2021届上海市松江区高三数学高考一模试卷及答案

这是一份2021届上海市松江区高三数学高考一模试卷及答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学高考一模试卷一、单项选择题1.两条直线 ， 的方程为 和 ，那么 是“直线 〞的〔    〕            A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件2.在正方体 中，以下四个结论中错误的选项是〔    〕  A. 直线 与直线 所成的角为               B. 直线 与平面 所成的角为
C. 直线 与直线 所成的角为              D. 直线 与直线 所成的角为 3.设 ， ，假设 ，那么 的〔    〕            A. 最小值为8                         B. 最大值为8                         C. 最小值为2                         D. 最大值为24.记 为数列 的前项和，点 在直线 上，假设有且只有两个正整数n满足 ，那么实数k的取值范围是〔    〕            A.                               B.                               C.                               D. 二、填空题5.________.    6.假设集合 ， ，那么 ________.    7.复数 满足 (i为虚数单位)，那么 ________.    8.假设 ，那么 ________.    9.抛物线 的准线方程为________.    10.函数 图像与函数 的图像关于 对称，那么 ________.    11.从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，那么学生甲被抽到的概率________.    12.在 的二项展开式中，常数项等于________.    13.在 中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 ，那么角 ________.    14.从以下七个函数： 中选取两个函数记为 和 ，构成函数 ，假设 的图像如下列图，那么 ________.  15.向量| ，假设 ，且 ，那么 的最大值为________.    16.对于定义域为D的函数 ，假设存在 且 ，使得 ，那么称函数 具有性质M，假设函数 且 有性质M，那么实数a的最小值为________.    三、解答题17.如图1在三棱柱 中， ，且 平面 ，过 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).  〔1〕求异面直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数表示)；    〔2〕求四棱锥 的体积和外表积.    18.函数 .    〔1〕求 的最小正周期和值域；    〔2〕假设对任意 ， 的恒成立，求实数 的取值范围.    19.某网店有(万件)商品，方案在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量 与促销费t之间的关系为 (其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.    〔1〕要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？    〔2〕商品的进价为32(元/件)，另有固定本钱3(万元)，定义每件售出商品的平均本钱为 (元)，假设将商品售价定位：“每件售出商品平均本钱的1.5倍〞与“每件售出商品平均促销费的一半〞之和，那么当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？    20.椭圆Γ： 的右焦点坐标为 ，且长轴长为短轴长的 倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点 和 ，  〔1〕求椭圆Γ的方程；    〔2〕假设直线l经过点 ，且 的面积为 ，求直线l的方程；    〔3〕假设直线l的方程为 ，点 关于x轴的对称点为 ，直线 ， 分别与x轴相交于P､Q两点，求证： 为定值.    21.对于由m个正整数构成的有限集 ，记 ，特别规定 ，假设集合M满足：对任意的正整数 ，都存在集合M的两个子集A､B，使得 成立，那么称集合M为“满集〞，    〔1〕分别判断集合 与 是否为“满集〞，请说明理由；    〔2〕假设 由小到大能排列成公差为d( )的等差数列，求证：集合M为“满集〞的必要条件是 或2；    〔3〕假设 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集〞   
答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】解：假设 ，那么 和 ， ， 所以直线 ，满足充分性；假设直线 ，那么 ，解得 ，满足必要性．所以 是“直线 〞的充要条件．故答案为：C． 
【分析】根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可得到答案。2.【解析】【解答】连接 ∵ 为等边三角形，∴ ，即直线 与 所成的角为60°，A符合题意； 连接 ，∵ ，∴四面体 是正四面体，∴点 在平面 上的投影为 的中心，设为点O，连接 ， ，那么 ，设直线 与平面 所成的角为θ，那么 ，B不符合题意；连接 ，∵ ，且 ，∴直线 与 所成的角为90°，C符合题意；∵ 平面 ，∴ ，即直线 与 所成的角为90°，D符合题意．故答案为：B． 
【分析】连接 ，求出可判断选项A；连接 ，找出点 在平面 上的投影O，设直线 与平面 所成的角为θ，由， 可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解。3.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ， ，那么 ，故当 时， 最小， ，故答案为：A.
【分析】根据题意得出， 然后根据得出， 并将转化为， 最后取， 即可得出结果。4.【解析】【解答】解：由可得 ， 由 ，所以数列 为等差数列，首项为8，公差为-2，所以 ，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足 ，所以满足条件的 和 ，因为 ，所以实数k的取值范围是 ．故答案为：C． 
【分析】由可得数列 为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前项和公式可得， 由二次函数的性质可得当n=4或5时， 取得最大值为20，根据题结合二次函数的图像与性质，即可求得k的取值范围。二、填空题5.【解析】【解答】解： 故答案为：1． 
【分析】利用数列极限的运算法那么化简求解即可。6.【解析】【解答】解： ， ， ∴ ．故答案为：{1,2}． 
【分析】根据交集的定义进行运算即可。7.【解析】【解答】解：由 ， 得 ，∴ ．故答案为：1． 
【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可。8.【解析】【解答】因为 ， 所以 ．故答案为：  
【分析】利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将的值代入计算，即可求出值。9.【解析】【解答】抛物线 的焦点在 轴上，且开口向左， ∴抛物线 的准线方程为x=1，
故答案为x=1. 
【分析】由抛物线 的焦点在 轴上，且开口向左，可得， 进而得出抛物线的准线方程。10.【解析】【解答】解：∵函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， ∴函数 与函数 互为反函数，∴ ，∴ .故答案为： ． 
【分析】由函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，可得函数 与函数 互为反函数，求出函数的解析式，进而算出 的值。11.【解析】【解答】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本， 根本领件总数 ，学生甲被抽到包含的根本领件个数 ，∴学生甲被抽到的概率 ．故答案为： ． 
【分析】根本领件总数 ，学生甲被抽到包含的根本领件个数 ，由此能求出学生甲被抽到的概率。12.【解析】【解答】解：在 的二项展开式中，通项公式为 ， 令 ，求得 ，可得展开式的常数项为 ，故答案为：240． 
【分析】在二项展开式中的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项。13.【解析】【解答】在 中，角 对的边分别为 ，且 ， 可得 ，由正弦定理可得 ，即 ，可得 ，因为 ,所以 ．故答案为： ． 
【分析】利用行列式的运算法那么以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可。14.【解析】【解答】由图象可知，函数 的定义域为 ，故排除 ， ， 又由 的图象过定点 ，由函数 图象，可得当 时， 且为增函数，当 时， 大于0与小于0交替出现，假设 时，此时函数 的图象不过定点 ，因为 过 ，且当 时， ，当 时， ，假设包含 ，当 时， ， 不满足过点 ，假设包含 ，此时函数 不满足 时， 大于0与小于0交替出现，假设包含 ，此时函数 不满足 时， 大于0与小于0交替出现，所以只有 满足条件．故答案为： ． 
【分析】由函数 的定义域排除 ， ，再由 的图象过定点 及图像的变化情况，分析与， 或与是否经过， 即可得到结论。15.【解析】【解答】解：∵ ，且 ， ∴ 与 的夹角为 ，设 ，那么 ，∵ ，∴ ，又 ，∴ ，化简得 ，∴ ，当且仅当 时，等号成立，∴ ．故答案为： ．
【分析】易知与 的夹角为 ， 设 ，写出， 的坐标，再由和根本不等式，即可得解。16.【解析】【解答】解：设 ，由 得， ， 那么 ，故 ，∴ ，又 ，∴ ，∵ ，∴ ，那么 ，∴ ，，故 ，，那么实数a的最小值为 ．故答案为： ． 
【分析】设 ，由 得，， 结合可得 ，进而求得 ， 由此得解。 三、解答题17.【解析】【分析】〔1〕由棱柱的结构特征可得 ，   即为异面直线  与  所成的角， 证明  平面 ， 再由求解三角形即可得到异面直线  与  所成的角；
〔2〕直接由棱锥体积公式求四棱锥 的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式，求四棱锥的外表积。18.【解析】【分析】〔1〕利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；
〔2〕 记  ，那么  ， 转化为二次不等式恒成立问题，别离参数求实数的取值范围 。19.【解析】【分析】〔1〕在等式中，取  ， 求得k的值，可得 ， 求解t的范围得答案；
〔2〕由题意写出网店的利润为 y(万元) 关于t的函数，再由根本不等式求最值即可。20.【解析】【分析】〔1〕根据题意，结合的关系即求得椭圆的方程；
〔2〕 设直线l的方程为 ， 与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出面积等于 ， 求解k的值，即可得直线的方程；
〔3〕由得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令 ，求出， 即可得， 并根据直线方程求出， 然后相乘代入化简即可。
 21.【解析】【分析】〔1〕根据“满集〞的定义，可知集合  是“满集〞，集合  不是“满集〞，然后利用定义说明理由即可；
〔2〕 ， 对任意的正整数  ，都存在集合M的两个子集A，B，使得  成立，当  时，由  ，及  知  或  ， 得出 ，又时， 不存在M的子集A，B，使得 ， 可得， 即可证明结论；
〔3〕 利用数学归纳法证明。