2020-2021年甘肃省陇南市高一（下）4月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021年甘肃省陇南市高一（下）4月月考数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. sin70∘sin10∘+cs10∘sin20∘等于( )
A.1B.12C.0D.32

2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，sinA=16，则sinB=( )
A.23B.13C.56D.12

3. 已知tanα=−2，则tan2α=( )
A.−223B.223C.−22D.22

4. 化简cs25∘−sin25∘2cs50∘cs40∘=( )
A.2B.12C.1D.一1

5. 在△ABC中，AB=2，AC=3，csA=−63，则△ABC的面积为( )
A.3B.23C.33D.43

6. 函数fx=2cs2x的最小正周期为( )
A.π4B.π2C.πD.2π

7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC=5：7：9，则csC=( )
A.−335B.−114C.−15D.−110

8. 在△ABC中，若cs2A=cs2B，则△ABC的形状一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.不能确定

9. 若3sin75∘+2sin15∘=13cs75∘−φ，则tanφ=( )
A.23B.32C.−23D.−32

10. 设csα=−55，tanβ=13，π<α<3π2，0<β<π2，则α−β等于( )
A.4π3B.3π4C.7π6D.5π4

11. 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=30∘，a=2，b=2，那么满足条件的△ABC( )
A.有一种情形B.有两种情形
C.不可求出D.有三种以上情形

12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=6，π3A.6B.23C.3D.6
二、填空题

4cs(45∘−30∘)=________．

如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45∘方向，行驶2ℎ后，船到达B处，观测灯塔C在北偏东15∘方向，此时船与灯塔C的距离为________km．


若sinx−csx=m−22，则实数m的取值范围为________.

在△ABC中，∠A=60∘，∠A的角平分线与BC边相交于D，AD=635，BC=7，则AB边的长度为________ .
三、解答题

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3bsinA=5asinBcsC .
(1)求csC的值；

(2)若B=π4，求ac的值．

已知sinx2 −4csx2=0 . 求：
(1)tanx的值；

(2)cs2x−sin2xsinx+π4sinx的值 .

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ab=c2−a2−b2 .
(1)求角C；

(2)若△ABC的面积为23，c=27，求a，b的值．

已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(−1, 2)．
(1)求2sin2α−π4的值；

(2)若csα−β=55，且a−β为第一象限角，求sinβ的值．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsB=2a+b .
(1)求C；

(2)若c=3，a=3，如图，D为线段AB上一点，且CD⊥AC，求CD的长．

已知函数fx=sin2x+π3−23cs2x+3 .
(1)求函数fx的单调区间；

(2)当x∈−π4,π4时，不等式2m≥m+1fx+2m+1fx+2恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年甘肃省陇南市高一（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
三角函数的化简求值
两角和与差的余弦公式
【解析】
因为sin70∘sin10∘+cs10∘sin20∘=sin70∘sin10∘+cs10∘cs70∘=cs60∘=12 .
【解答】
解：sin70∘sin10∘+cs10∘sin20∘
=sin70∘sin10∘+cs10∘cs70∘=cs60∘=12.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理有sinB=bsinAa=2×161=13 .
故选：B .
【解答】
解：∵ a=1，b=2，sinA=16，
∴ 由正弦定理，得sinB=bsinAa=2×161=13 .
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
二倍角的正切公式
【解析】
tan2α=−221−2=22 .
【解答】
解：∵ tanα=−2，
∴ tan2α=2tanα1−tan2α=−221−2=22 .
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
【解析】
cs25n−sin25∘2cs50∘cs40∘=cs25∘−sin25∘2sin40∘cs40∘=cs10∘sinsin∘=cs10∘cs10∘=1 .
【解答】
解：cs25∘−sin25∘2cs50∘cs40∘=cs25∘−sin25∘2sin40∘cs40∘
=cs10∘sin80∘=cs10∘cs10∘=1 .
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
sinA=1−69=33,△ABC的面积为12×2×3×33=3 .
【解答】
解：∵ AB=2，AC=3，csA=−63，
∴ sinA=1−cs2A=33，
∴ S△ABC=12⋅AB⋅AC⋅sinA
=12×2×3×33=3.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
二倍角的余弦公式
余弦函数的周期性
【解析】
fx=2cs2x=cs2x+1，∴ 函数fx的最小正周期为π．
【解答】
解：∵ fx=2cs2x=cs2x+1，
∴ 函数fx的最小正周期为T=2π2=π．
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由正弦定理有a:b:c=5:7:9，则csC=25+49−812×5×7=−110 .
【解答】
解：由正弦定理，得a:b:c=5:7:9，
则设a=5x，b=7x，c=9x，
所以csC=25x2+49x2−81x22×5x×7x=−110 .
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
二倍角的余弦公式
三角形的形状判断
二倍角的正弦公式
【解析】
由题意有1−2sin2A=1−2sin2B，由sinA>0,sinB>0，可得sinA=sinB，由正弦定得有a=b，故△ABC为等腰三角形．
【解答】
解：由题意，得1−2sin2A=1−2sin2B，
由sinA>0，sinB>0，
解得sinA=sinB，
由正弦定理，得a=b，
所以△ABC为等腰三角形．
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的和差化积公式
【解析】
因为3sin75∘+2sin15∘=3sin75∘+2cs75∘=13313sin75∘+213cs75∘=13cs75∘−φ，所以tanφ=313213=32 .
【解答】
解：因为3sin75∘+2sin15∘=3sin75∘+2cs75∘
=13313sin75∘+213cs75∘=13cs75∘−φ，
所以tanφ=313213=32 .
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正切
同角三角函数基本关系的运用
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由csα=−55,π<α<3π2，得sinα=−255，所以tanα=2，又因为tanβ=13，于是tana−β=tanα−tanβ1+tanβtanβ=2−131+2×13=1 ，又因为π<α<3π2<0,0<β<π2，所以α−β∈π2,3π2，所以a−β=5π4 .
【解答】
解：∵ csα=−55，π<α<3π2，
∴ sinα=1−cs2α=−255，
∴ tanα=2，
∵ tanβ=13，
∴ tana−β=tanα−tanβ1+tanβtanβ=2−131+2×13=1 ，
又π<α<3π2<0，0<β<π2，
∴ α−β∈π2,3π2，
∴ a−β=5π4 .
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
解三角形
正弦定理的应用
【解析】
由正弦定理，求得角B的值，进而做出判定，得到答案．
【解答】
解：由题意，得A=30∘，a=2，b=2，
由正弦定理，得sinB=bsinAa=2sin30∘2=22.
因为b>a，
所以B>A，且B∈0,180∘，
所以B=45∘或B=135∘，
所以满足条件的△ABC有两种情形．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
因为bsin2C=a−bsinA−sin2C，所以由正弦定理可得sinBsinA−sinB=sin2CsinA−sin2C，
则sinAsinB−sinBsin2C=sinAsin2C−sinBsin2C，又sinA≠0，所以sinB=sin2C，
即sinA+C=sin2C . 因为π3【解答】
解：因为bsin2C=a−bsinA−sin2C，
所以由正弦定理，得sinBsin2C=sinA−sinBsinA−sin2C，
所以sinAsinB−sinBsin2C=sinAsin2C−sinBsin2C，
即sinAsinB=sinAsin2C，
又sinA≠0，
所以sinB=sin2C，
所以sin[π−(A+C)]=sin2C，
即sinA+C=sin2C.
因为π3所以π3所以A+C=2C，即A=C，
所以c=a=6 .
故选D.
二、填空题
【答案】
6+2
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
由cs(5∘−30∘)=22×32+22×12=6+24，有4cs(45∘−30∘)=6+2 .
【解答】
解：4cs(45∘−30∘)=4×(cs45∘cs30∘+sin45∘sin30∘)
=4×(22×32+22×12)
=4×6+24
=6+2.
故答案为：6+2.
【答案】
402
【考点】
解三角形
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
由图知知∠C=30∘,AB=40，由正弦定理有DC=ABsin45∘sin30∘=40×2212=402 .
【解答】
解：由图可知，∠CAB=45∘，
∴ ∠C=180∘−45∘−(90∘+15∘)=30∘，
由正弦定理，得ABsinC=BCsin∠CAB，
BC=ABsin45∘sin30∘=40×2212=402km .
故答案为：402.
【答案】
[2,32]
【考点】
正弦函数的定义域和值域
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
sinx−csx可转化为2sinx−π4，有2sinx−π4的取值范围判断m取值范围．
【解答】
解：sinx−csx=222sinx−22csx
=2sinx−π4，
∵−1≤sinx−π4≤1，
∴−2≤m−22≤2，
解得2≤m≤32，
∴m取值范围为[2,32]．
故答案为：[2,32]．
【答案】
2或3
【考点】
正弦定理
三角形求面积
余弦定理
【解析】

【解答】
解：因为∠A=60∘，AD=635，BC=7，
所以S△ABD=12AB⋅AD×sin30∘
=14AB×635=3310AB，
S△ACD=12AC⋅AD×sin30∘
=14AC×635=3310AC，
由正弦定理，得S△ABC=12AB⋅AC×sin60∘=34AB⋅AC，
又S△ABC=S△ABD+S△ACD ，
所以3310AB+AC=34AB⋅AC，
即AB+AC=56AB⋅AC.
由余弦定理，得AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs60∘=7，
整理，得AB+AC2−3AB⋅AC=7，
即2536AB⋅AC2−3AB⋅AC=7，
解得AB⋅AC=6，
由AB+AC=5，
解得AB=2,AC=3.或AB=3,AC=2.
故答案为：2或3 .
三、解答题
【答案】
解：(1)由正弦定理，得3sinAsinB=5sinAsinBcsC，
又sinA>0，sinB>0，
∴ csC=35．
(2)由(1)可知，csC=35，
∴ sinC=45，
∵ B=π4，
∴ sinA=sin34π−C=22csC+sinC=7210，
由正弦定理，得ac=sinAsinC=721045=728 .
【考点】
正弦定理
解三角形
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由正弦定理有3sinAsinB=5sinAsinBcsC，
因为sinA>0,sinB>0，可得csC=35．
（2）由（1）知，sinC=45,sinA=sin34π−C=22csC+sinC=7210，
故有ac=sinAsinC=721045=728 .
【解答】
解：(1)由正弦定理，得3sinAsinB=5sinAsinBcsC，
又sinA>0，sinB>0，
∴ csC=35．
(2)由(1)可知，csC=35，
∴ sinC=45，
∵ B=π4，
∴ sinA=sin34π−C=22csC+sinC=7210，
由正弦定理，得ac=sinAsinC=721045=728 .
【答案】
解：(1)∵ sinx2−4csx2=0，且csπ2≠0，
∴ tanx2=4，
∴ tanx=2tanx21−tan2x2=2×41−42=−815 .
(2)原式=cs2x−sin2x22csx+22sinxsinx
=2(csx−sinx)(csx+sinx)(csx+sinx)sinx
=2×csx−sinxsinx=2×1−tanxtanx ，
由(1)可知，tanx=−815，
∴ 原式=2×1−(−815)−815
=−2328.
【考点】
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）因为sinx2−4csx2=0，则csπ2≠0，所以tanx2=4，
所以 tanx=2tanx21−tan2x2，
=2×41−42=−815 .
(2)原式=cs2x−sin2x22csx+22sinxsinx
=2(csx−sinx)(csx+sinx)(csx+sinx)sinx
=2×csx−sinxsinx=2×1−tanxtanx ，
由(1)可知，tanx=−815，
∴ 原式=2×1−(−815)−815
=−2328.
【解答】
解：(1)∵ sinx2−4csx2=0，且csπ2≠0，
∴ tanx2=4，
∴ tanx=2tanx21−tan2x2=2×41−42=−815 .
(2)原式=cs2x−sin2x22csx+22sinxsinx
=2(csx−sinx)(csx+sinx)(csx+sinx)sinx
=2×csx−sinxsinx=2×1−tanxtanx ，
由(1)可知，tanx=−815，
∴ 原式=2×1−(−815)−815
=−2328.
【答案】
解：(1)由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab，
∵ ab=c2−a2−b2，
∴ csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
又0∴ C=2π3．
(2)由正弦定理，得S△ABC =12absinC=23，
∴ ab=8，
∵ ab=c2−a2−b2，c=27，
∴ ab=28−a2−b2
整理，得a2+b2=20，
∴ a+b=a2+b2+2ab=20+16=6，
联立方程a+b=6，ab=8，
解得a=2，b=4或a=4，b=2，
∴ a=2，b=4或a=4，b=2 .
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）由余弦定理有csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
因为0（2）由题意有12absin2π3=23，可得ab=8，
又由c=27，有ab=28−a2−b2，可得a2+b2=20，
有a+b=a2+b2+2ab=20+16=6，
联立方程a+b=6ab=8，解得a=2b=4或a=4b=2，
故a=2,b=4或a=4,b=2 .
【解答】
解：(1)由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab，
∵ ab=c2−a2−b2，
∴ csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
又0∴ C=2π3．
(2)由正弦定理，得S△ABC =12absinC=23，
∴ ab=8，
∵ ab=c2−a2−b2，c=27，
∴ ab=28−a2−b2
整理，得a2+b2=20，
∴ a+b=a2+b2+2ab=20+16=6，
联立方程a+b=6，ab=8，
解得a=2，b=4或a=4，b=2，
∴ a=2，b=4或a=4，b=2 .
【答案】
解：(1)由三角函数的定义，得sinα=25，csα=−15，
所以sin2α=2sinαcsα=2×25×−15=−45，
cs2α=1−2sin2α=1−2×252=−35，
所以2sin2α−π4=sin2α−cs2α
=−45−−35=−15.
(2)因为csα−β=55，
所以sinα−β=1−15=255 ，
所以sinβ=sinα−α−β
=sinαcsα−β−csαsinα−β
=25×55−−15×255=45.
【考点】
三角函数线
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
【解析】

【解答】
解：(1)由三角函数的定义，得sinα=25，csα=−15，
所以sin2α=2sinαcsα=2×25×−15=−45，
cs2α=1−2sin2α=1−2×252=−35，
所以2sin2α−π4=sin2α−cs2α
=−45−−35=−15.
(2)因为csα−β=55，
所以sinα−β=1−15=255 ，
所以sinβ=sinα−α−β
=sinαcsα−β−csαsinα−β
=25×55−−15×255=45.
【答案】
解：(1)根据正弦定理，得2sinCcsB=2sinA+sinB，
即2sinCcsB=2sinπ−B+C+sinB，
整理，得2sinBcsC+sinB=0，
又sinB≠0，
∴ csC=−12，
∴ C=2π3 ·
(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2=a2+b2−2accsC，
即9=3+b2−2×3×b×csC，
由(1)可知，C=2π3，
∴ b2+3b−6=0，
解得b=3或b=−23（负值，舍去），
∴ AC=3，
在△ABC中，a=b，
∴ A=30∘，
∴ CD=33AC=33×3=1 .
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
（1）根据正弦定理得2sinCcsB=2sinπ−B+C+sinB，
整理得2sinBcsC+sinB=0，
因为sinB≠0，所以csC=−12，可得C=2π3 ·
（2）在△ABC中，由余弦定理得：9=3+b2−2×3×b×csC，
将（1）中所求代人整理得：b2+3b−6=0，解得b=3或b=−23（舍），即AC=3，
在△ABC中，可知a=b，有A=30∘，
所以CD=33AC=33×3=1 .
【解答】
解：(1)根据正弦定理，得2sinCcsB=2sinA+sinB，
即2sinCcsB=2sinπ−B+C+sinB，
整理，得2sinBcsC+sinB=0，
又sinB≠0，
∴ csC=−12，
∴ C=2π3 ·
(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2=a2+b2−2accsC，
即9=3+b2−2×3×b×csC，
由(1)可知，C=2π3，
∴ b2+3b−6=0，
解得b=3或b=−23（负值，舍去），
∴ AC=3，
在△ABC中，a=b，
∴ A=30∘，
∴ CD=33AC=33×3=1 .
【答案】
解：(1)因为fx=sin2x+π3−23cs2x+3
=12sin2x+32cs2x−3cs2x+1+3
=12sin2x−32cs2x
=sin2x−π3，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12k∈Z；
令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2k∈Z，
解得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z).
所以函数fx的单调递增区间为kπ−π12,kπ+5π12k∈Z，
单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12k∈Z .
(2)当x∈−π4,π4时，−5π6≤2x−π3≤π6，
解得−1≤fx≤12，
由fx+2>0，
不等式2m≥m+1fx+2m+1fx+2可化为
2mfx+4m≥m+1fx+2m+1，
整理，得m−1fx+2m−1≥0，
若不等式2m≥m+1x+2m+1fx+2恒成立，
则m−12+2m−1≥0,−m−1+2m−1≥0,
解得m≥35，
所以实数m的取值范围为35,+∞．
【考点】
正弦函数的单调性
不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：(1)因为fx=sin2x+π3−23cs2x+3
=12sin2x+32cs2x−3cs2x+1+3
=12sin2x−32cs2x=sin2x−π3，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12k∈Z；
令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2k∈Z，
解得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z).
所以函数fx的单调递增区间为kπ−π12,kπ+5π12k∈Z，
单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12k∈Z .
(2)当x∈−π4,π4时，−5π6≤2x−π3≤π6，
解得−1≤fx≤12，
由fx+2>0，
不等式2m≥m+1fx+2m+1fx+2可化为
2mfx+4m≥m+1fx+2m+1，
整理，得m−1fx+2m−1≥0，
若不等式2m≥m+1x+2m+1fx+2恒成立，
则m−12+2m−1≥0,−m−1+2m−1≥0,
解得m≥35，
所以实数m的取值范围为35,+∞．