2021届四川省遂宁等八市联考高三理数第二次诊断考试试卷及答案

这是一份2021届四川省遂宁等八市联考高三理数第二次诊断考试试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数第二次诊断考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                B.                C.                D. 
2.复数 的虚部是〔    〕
A. 11                                         B.                                          C. 1                                         D. 
3.假设 ， 为锐角.那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
4.假设 的展开式中 的系数为15，那么 〔    〕
A. 2                                           B. 3.                                           C. 4                                           D. 5
5.在正方体 中，设 为线段 的中点，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A.           B. 平面           C.           D. 平面
6.记 为数列 的前 项和，假设 ， ，且 ，那么 的值为〔    〕
A. 5050                                   B. 2600                                   C. 2550                                   D. 2450
7.假设过抛物线 ： 的焦点且斜率为2的直线与 交于 ， 两点，那么线段 的长为〔    〕
A. 3.                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
8.函数 的大致图象为〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
9.过点 的直线 与圆心为 的圆 相交于 ， 两点，当 面积最大时，直线 的方程为〔    〕
A.        B. 或        C.        D. 或
10.“四书〞是?大学??中庸??论语??孟子?的合称，又称“四子书〞，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校方案开展“四书〞经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从?大学??中庸??论语??孟子?这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，假设这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，那么抽到自己准备的书的人数的均值为〔    〕
A.                                            B. 1                                           C.                                            D. 2
11. ， 是双曲线 ： 的左，右焦点，过点 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 ， .假设 ，那么双曲线 的离心率为〔    〕
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
12.假设 ，那么 的最大值为〔    〕
A.                                           B.                                           C. e                                          D. 2e
二、填空题
13.向量 ， ，且 与 的夹角为 ，那么 ________.
14.记 为正项等比数列 的前 项和，假设 ， ，那么 的值为________.
15.设球的半径为 ，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的体积为 ，那么 的最大值为________.
16.函数 的最大值为3，最小值为-1，图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .那么 ________， ________.
三、解答题
17.某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务.现统计了前8天每天(用 ，2，…，8表示)的接种人数 (单位：百)相关数据，并制作成如下列图的散点图：

参考数据： ， ， .参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
〔1〕由散点图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 关于 的回归方程(系数精确到0.01)；
〔2〕根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人.
18.在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 .
〔1〕求 ；
〔2〕假设 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
19.在如下列图的多面体中， 是边长为3的正方形， ， ， ， 四点共面， 面 ， ， ， .

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
20.设函数 .
〔1〕假设 ， 有两个零点，求 的取值范围；
〔2〕假设 ，求证： .
21.如图，椭圆 ： 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 时， .

〔1〕求 的值；
〔2〕设线段 ， 的延长线分别交椭圆 于 ， 两点，当 变化时，直线 是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
〔2〕设直线 ： ( 为参数)与曲线 ， 的交点从上到下依次为 ， ， ， ，求 的值.
23.设函数 .
〔1〕当 时，求不等式 的解集；
〔2〕假设对于任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意，可得 ， ，
∴ .
故答案为：D.

【分析】根据题意由绝对值不等式的解法求解出集合B再由并集的定义求出答案即可。
2.【解析】【解答】由 ，可知：虚部是 .
故答案为：B.

【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出答案。
3.【解析】【解答】由 ， 为锐角，得 ，那么
.
故答案为：A.

【分析】根据同角三角函数的根本关系式得出， 再由两角和的余弦公式代入数值计算出答案即可。
4.【解析】【解答】 的展开式中 的项为 ，那么 ，故 .
故答案为：B

【分析】首先由二项展开式的通项公式求出， 再由组合数公式计算出a的值即可。
5.【解析】【解答】如图：在正方体 中，

对于A，假设 ，因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，而 ，所以 ，显然不正确，所以假设不成立，A不正确；
对于B，假设 平面 ，因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，显然不正确，所以假设不成立，B不正确；
对于C，因为 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，所以 ，C符合题意；
对于D，假设 平面 ，因为 ， ，且 ，所以 平面 ，所以 ，显然不成立，所以假设不成立，D不正确.
故答案为：C

【分析】由正方体的几何性质结合线面平行以及线面垂直的的性质定理和判定定理对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】当 为奇数时， ，数列 是首项为1，公差为2的等差数列；
当 为偶数时， ，数列 是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.
那么 .
故答案为：B.

【分析】根据题意对n分情况讨论结合数列的递推公式即可得出数列为等差数列，再由等差数列的前n项和公式计算出答案即可。
7.【解析】【解答】抛物线 ： 的焦点
所以直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，消去 并整理得 ，
所以 ， .
故答案为：C.

【分析】根据题意首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标再由点斜式求出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理以及弦长公式计算出答案即可。
8.【解析】【解答】由 可知 是偶函数，排除A；
当 时， ，那么 ，可知 在 上单调递增，
且 ， ，那么存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
且 是 在 上唯一极小值点，
故答案为：D．

【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由偶函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除A，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，结合函数的单调性以及极值的定义得出答案。
9.【解析】【解答】 的面积 ，当仅当 时“ 〞成立，此时点 到
直线 的距离为 .
当直线 的斜率不存在时，即 ： ，此时圆心到直线 的距离为 ，不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设 ： ，那么 ，解得 ，所以方程为 .
故答案为：A

【分析】 根据题意由条件 当面积最大时，求出圆心到直线的距离，分析可知直线的斜率存在，设出直线方程，再由点到直线的距离公式列式求解斜率，那么直线方程可求.
10.【解析】【解答】记抽到自己准备的书的学生数为 ，那么 可能值为0，1，2，4
， ，
， ，
那么 ．
故答案为：B

【分析】根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值， 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
11.【解析】【解答】设 ，那么 ，
从而 ，进而 .
过 作 ，那么 .如图：

在 中， ， ；
在 中， ，
即 ，所以 .
故答案为：A

【分析】根据题意作出辅助线并设出那么 ，从而 ，进而 ，结合双曲线的定义以及勾股定理得出， 再由整体思想结合离心率公式计算出答案即可。
12.【解析】【解答】原不等式化为 ，即 ，令 ，
知 在 上单调递增，原不等式转化为 ，所以 ，即 ，设 ，那么 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故当 时 取得最小值 ，所以 的最大值为 .
故答案为：C

【分析】首先整理不等式得到构造函数， 再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值由此得出a的最大值。
二、填空题
13.【解析】【解答】由题意，有 ，可解得 满足.
故答案为：-1

【分析】由数量积的坐标公式代入数值结合条件求出t的值即可。
14.【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，由 有 ，解得 ， (舍去)，所以 ，所以 .
故答案为：127

【分析】利用等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
15.【解析】【解答】依题意可知，圆锥与球的轴截面如图：

设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，
那么 ，即 ，
所以 ，
求导可得 ，
当 时， ，当 时， ，
于是 在 上单调递增，在 单调递减，
所以当 时，体积取得最大值为 .
故答案为：

【分析】 先根据圆锥与球的组合确定球心位置，结合球的性质及体积公式表示出V的值，再由导数知识求解相应函数的最大值，即可求解.
16.【解析】【解答】由函数 ( ， )，
因为函数 的最大值为3，最小值为 ，所以 ，
解得 ，即 ，
又因为函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，所以 .
故答案：1； .

【分析】首先由两角和的正弦公式整理函数的解析式再条件求出A与b的值，由此得出函数的解析式再结合正弦函数的图象和性质结合周期公式求出的值即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)由散点图中的数据结合的公式代入数值求出线性回归方程即可。
(2)根据题意代入数值计算出结果即可。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式得出结合条件整理得到， 由此求出角A的大小。
(2) 由〔1〕得 ，由此得出角C的取值范围，再由正弦定理整理得出结合正切函数的性质即可得出， 从而求出即b的取值范围。
19.【解析】【分析】(1)首先由线面平行的性质定理即可得出线线平行再由边的关系结合勾股定理计算出垂线，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 余弦值 。
20.【解析】【分析】(1)把b的值代入求出函数的解析式再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值结合条件利用零点的定义即可得出即求出a的取值范围即可。
(2)由(1)的结论结合函数的单调性对a分情况讨论即可得出不同情况下导函数的正负情况，由此得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值和最值从而得出， 构造函数解其导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，再结合函数的单调性即可得出即成立。
21.【解析】【分析】 (1)根据题意求得F的坐标，由向量数量积的坐标表示，联立直线与椭圆方程，解方程可得
a的值；
(2)首先求得直线AD、BE的方程，与椭圆方程联立，求得D、E的坐标，可得直线DE的斜率和方程，由直线恒过定点的求法，可得结论.
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再利用参数方程与普通方程的转化方法，从而求出曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程。
〔2〕法一， 将 ( 为参数)代入曲线 的方程得出 ，再利用判别式法结合一元二次方程求解集的方法，从而求出方程 的两个不同的实根， 由 的几何意义结合两点距离公式，从而求出P,Q两点的距离， 同理将 ( 为参数)代入曲线 的方程得出 ， 再利用判别式法结合一元二次方程求解集的方法，从而求出方程 的两个不同的实根， 由 的几何意义结合两点距离公式，从而求出M,N两点的距离，从而结合距离作差法，进而求出 的值。 法二：直线 的普通方程为 ，将直线 与曲线 的方程联立， 再利用韦达定理结合弦长公式，从而求出P，Q两点的距离，而曲线 是以 为圆心， 为半径的圆，显然点 在直线 ： 上，从而求出
 的值，从而结合距离作差法，进而求出 的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用t的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，从而求出不等式 的解集。
〔2〕利用绝对值三角不等式求出 ， 从而求出函数的最大值，对于任意实数 ，不等式 恒成立等价于 恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而解一元二次不等式求出实数t的取值范围。