2021届云南省高三理数二模试卷及答案

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这是一份2021届云南省高三理数二模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三理数二模试卷
一、单项选择题
1.满足的集合的个数是〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
2. 是虚数单位，，那么复数的共轭复数等于〔    〕
A.                                B.                                C.                                D.
3.在的二项展开式中，的系数是〔    〕
A. 3                                           B. 5                                           C. 7                                           D. 9
4.〔    〕
A. 2                                         B.                                          C. -2                                         D. -5
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积是〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D.
6.执行如图的程序框图，那么输出的结果是〔    〕

A.                                        B.                                        C.                                        D.
7.椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.假设椭圆上存在点，使是等边三角形，那么椭圆的离心率为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D.
8.数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为 .假设，那么〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D.
9.边长为的正的顶点和点都在球的球面上.假设，且平面，那么球的外表积为〔    〕
A.                                     B. 48π                                    C. 24π                                    D. 12π
10.从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用表示取出的数字的最小数，那么随机变量的数学期望〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D.
11.设数列的前项和为， .假设，那么〔    〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
12.函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，那么的所有零点之和等于〔    〕
A. 0                                          B. 4                                          C. 12                                          D. 16
二、填空题
13. ，都是平面向量.假设，，那么 ________.
14.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为________.
15.假设，满足约束条件，那么的最大值为________.
16.函数，假设，且，设，那么的取值范围为________.
三、解答题
17.的内角、、的对边分别为、、， .
〔1〕求；
〔2〕假设，求面积的最大值.
18.某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第年为这台设备支出的年度保养维修费〔单位：千元〕的局部数据：

2
3
4
5
6

画出散点图如下：

通过计算得与的相关系数 .由散点图和相关系数的值可知，与的线性相关程度很高.
附：， .
〔1〕建立关于的线性回归方程；
〔2〕假设设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据〔1〕得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
19.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.

〔1〕求证：平面平面；
〔2〕假设，求二面角的正弦值.
20. 是自然对数的底数，， .
〔1〕当时，求证：在上单调递增；
〔2〕是否存在实数，对任何，都有？假设存在，求出的所有值；假设不存在，请说明理由.
21.抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.
〔1〕求抛物线的方程；
〔2〕假设直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，直线过点且与直线平行.
〔1〕直接写出曲线的普通方程和直线的参数方程；
〔2〕设直线与曲线交于、两点.假设是与的等比中项，求实数的值.
23.函数 .
〔1〕假设，求实数的取值范围；
〔2〕假设，且，求证：，

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】依题意得：
或或或
的个数有4个
故答案为：D

【分析】由题意得，再结合并集的定义即可解决.
2.【解析】【解答】由条件等式知：，
∴ .
故答案为：A.

【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案.
3.【解析】【解答】由二项式通项，
∴当时，，那么 .
∴ 的系数是 .
故答案为：C.

【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得   的二项展开式中，x的系数 .
4.【解析】【解答】
故答案为：B

【分析】由两角差的正切公式，即可得解.
5.【解析】【解答】由三视图作出几何体的直观图如下：

由图可知：该几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直于底面，底面是等腰直角三角形，
所以，
故答案为：C.

【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
6.【解析】【解答】执行程序框图的中的程序，如下所示：
第一次循环，，，不满足；
第二次循环，，，不满足；
第三次循环，，，不满足；
第四次循环，，，不满足；
第五次循环，，，不满足；
第六次循环，，，满足.
跳出循环体，输出 .
故答案为：D.

【分析】根据程序框图的循环结构，逐步进行验证，得出答案。
7.【解析】【解答】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，
因为是等边三角形，那么，，

，所以，，，
所以，，
由椭圆的定义可得，
因此，椭圆E的离心率为 .
故答案为：C.

【分析】求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解离心率即可.
8.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：A
【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出，进而得出结论.
9.【解析】【解答】由题意知：球为三棱锥的外接球，
为边长为的正三角形，的外接圆半径，
又平面，，球的半径，
球的外表积 .
故答案为：B.

【分析】由题意画出图形，求出底面三角形的外接圆的半径，进一步求出三棱锥外接球的半径，代入球的外表积公式得答案.
10.【解析】【解答】由题意知：的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，
当时，取法有种，即；
当时，取法有种，即；
当时，取法有种，即；
∴ .
故答案为：A.

【分析】由题意知：的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求，，，进而求期望即可。
11.【解析】【解答】当时，有，即，
当时，，即，
∴ 是首项为，公比为的等比数列，那么，
∴ ，可得 .
故答案为：D.

【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的求和公式的应用求出结果.
12.【解析】【解答】由题设，知：，而，
∴必有，又在上单调，即，
∴ ，那么，即有，又，
∴ ，所以，那么，
∴令有，故判断与在有几个交点及对应对称轴有哪几条即可，如以下图示：

∴共有6个零点且，即 .
故答案为：C.

【分析】先求出函数的解析式，再根据图像判断与在有几个交点及对应对称轴有哪几条即可。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为，所以 .
故答案为：-3.

【分析】求出向量，利用向量的数量积求解即可.
14.【解析】【解答】解：根据题意，圆的圆心为，
双曲线的的渐近线，即，
那么点到直线的距离，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为；
故答案为：．

【分析】求出圆的圆心，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
15.【解析】【解答】由题设，可行域如下阴影局部所示，

∴当与可行域有交点，在x轴的截距最大时，的值最大.
当且仅当过时， .
故答案为：5.

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
16.【解析】【解答】画出图象如以下图所示，

，令，解得，
由得，，且
所以，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为 .
所以的取值范围是 .
故答案为：

【分析】画出图像，令，解得，由得，且，，再根据二次函数的性质求出最值即可得出的取值范围。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理将等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，即可得解；
〔2〕由余弦定理，得，结合根本不等式，推出，再由，得解.
18.【解析】【分析】〔1〕根据条件求出，再根据公式可求出即可得出   关于  的线性回归方程;
〔2〕设这台设备有  年状态正常，由得  ，即  解不等式即可得出。

19.【解析】【分析】〔1〕设   ，由四边形  是菱形，  为棱  的中点，得，   ，再根据余弦定理可得，由勾股定理得出，根据面面垂直的判定定理可证得；
〔2〕分别以射线   ，    ，   为  轴，  轴，  轴的非负半轴，建立如以下图的空间直角坐标系，利用向量法求出二面角  的正弦值.
20.【解析】【分析】〔1〕对函数求导即可证出单调性；
〔2〕由〔1〕知：当  时，  在  上单调递增，当  时，设  ，那么  在  上是增函数，要使函数在，都有，那么实质是求函数在上的最小值是否满足条件，设   ，那么，求出单调性，进而得出最值，即可得出结论。
21.【解析】【分析】〔1〕设出抛物线的方程，求出焦点坐标，带入直线进行求解即可；
〔2〕联立方程组，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行转化求解即可.

22.【解析】【分析】〔1〕直接把曲线C的参数方程中的参数消去，可得其普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，化P的极坐标为直角坐标，结合直线过点P且与直线平行，可得直线的参数方程；
〔2〕把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及等比中项的性质、参数t的几何意义列式求解实数m的值.

23.【解析】【分析】〔1〕利用绝对值不等式的解法，分段求解即可得出实数  的取值范围；
〔2〕   ，利用根本不等式即可证得。