计概率，并计算4个病例中有 个进入“长潜伏期〞的期望与方差.
19.如图，在四边形 中， ， ， ， ， 为 上的点且 ，假设 平面 ， 为 的中点.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，点G是椭圆上一点， 的周长为 .
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕直线 与椭圆 交于 、 两点，当 为何值， 恒为定值，并求此时 面积的最大值.
21. ，
〔1〕求函数 的单调区间；
〔2〕 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的方程为 ( ， 为参数).
〔1〕求曲线 的普通方程并说明曲线 的形状.
〔2〕以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求曲线 的对称中心到曲线 的距离的最大值.
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕设 、 、 ，且 .证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】复数 在复平面上对应的点 位于第一象限。
故答案为：A.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。
2.【解析】【解答】因为集合 ，
集合 ，
所以 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合正弦函数图象、余弦函数图象和正切函数图象，再利用角的取值范围结合交集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的交集。
3.【解析】【解答】由题意，得 ，
，
那么 ，A正确，不符合题意；
由线性回归方程可知， ，变量 ， 呈正相关关系，B正确，不符合题意；
假设 的值增加1，那么 的值约增加0.25，C正确，不符合题意；
当 时， ，D错误，符合题意.
故答案为：D.

【分析】利用条件结合平均数公式求出中心点的坐标，再利用线性回归直线恒过中心点的性质结合代入法求出k的值，再利用线性回归方程画出直线的图像，进而判断出变量 ， 呈正相关关系，再利用条件 的值增加1结合线性回归方程，进而推出 的值约增加0.25，再结合条件当时结合线性回归方程，进而推出该地当时的气温预报值，从而找出说法不正确的选项。
4.【解析】【解答】①：女性处理多任务平均用时集中在 分钟，男性的集中在 分钟，①正确；
②：从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉，
故并不是“所有女性都优于男性〞，②错误；
③：根据正态分布的性质可知③正确；
④：女性和男性处理多任务的用时均为正数，④错误，
故答案为：C.

【分析】利用条件结合正态分布的性质，从而选出理解正确的选项。
5.【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为 ，
在 上， 是减函数， 是增函数，
从而得出 在 上是减函数，
从而在定义域 上该函数不是增函数，即该选项错误，A不符合题意；
对于B，该函数的定义域为 ，
，∴该函数的值域为 ，
在 上 是增函数， 是增函数，
∴该函数在定义域上是增函数，B符合题意；
对于C ， ， 时， ； 时， ，
∴ 在定义域 上没有单调性，C不符合题意；
对于D，由AC不符合题意，得D不符合题意.
故答案为：B.

【分析】利用条件结合函数求值域的方法和增函数的定义、复合函数单调性的判断方法，即同增异减，进而判断出值域为 且在定义域上为增函数的函数。
6.【解析】【解答】由抛物线的方程可得： ，且直线 的斜率为 ，
所以直线 的参数方程为： ，
代入抛物线方程可得： ，
解得 ， ，
那么 。
故答案为：C.

【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，进而求出直线的斜率，再利用直线的参数方程求解方法，进而求出直线l的参数方程，再利用直线与曲线 交于 ， 两点〔 在 的右侧〕， 进而联立直线与抛物线的方程结合一元二次方程求出t的值，再利用抛物线的定义求出的值。
7.【解析】【解答】根据几何体的三视图得出直观图为一个半圆柱和一个四棱锥组成的组合体，
如下列图：

所以四棱锥的高为 ，
故 。
故答案为：C.

【分析】根据几何体的三视图得出直观图为一个半圆柱和一个四棱锥组成的组合体，再利用勾股定理求出四棱锥的高，再利用圆柱的体积公式结合四棱锥的体积公式，再结合求和法求出该组合体的体积。
8.【解析】【解答】解：以 为坐标原点， ， 所在直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系如下列图，
延长 交 轴于点 ，

由 ，可得 ，
因为 ，从而 ， ， ，
所以 ， ，故 ，
所以 ，因此 ，
可得 ，
所以 。
故答案为：D.

【分析】以 为坐标原点， ， 所在直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系，延长 交 轴于点 ，由 ，可得 ，因为 ，从而 ， ， 再利用三角形内角和为180度得出，所以 ， ，故 ，再利用两点距离公式求出MA的长，再利用正切函数定义求出AB的长，进而求出点B的坐标，再结合两点距离公式求出对角线BD的长。
9.【解析】【解答】函数 ，
对于①，
，所以①对；
对于②，函数 的图象向左平移 个单位，
得到函数 ，所以②对；
对于③，因为 ，
所以 在区间 上是减函数，所以③对；
对于④，因为 ，所以 为最大值，
即“函数 取得最大值〞的一个充分条件是“ 〞，所以④对.
故答案为：A.

【分析】利用二倍角正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用代入法结合诱导公式，进而推出对任意的 ，都有 ，再利用正弦型函数的图象变换结合偶函数的定义，进而推出将函数 的图象向左平移 个单位，得到偶函数 ， 再利用减函数的定义推出函数 在区间 上是减函数，再利用条件结合充分条件的判断方法，进而推出 “函数 取得最大值〞的一个充分条件是“ 〞 ，从而选出错误命题的个数。
10.【解析】【解答】解：由圆的方程可得： ， ，
由椭圆的方程可得，椭圆的左右焦点恰好为 ， ，
可得 ， ，
所以 ， ， ， ，


，
设 ， ，
令 ，那么 ，
在〔1,2〕上单减，在〔2,3〕上单增，
所以当t=2时，即 时， 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合圆的标准方程求出圆心M,N的坐标，由椭圆的方程可得，椭圆的左右焦点恰好为 ， ，再利用椭圆的定义可得 ， ，所以 ， ， ， ，再利用三角形法那么结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，得出，设 ， ，令 ，那么 ， 再利用二次函数的图像判断函数的单调性，进而求出二次函数的最小值，从而求出 的最小值 。
11.【解析】【解答】解：由题意， 是奇函数， ，
∴ ，
可得周期 ，
当 时， ，
当 时， ，
作出 的图象如以下列图所示：

由图象可知，要使 仅有2个交点，
即 在 只有一个解，
∴ ，
由 ，即 ，
解得 ，此时 满足题意。
故答案为：D.

【分析】由题意， 是奇函数，再结合奇函数的定义得出 ， 所以 ， 再利用周期函数的定义，可得周期 ，再利用分类讨论的方法，进而求出函数f(x)的图像，由图象可知，要使 仅有2个交点，再利用两函数的交点的横坐标结合方程的解的等价关系，即 在 只有一个解，所以，再利用判别式法求出满足要求的a的值。
12.【解析】【解答】解：由题意得： ，
圆锥的体积 ，
剩余沙子仍成圆锥，高为 ，
半径与母线构成的三角形与底面半径和母线构成的三角形相似，
设沙的圆锥的底面半径为 ，
所以 ，∴ ，
∴沙的体积 ，
所以流出的沙的体积 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
对称轴是 ，
故 的最大值是 。
故答案为：C

【分析】由题意得： ，再利用圆锥体积公式求出圆锥的体积，剩余沙子仍成圆锥，高为 ，半径与母线构成的三角形与底面半径和母线构成的三角形相似，设沙的圆锥的底面半径为 ，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，再利用圆锥的体积公式求出沙的体积为 ，再利用作差法结合圆锥的体积公式，进而求出流出的沙的体积 ，所以，进而推出，从而求出，再利用代入法得出，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出 的最大值 。
二、填空题
13.【解析】【解答】解：中国古代四大创造造纸术、印刷术、指南针、火药，
“中国的新四大创造〞：高铁、扫码支付、共享单车和网购.
从这8个创造中任取两个创造，根本领件总数 ，
其中只有一个是新四大创造包含的根本领件个数 ，
那么只有一个是新四大创造的概率 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，进而求出只有一个是新四大创造的概率。
14.【解析】【解答】 展开式的通项公式为:  , 
令 ，解得 , 
，
令 ，解得 , 
，
展开式中常数项为:  。
故答案为:-25。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中的常数项 。
15.【解析】【解答】当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体 ，如以下列图所示：

该正四面体的边长为2，过 做 平面 ，
因为 ，
所以 ，
所以有 ，
把 ， 代入，得 ，
那么正四面体的外接球半径为 ，
∴大球半径最小为： 。
故答案为： 。

【分析】当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体 ，该正四面体的边长为2，过 做 平面 ，再利用勾股定理求出AE的长，再结合勾股定理求出DE的长，再利用勾股定理结合几何法得出， 把 ， 代入得出OA的长 ，从而求出正四面体的外接球半径，再结合几何法求出大球半径的最小值。
16.【解析】【解答】由 ， ，
解得 ， ，
由题意可得四边形 为平行四边形，
又 ，可得 ，
在 中，可得 ，
即有 ，那么 ，
所以 ，
那么渐近线方程为 。
故答案为： ； 。

【分析】由 结合双曲线的定义求出， ，由题意可得四边形 为平行四边形，又因为 ，可得 ，在 中，结合余弦定理结合双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出b与a的关系式，再结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而确定双曲线的渐近线方程，进而求出双曲线的渐近线方程。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 与 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，进而求出数列 的前 项和为 ，再利用放缩法证出不等式 成立。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合独立性检验的方法，进而判断出没有90%以上的把握认为“长潜伏期〞与年龄有关。
〔2〕利用潜伏期 服从正态分布 ， 再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再利用条件求出 ，显然潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的。
〔3〕 以样本频率估计概率结合频率等于频数除以样本容量的公式，再结合条件得出英特患者属于“长潜伏期〞的概率是 ， 再利用随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式和方差公式，进而求出4个病例中有 个进入“长潜伏期〞的期望与方差。
 
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕 取 的中点为 ，连结 ， ， 因为 为 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，所以 平面 ，因为 ， ， ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 再利用线线平行证出线面平行， 所以 平面 ， 再利用线面平行证出面面平行， 所以平面 平面 ， 再利用面面平行的性质定理，进而证出线面平行，即证出 平面 。
〔2〕 取 的中点 ，连结 ，因为 ， ， ， ，所以 ，又因为 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直， 所以 ， ，以点 为坐标原点，分别以 为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合三角形周长公式和椭圆的定义、焦距的公式，从而求出a+c的一个方程，再利用椭圆的离心率公式结合条件，进而求出a,c的另一个方程，再联立二者方程求出a,c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用条件结合直线 与椭圆 交于 、 两点，再联立直线与椭圆的方程，从而利用判别式法和韦达定理，再利用完全平方和公式，得出 ， 再利用两点距离公式得出
， 当 为定值时，与 无关，故 ， 从而求出k的值，再利用弦长公式求出AB的长，再利用点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，再结合三角形面积公式得出 ， 再利用均值不等式求最值的方法，进而当时，那么三角形的面积取到最大值，进而求出三角形的面积的最大值。
21.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 的单调区间。
〔2〕利用函数 的定义域是 ，当 时，不等式 恒成立， 所以当 时，可知 ， 令 ，〔 〕， 再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，从而求出函数h(x)的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
 
22.【解析】【分析】(1)利用参数方程与普通方程的转化方法，进而求出曲线 的普通方程，再利用圆的标准方程的形式，得出曲线 的形状是以 为圆心，1为半径的圆。
〔2〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线 的直角坐标方程，再利用圆的对称中心即是圆心，结合圆的标准方程求出圆心坐标，再结合点到直线的距离公式，进而求出 曲线 的对称中心到曲线 的距离，再利用正弦型函数的图象结合绝对值的定义，从而求出曲线 的对称中心到曲线 的距离的最大值。
 
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
〔2〕利用条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而结合求和法证出不等式 成立。