2021届云南省大理州高三理数二模试卷及答案

这是一份2021届云南省大理州高三理数二模试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
2.设复数 ，那么 在复平面中对应的点为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.“ 〞是“ 〞的〔   〕
A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件
4.在区间 上任取一个数k，使直线 与圆 相交的概率为〔   〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
5. ， ， ，那么 的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
6.双曲线 的离心率为 ，那么点 到 的渐近线的距离为(   )
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
n为等比数列{an}的前n项和．假设a5–a3=12，a6–a4=24，那么 =〔    〕
A. 2n–1                                B. 2–21–n                                C. 2–2n–1                                D. 21–n–1
8.执行如图的程序框图，假设输入k的值为3，那么输出S的值为〔   〕
​​
A. 10                                         B. 15                                         C. 18                                         D. 21
9.四面体 所有顶点都在球 的球面上，且 平面 ，假设 ， ， ，那么球 的外表积为〔    〕
A. 4π                                       B. 6π                                       C. 8π                                       D. 12π
10.函数 的零点依次构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿x轴向右平移 个单位，得到函数 的图象，那么函数 〔    〕
A. 是偶函数                                                            B. 其图象关于直线 对称
C. 在 上是增函数                                         D. 在区间 上的值域为
11.设抛物线 的焦点为F ， 过F的直线l与抛物线交于点A，B ， 与圆 交于点P，Q ， 其中点A，P在第一象限，那么 的最小值为〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
12.函数 ， ，假设对于任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，那么实数a的取值范围是〔    〕
A. 〔e，4〕                      B. 〔e ，4]                      C. 〔e ，4〕                      D. 〔 ，4]
二、填空题
13. ， ，且 ，那么向量 与 夹角的大小为________
14.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有?算数书??九章算术??周髀算经??孙子算经?等，有3名中学生方案去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，那么不同的阅读方案的总数有________种．(请用数字作答)
15.如图，在正方体 中，点 在线段 上移动，有以下判断：①平面 平面 ；②平面 平面 ；③三棱锥 的体积不变；④ 平面 ．其中，正确的选项是________．〔把所有正确的判断的序号都填上〕

16.我们把 叫“费马数〞〔费马是十七世纪法国数学家〕，设 ， 表示数列 的前n项之和，那么使不等式 成立的最大正整数n的值是________
三、解答题
17.△ABC中，角A ， B ， C对边的边长分别是a ， b ， c ， 且a〔cosB+cosC〕＝b+c ．
〔1〕求证：A ；
〔2〕假设△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
18.如图甲，在 中， ， ， ， ， 分别在 ， 上，且满足 ，将 沿 折到 位置，得到四棱锥 ，如图乙．

〔1〕 ， 为 ， 上的动点，求证： ；
〔2〕在翻折过程中，当二面角 为60°时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术拟对“麒麟〞 芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x〔亿元与科技升级直接收益y〔亿元〕的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58

68

66
66
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ；模型②： ；当 时，确定y与x满足的线性回归方程为 ．
〔1〕根据以下表格中的数据，比较当 时模型①、②的相关指数 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟〞 芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
回归模型
模型①
模型②
回归方程





〔附：刻画回归效果的相关指数 ， 〕
〔2〕为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
〔附：用最小二乘法求线性回归方程 的系数： ， 〕
〔3〕科技升级后，“麒麟〞芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布 ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：假设芯片的效率不超过50%，不予奖励：假设芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；假设芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求 〔精确到0.01〕．
〔附：假设随机变量 ，那么 ， 〕
20.椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，焦距为 ，直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点， 为弦 的中点.
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕假设直线 ： 与椭圆 相交于不同的两点 ， ， ，假设 〔 为坐标原点〕，求 的取值范围.
21.函数 ，
〔1〕当 时，求 的单调区间；
〔2〕当 ，讨论 的零点个数；
22.以直角坐标系 的原点为极坐标系的极点， 轴的正半轴为极轴．曲线 的极坐标方程为 ， 是 上一动点， ，点 的轨迹为 ．
〔1〕求曲线 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
〔2〕假设点 ，直线 的参数方程 〔 为参数〕，直线 与曲线 的交点为 ，当 取最小值时，求直线 的普通方程．
f〔x〕＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．
〔1〕求不等式|f〔x〕|＜4的解集；
〔2〕记f 〔x〕的最大值为m ， 设a ， b ， c＞0，且a+2b+3c＝m ， 证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】 求出集合A，B，由此能求出A∪B．
2.【解析】【解答】 ，对应的点为
故答案为：A．
【分析】利用复数的运算法那么进行求解即可
3.【解析】【解答】由 ，充分性成立；
由 不能得出 ，如 也满足．
故答案为：A.

【分析】 根据当 时  成立判断 是 成立的充分条件，由 不能得出 ，即可得出答案。
4.【解析】【解答】直线与圆相交，那么 ，解得 ，
∴所求概率为 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线与圆相交的k的取值范围，求出区间的长度后可得概率．
5.【解析】【解答】解：因为函数 在定义域上单调递增，所以 ，所以 ； 在定义域上单调递增，所以 ，所以 ， 在定义域上单调递减，所以 ，即
所以
故答案为：D

【分析】 利用指数、对数函数的性质，考查出a，b，c的范围即可解出．
6.【解析】【解答】 因为a=b
那么渐近线方程为y=±x
所以〔4,0〕到渐近线距离d=
故答案为：D
 
【分析】利用离心率得到渐近线斜率，再用点到直线距离公式
7.【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
8.【解析】【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=3，n=1，S=1
满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3
满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6
满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10
满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15
此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．
应选：B．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．
9.【解析】【解答】由 ， ，即可知： ，
设球 的半径为 ， 的外接圆半径为 ，那么 ，即 ，
又∵ 平面 ， ，
∴ ，
∴球 的外表积为 .
故答案为：C.

【分析】 求出棱锥的底面外接圆的半径，然后求解几何体的外接球的半径，即可求解外接球的外表积．
10.【解析】【解答】 ，
由于函数 的零点构成一个公差为 的等差数列，那么该函数的最小正周期为 ，
，那么 ，所以 ，
将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，
得到函数 的图象.
对于A选项，函数 的定义域为 ， ，
函数 为奇函数，A选项错误；
对于B选项， ，所以，函数 的图象不关于直线 对称，B选项错误；
对于C选项，当 时， ，那么函数 在 上是减函数，C选项错误；
对于D选项，当 时， ，那么 ， .
所以，函数 在区间 上的值域为 ，D选项正确.
故答案为：D.

【分析】 由题意利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
11.【解析】【解答】如下列图：

因为圆的方程为 即为 ，所以圆心为 即为抛物线 的焦点且半径
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，取等号时 .
综上可知： .
故答案为：D.

【分析】 根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2|AP|+|QB|表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标xA ， xB的特点结合根本不等式求解出2|AP|+|QB|的最小值．
12.【解析】【解答】解：g〔x〕=x2ex的导函数为g′〔x〕=2xex+x2ex=x〔x+2〕ex ， 当 时， ，
由 时， ， 时， ，可得g〔x〕在[–1，0]上单调递减，
在〔0，1]上单调递增，故g〔x〕在[–1，1]上的最小值为g〔0〕=0，最大值为g〔1〕=e ，
所以对于任意的 ， ．因为 开口向下，对称轴为 轴，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
那么函数 在[ ，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f〔x〕在 ，
图象关于 轴对称，在〔 ，2]上，函数 单调递减．由题意，得 ， ，
可得a–4≤0