2021届云南省红河州高三理数三模试卷及答案

这是一份2021届云南省红河州高三理数三模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.复数 ，i为虚数单位， 是 的共轭复数，那么 〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
3. ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
4.随着我国人民生活水平日益提高，餐饮消费在国民经济活动中的比重逐步加大.某机构统计了2021年至2021年〔1月至11月〕我国餐饮业销售收入的情况，得到下面的条形图，那么下面说法中不正确的选项是〔    〕

A. 2021年至2021年，我国餐饮业销售收入逐年增加
B. 2021年我国餐饮业销售收入较2021年的增量超过4000亿元，同比增长接近10%
C. 2021年受新冠肺炎疫情影响，我国餐饮业销售收入有所下滑
D. 近年来，我国餐饮业销售收入同比增长率有上升趋势
5.以下说法中，正确的个数为〔    〕
①假设 ， 是非零向量，那么“ 〞是“ 与 的夹角为锐角〞的充要条件；
②命题“在△ 中，假设 ，那么 〞的逆否命题为真命题；
③命题 ： ，那么它的否认是 ： .
④二项式 的展开式中，系数为有理数的项共3项.
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 
6.函数 的大致图象为〔    〕
A.                               B. 
C.                             D. 
7.如下列图，网格中小正方形的边长均为1， 的三个顶点均在小正方形的顶点处，那么 外接圆的面积为〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，那么共有多少种不同的分配方案〔    〕
A. 15                                         B. 20                                         C. 10                                         D. 30
9. ， ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
10.在棱长为 的正方体 中， 为棱 上一点，且 到 的距离与到 的距离相等，那么四面体 的外接球的外表积为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
11.数列 满足 ，假设数列 满足 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
12.函数 是定义在 的奇函数，且满足 ，当 ， ，那么以下关于函数 表达正确的选项是〔    〕
A. 函数 的最小正周期为1
B. 函数 在 内单调递增
C. 函数 相邻两个对称中心的距离为2
D. 函数 的图象在区间 内的零点 满足
二、填空题
13.假设 是边长为1的等边三角形，那么 ________.
14.函数 在 上的零点之和为________.
15.双曲线C： ，过下焦点F作斜率为2的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，假设 〔 为坐标原点〕，那么双曲线C的离心率为________.
16.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越奉献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多珍贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，假设在 上 恒成立，那么称函数 是 上的“严格凸函数〞，称区间 为函数 的“严格凸区间〞.那么以下正确命题的序号为 ________.
①函数 在 上为“严格凸函数〞；
②函数 的“严格凸区间〞为 ；
③函数 在 为“严格凸函数〞，那么m的取值范围为 .
三、解答题
17.公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， 成等比数列.
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18.某市从2021年5月1日开始，假设电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处分，并在媒体上曝光.但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通平安隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数

25

未闯红灯人数
85


合计


200
近期，为了整顿“行人闯红灯〞这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处分.在试行经济处分一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数
5
15
20
未闯红灯人数
95
85
180
合计
100
100
200
将统计数据所得频率视为概率，完成以下问题：
〔1〕将2×2列联表填写完整〔不需要写出填写过程〕，并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处分前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
〔2〕在试行对闯红灯的行人进行经济处分后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
〔3〕结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象〞提出合理的建议〔至少提出两条建议〕.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
P〔K2≥k0〕








k0








19.如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中点，且 .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？假设存在，试确定点 的位置；假设不存在，请说明理由.
20.抛物线 : 的准线经过椭圆 的一个焦点.
〔1〕求抛物线 的方程；
〔2〕过椭圆的右顶点且斜率为 ， 的两条直线分别交抛物线 于点 ， ， ， ，点 ， 分别是线段 , 的中点，假设 ，求抛物线 的焦点 到直线 的距离的最大值.
21.函数 ，假设 的两个极值点分别为 ， ，且满足 .
〔1〕求实数a的值；   
〔2〕假设函数 有三个零点，求证： 的所有零点的绝对值都小于 .
22.在平面直角坐标系 中，直线l的参数方程为 〔 为参数〕，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标是 .
〔1〕求直线l的极坐标方程及点 到直线l的距离；
〔2〕假设直线l与曲线 交于 ， 两点，求 的面积.
23. .
〔1〕当 时，求不等式 的解集；
〔2〕当 时，恒有 ，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 得 ，解得 ，又因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
故答案为：C

【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合A再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】 ，因为 ，所以 ，
故 ，
故答案为：B.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
3.【解析】【解答】令 ，那么 ， ，
所以 ，
故答案为：A.

【分析】根据题意令， 由此得出 结合诱导公式以及二倍角的余弦公式计算出结果即可。
4.【解析】【解答】对于A，从条形图可以看出，2021年至2021年，我国餐饮业销售收入逐年增加，A符合题意；
对于B，2021年和2021年我国餐饮业销售收入分别为42715.9亿元和46720.7亿元，2021年较2021年多增量为 亿元，从折线图可以看出，同比增长接近10%〔实际增长为9.38%〕，B符合题意；
对于C，从条形图可以看出，2021年我国餐饮业销售收入有所下滑，C符合题意；
对于D，从折线图可以看出，我国餐饮业销售收入同比增长率并没有上升趋势，D不符合题意.
故答案为：D

【分析】根据题意结合给出的销售统计收入情况，依次分析选项即可得出答案.
5.【解析】【解答】对于①，因为 ， 是非零向量，当 ， 同向时，依然可以得到 ，故①错；
对于②， ，所以②对；
对于③， ： ， ，所以③错；
对于④，该二项式的通项 ，当 取0，6，12时，系数为有理数，所以④对；
故答案选：B

【分析】根据题意由特殊情况即可判断出 ① 错误；结合正弦函数的单调性即可判断出 ② 正确；由否命题的定义解题意即可 判断出③ 错误；首先求出二项式的通项公式，结合题意对r赋值由此计算出结果从而判断出④正确 ；由此得出答案。
6.【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
因为 ，
并且 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 ；
当 时，即 ，此时只能是 ，
而 的根是 ，可排除D.
故答案为：B

【分析】  根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A、C，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项D，由此得到答案。
7.【解析】【解答】由图可知 ， ， ，由余弦定理 ， ，
据正弦定理知 ， ，
故答案为：C.

【分析】根据题意由图看得出a、b、c的值，再由余弦定理计算出cosC的值，结合同角三角函数的根本关系式求出sinC的值，并代入到正弦定理计算出圆的半径，然后圆的面积公式代入数值计算出结果即可。
8.【解析】【解答】采用“隔板法〞，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有 种方案.
故答案为：C.
【分析】利用排列组合以及计数原理结合题意计算出结果即可。
9.【解析】【解答】由对数函数的性质，可得 ， ，所以 ；
又由 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
故答案为：A.

【分析】首先由对数的运算性质整理化简a、b，由此比较出， 同理比较出， 由此得出答案。
10.【解析】【解答】连接 交 于点 ，连接 、 、 、 ，如以下列图所示，
 
在正方体 中，四边形 为正方形，且 ，那么 为 的中点，
因为 ，所以 .
设 ，那么 ，易知 ， ，
，由可得 ，可得 ，解得 ，
将三棱锥 补成长方体 ，
设三棱锥 的外接球半径为 ，那么 ，那么 ，
因此，三棱锥 的外接球的外表积为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意作出辅助线，由正方体的几何性质得出线线垂直结合题意设出， 即， 结合三角形的几何计算关系即可得出PO的值，再由勾股定理计算出x的值，根据题意将三棱锥 补成长方体 ， 结合正方体的对角线是球的半径，计算出R的值，再把数值代入到球的体积公式计算出结果即可。
11.【解析】【解答】由题意知 ，所以 ，
当 时，
，当 时，
. 故

故答案为：D.

【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此求出的通项公式， 再由裂项相消法计算出结果。
12.【解析】【解答】由题意可得： ， 关于点 成中心对称，因为 ，可得 ，所以 ，所以 的最小正周期为2，可得 的大致图象如下：
       
所以， 的最小正周期为2， 错误；
在 内单调递增，但是在 内没有单调性，故 错误； 的对称中心为 ，故相邻两个对称中心的距离为1，故 错误； 的图象与 的图象在每个 区间内都有1个交点，且 在 内的解析式为 ，所以 的图象在区间 内的零点 满足 ，
故 ，所以 .
故答案为：D

【分析】根据题意由条件整理得出函数的周期性由此判断出选项A错误；由函数的图象即可得出函数的单调性由此判断出选项B错误；集合函数的图象以及奇偶性即可判断出选项C错误；由条件结合零点的定义即可判断出选项D正确，由此得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 为边长为1的等边三角形，所以 ， ，
而向量 和 的夹角为 的补角，
所以 .
故答案为： .

【分析】根据题意由三角形的几何性质结合数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。
14.【解析】【解答】 ，
令 得， ，
因为 ，所以
或 或 或 ，
解得 .
故答案为：

【分析】根据题意由二倍角的余弦公式整理得出函数的解析式，结合正弦函数的性质以及图象由零点的定义计算出答案。
15.【解析】【解答】设直线AF的方程为 ，双曲线C的渐近线方程为 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
由 ， ，
化简得
整理得 ，
所以 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：

【分析】 根据题意设出直线AF 的方程为y=2x-c，与双曲线C的渐近线方程联立，求得点A的坐标，再由求 出， 由双曲线里a、b、c的关系整理得出， 由此得出从而得出结果。
16.【解析】【解答】 的导函数 ， ， 在 上恒成立，所以函数 在 上为“严格凸函数〞，所以①正确；
的导函数 ， ， ，所以 ，解得 ，所以函数 的“严格凸区间〞为 ，
所以②正确；
的导函数 ， ， ，所以 在 上恒成立，
即 ，设 ，那么 在 单调递增，
所以 ，所以 ，所以③不正确；
故答案为：①②.

【分析】根据题意首先求出函数的导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可.
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式结合等比数列的性质，整理得到由此得出， 再由等差数列的前n项和公式代入整理得到， 从而计算出由此得到数列的通项公式。
(2)由(1)的结论整理得到数列的通项公式，再由条件代入得到从而判断出数列为等比数列，结合等比数列前n项和公式求出， 从而得出数列的 前 项和 进而得出数列前 项和 .
 
18.【解析】【分析】 (1)利用条件填写列联表，并计算出k2的观测值，即可确定有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关.
(IⅡ)计算得出进行处分10元后，行人闯红灯的概率，再与未进行处分前，行人闯红灯的概率，比较可得降低了0.2.
(I)有列联表可得，30岁以上的闯红灯的人数较多，可以针对30岁以上人群开展“道路平安〞宣传教育；由(Ⅱ)可知，适当的处分有利于降低闯红灯的概率.
 
 
19.【解析】【分析】 (1)根据题意由条件推导出， ， 从而， 由 平面 利用线面垂直的性质定理，得， 再由线面垂直的判定定理即可证明 平面 。
(2) 据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到求出由此得出线段 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时点 为靠近点 的三等分点.
 
20.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质求出焦点的坐标，由此得出抛物线的准线方程，即求出p的值，从而得出抛物线的方程。
(2)根据题意设出点的坐标，再由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k1的两根之和与两根之积的代数式，由此得出点的坐标以及直线PQ的方程，整理从而得出直线PQ 恒过点 ， 利用两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
 
 
21.【解析】【分析】(1) 根据题意首先对函数求导，令结合二次函数的性质即可得出恒成立，由此得出 有两个根 ， ，结合函数单调性的定义即可得出函数的单调性，再由零点的定义以及韦达定理即可求出从而求出a的值即可。
(2) 根据题意由〔1〕得：当 或者 ， 有三个零点，分情况讨论： ①当 时 ，由零点的定义结合函数的单调性即可求出极值，再由零点的个数得到， 求解出c的取值范围，然后由零点存在性定理整理得出， 从而得证出结论。
②当 时 ，同理得证出结论。
22.【解析】【分析】 (1)根据题意现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程， 再由点到直线的距离公式即可得点到直线的距离；
(2)由条件求出在极坐标下，利用韦达定理求出， 由此得出的长度，再把结果代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
 
23.【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理得出函数的解析式，再由题意即可得出等价于 或 或 ， 求解出不等式的解集即可。
(2)根据题意由x的取值范围得出， 分情况讨论： 当 时，求出函数的解析式，再由题意得到不等式求， 由此得出恒成立，所以 满足题意； 当 时，同理即可得出 不恒成立，故不满足题意；由此得出a的取值范围。