2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三理数第二次联考试卷及答案

这是一份2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三理数第二次联考试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第二次联考试卷
一、单项选择题
1.假设全集 ， ， ，那么集合 等于〔    〕
A.                B.                C.                D. 
2.假设复数 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
3.以下函数在区间 内有零点且单调递增的是〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
4.某实验室研发新冠疫苗，试验中需对 ， 两项指标进行对照试验．已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表：

110
115
120
125
130

85
89
90
92
94
与 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为 ．根据该回归方程，预测下一次试验中当 时， ，那么 的值为〔    〕

5.〔    〕
A. 4                                        B. 2π                                        C.                                         D. 8
6.在 中， ， ， 分别为 ， ， 的对边，如果 ，那么 的值为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
7.—对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的 个座位上〔一人一座〕．为平安起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，那么他们 人的坐法符合平安规定的概率是〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
8.椭圆 的焦点为 ， ，且椭圆与直线 ： 有公共点，那么椭圆长轴长的最小值为〔    〕
A. 10                                       B. 7                                       C.                                        D. 
9.随机变量 服从二项分布 ，其期望 ，当 时，目标函数 的最小值为 ，那么 的展开式中各项系数之和为〔    〕
A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 
10.抛物线 ，过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点 ， ，且抛物线的准线与 轴的交点为 ，那么以下结论错误的选项是〔    〕
A.               B.               C.               D. 
11.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为 ， 、 是底面圆周上的两个不同的动点，给出以下四个判断，其中正确的选项是〔    〕
①圆锥的侧面积为 ②母线与圆锥底面所成角的大小为60°③ 可能为等腰直角三角形④ 面积的最大值为
A. ①③                                     B. ②④                                     C. ①④                                     D. ②③
12. ，函数 ， ．记函数 的最小值为 ，函数 的最小值为 ，当 时， 的最大值是〔    〕
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
二、填空题
13.函数 ，那么 ________．
14. ，假设 ，那么 ________．
15.执行如下列图的程序框图，假设输出的结果 ，那么 的取值范围是________．

16.双曲线 ： 与抛物线 ： 的焦点 重合，过点 作直线 与抛物线 交于 、 两点〔 点在 轴上方〕且满足 ，假设直线 只与双曲线右支相交于两点，那么双曲线 的离心率 的取值范围是________．
三、解答题
17.数列 的首项 ，假设向量 ， ， ，且 ．
〔1〕求数列 的通项公式 ；
〔2〕数列 ，假设 ，求数列 的前 项和 ．
18.某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分〔总分值为100分〕，得到如下列图的频率分布直方图．

〔1〕求 的值，并估计所有试验者的平均得分〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；
〔2〕据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为 ， ， ，假设同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量 ，求随机变量 的分布列及其期望值 ．
19.四棱锥 及其三视图如下列图，其底面 是正方形，且平面 平面 ，当 、 分别是棱 、 的中点时，连接 、 ．

〔1〕证明：直线 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 ，点 在椭圆上， 轴，且 ．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕将椭圆 按照坐标变换 得到曲线 ，假设直线 与曲线 相切且与椭圆 相交于 ， 两点，求 的取值范围．
21.函数 ，假设函数 在 处的切线与直线 平行．
〔1〕求 的值及函数 的单调区间；
〔2〕 ，假设函数 与函数 的图像在 有交点，求实数 的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
〔1〕求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
〔2〕设点 是曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最值．
23.函数 ．
〔1〕解不等式 ；
〔2〕假设 的最小值为 ，且正实数 ， 满足 ，求 的最小值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为全集 ， ， ，
， ,所以， .
故答案为：C．

【分析】根据题意由集合的交并补运算对选项逐一判断即可得出答案。
2.【解析】【解答】
，
.
故答案为：A
【分析】根据题意由复数的运算性质整理化简再由复数的模的定义计算出答案。
3.【解析】【解答】对于A， 在 上为减函数，不符合题意；
对于B， 在 上为增函数，令 ，解得 ，不符合题意；
对于C， 在 上没有定义，不符合题意；
对于D， 在 上有零点 ，且在 为增函数，符合题意.
故答案为：D．

【分析】根据题意由指数函数和对数函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】由表格中的数据，求得： ，
，那么 ，①
又因为下一次实验中 时， ，那么 ，②
联立①②，解得： ．
故答案为：D．

【分析】根据题意由条件结合图表中数据求出样本中心点的坐标，再由斜率和截距的最小二乘估计公式求出的值即可。
5.【解析】【解答】
因为 是奇函数，且在区间 关于原点对称，所以
对应的区域是一个半径为2的半圆，面积为
故 .
故答案为：B．

【分析】根据题意首相由定积分的运算性质整理原式再由奇函数的定义以及定积分面积的几何意义，结合圆的面积公式计算出结果即可。
6.【解析】【解答】∵ ，由正弦定理可得
即：
整理得：
对照余弦定理可得
故答案为：A．

【分析】首相由正弦定理整理化简点的a、b、c的关系式，再把结果代入到余弦定理计算出答案即可。
7.【解析】【解答】 人随机坐有 种坐法，除去两个小孩相邻且坐在两端的情况，有 种符合平安规定的坐法，
因此，所求事件的概率为 .
故答案为：C．

【分析】根据题意由排列的定义求出总的事件个数和所求事件的个数再把数值代入到概率公式计算出答案即可。
8.【解析】【解答】设椭圆 与直线 的一个公共点为

那么 〔即为长轴长〕
问题转化为在直线 上找点 ，使得 最小
设 关于 的对称点 ，那么 ，可得 点坐标为 ，
那么 ，当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立即椭圆长轴长 的最小值为10．
故答案为：A．
【分析】 根据题意首先设椭圆的方程，再与直线方程联立方程组，然后根据该方程组有解即可求出a的最小值，那么问题解决．
9.【解析】【解答】根据二项分布期望的定义，可知 ，得 ，
画出不等式组 表示的区域，如图中阴影局部所示，

其中 ， ， ，
平移直线 ，当直线经过点 时， 取最小值，即 ，
于是 ，
令 ，可得展开式的各项系数之和为 ．
故答案为：B．

【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求解b，再由二项分布的概率求得a，代入到， 令x=1计算出答案即可。
10.【解析】【解答】设过抛物线 ： 的焦点 的直线为： ，
代入抛物线方程得： ；
由直线上两点 ， ，
那么有 ，
，A正确，不符合题意
，B正确，符合题意
∵ 点坐标为 ，故 ，

当 时， ，即 ，C错误，符合题意．
由
，D正确，符合题意
故答案为：C

【分析】根据题意 设出直线AB的方程为， 〔m≠0〕，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理对应各个选项逐个判断即可求解．
11.【解析】【解答】如图，设 为底面圆的圆心，那么 为圆锥的高．
  
设圆锥的母线为 ，由底面半径为1，所以底面圆的周长为 ，
其侧面展开图是一个半圆，那么此半圆的半径为 ，此半圆的半圆弧长 ，所以 ，
所以侧面展开图的面积为： ，所以①不正确．
由圆锥的性质可知 与圆锥底面所成角为 ，那么 ，
所以 ，所以②正确．
在 中， ， ， 不可能为直角三角形，所以③不正确．
在 中， ，由 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以④正确．
故正确的判断为②④，
故答案为：B.

【分析】 根据题意作出圆锥以及侧面展开图，求解几何体的侧面积即可判断出①错误；求出侧棱与底面所成角即可判断出②正确；判断三角形的形状即可判断出③错误；求出三角形的面积的最大值即可判断出④正确，由此得出答案。
12.【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
记 ，
∴ ，
所以，函数 在 上单调递增，
∵ ，当 时， ；当 时， ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ，即 ．
①当 ，即当 时，由上可知，函数 的最小值为 ，满足 ；
②当 ，即当 时，由上可知，函数 的最小值为 ，
且 ，不合题意，
综上所述，实数 的最大值为1。
故答案为：D．

【分析】因为 ， ，再利用导数的运算法那么求出函数f(x)的导函数，那么，记 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而判断出函数f(x)的单调性，从而求出函数f(x)的最小值，再利用分类讨论的方法结合函数 的最小值为 ，函数 的最小值为 ， 进而求出当 时的的最大值。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为：

【分析】根据题意由分段函数的解析式选择适宜的解析式代入数值计算出结果即可。
14.【解析】【解答】由 ，可得： ， ，
所以 ，那么 ，
故答案为：6

【分析】首先由指、对互化的公式整理原式再由条件结合对数的运算性质计算出a的值即可。
15.【解析】【解答】由 ， ；
， ；
， ；
， ；
， 退出结束，
那么 .
故答案为： .

【分析】根据题意由程序框图的循环特点代入数值计算出答案即可。
16.【解析】【解答】设直线 的倾斜角 ，直线 与抛物线 交于 、 两点〔 点在 轴上方〕，那么 为锐角，
焦点 ，准线 ，准线与 轴交点记为 ，
过 、 分别向准线作垂线，垂足分别为 、 ，过 向 作垂线，垂足为 ，
设直线 与 轴交点记为 ，过 向 轴作垂线，垂足为 ，

由抛物线的定义 ，
因为 ，所以 ，∴ ，
因为 ，
所以 ，
由 ，那么 ，
由直线 只与双曲线右支相交于两点，那么 ，
那么 ，
由 ，那么 ．
故答案为：〔1,2〕.

【分析】 根据题意即可得出抛物线的焦半径公式由此得到， 从
而计算出由此直线与双曲线的右支交于两点，进而得到k的取值范围与整体思想结合离心率的公式即可求出e的取值范围。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)首先由向量垂直的坐标公式整理得出数列的递推公式，结合递推公式即可得出数列为等比数列由此求出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论整理即可得出数列的通项公式，由此得到数列的余弦公式再由错位相减法计算出数列的前n项和即可。
18.【解析】【分析】(1)结合条件由频率分布柱状图中的数据结合平均数公式计算出答案即可。
(2)根据题意首先求出的取值再由概率的公式计算出对应的每一个的概率值，由此即可得出分布列再把数值代入到期望公式计算出结果即可。
19.【解析】【分析】(1)根据题意结合三视图的性质即可得出该几何体的形状，结合三角形的几何性质由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再中点的性质得出线线平行结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PAB法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PAB的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得到到直线 与平面 所成角的正弦值 。
20.【解析】【分析】(1)根据题意由条件可得出b的值，再由椭圆里a、b、c的关系求出a的值由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k和m的两根之和与两根之积的代数式，并把结果代入弦长公式整理化简结合二次函数的性质，由整体思想令即可求出弦长的取值范围。

 
21.【解析】【分析】(1)根据题意求出函数的导函数，再把x=1代入到导函数的解析式计算出导数值进而得到切线的斜率，由此计算出t的值进而得出函数的解析式，再对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)结合条件把问题转化为函数在上有解，由函数的单调性得到再构造函数， 根据g(x)的单调性即可求出a的取值范围。
22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意直接利用转换关系，把参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换即可；
〔2〕利用点到直线的距离公式和二次函数的性质求出结果．
23.【解析】【分析】(1)根据题意由绝对值的几何意义整理得到函数的解析式再由不等式的解法，求解出不等式的解集即可。
(2)由(1)的结论即可得出函数的解析式，再由条件结合根本不等式计算出最小值即可。