2021届四川省凉山州高三理数三模试卷及答案

这是一份2021届四川省凉山州高三理数三模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
2.假设复数 满足 ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.直线 ： ， ： ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕条件
A. 必要不充分                       B. 充分不必要                       C. 充要                       D. 既不充分也不必要
4.定义在 上的函数 满足： ， ， ，且 ，那么 〔    〕
A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7
5.三条不重合的直线 ， ， ，三个不重合的平面 ， ， ，以下命题中正确的选项是〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
6.等差数列 ， 为其前 项和， ， ，记数列 的前 项和为 ，那么 〔    〕
A. -11                                        B. -9                                        C. -13                                        D. -7
7.等差数列 ， 为其前 项和， ， ，记数列 的前 项和为 ，那么 〔    〕
A. -11                                        B. -9                                        C. -13                                        D. -7
8.我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在?梦溪笔谈?中首创的“隙积术〞，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第 层货物的个数为 ，那么数列 的前2021项和为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
9.定义运算 .设 ，假设 的图像与直线 相交，且交点中两点间的最短距离为 ，那么满足 的一个 的值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
10. 为坐标原点， 为 ： 上的动点，直线 ： ，假设 到 的最小距离为 ，那么 的值为〔    〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
11.曲线 ： ，过它的右焦点 作直线交曲线 于 、 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点 ，可证明 是一个定值 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
12.函数 ，记 ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
13.函数 ，假设曲线 在点 处与直线 相切，那么 〔    〕
A. 1                                         B. 0                                         C. -1                                         D. -1或1
二、填空题
14.假设 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为________．〔用数字作答〕
15.樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花〞的诺言今年三月在武汉大学履行．武汉大学邀请去年援鄂的广阔医护人员前来赏樱．某医院方案在援鄂的3名医生和5名护士〔包含甲医生和乙护士〕中任选3名作为第一批人员前去赏樱，那么甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为________．
16.抛物线 ： 的焦点为 ，其准线 与 轴的交点为 ，点 为 上一点，当 最大时，直线 的斜率为________．
17.如图， 为 内任意一点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .总有优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：

①假设 是 的重心，那么有 ；
②假设 成立，那么 是 的内心；
③假设 ，那么 ；
④假设 是 的外心， ， ，那么 .
那么正确的命题有________.
三、解答题
18.在钝角 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ．
〔1〕求 的值．
〔2〕假设 的外接圆半径为 ， ，求 的面积．
19.某品牌汽车4S店对2021年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y表示2021年第x月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：

1
2
3
4
5
6
7
8

14
12
20
20
22
24
30
26
〔1〕求出y关于x的线性回归方程 ，并预测该店9月份的成交量；〔 ， 精确到整数〕
〔2〕该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，假设抽中“一等奖〞获5千元奖金；抽中“二等奖〞获2千元奖金；抽中“祝您平安〞那么没有奖金．一次抽奖活动中获得“二等奖〞的概率为 ，没有获得奖金的概率为 ．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 〔千元〕的分布列及数学期望．
参考数据及公式： ， ， ， ．
20.如图，在圆锥 中， 为 的直径，点 在 上， ， ．

〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕假设直线 与底面所成角的大小为 ， 是 上一点，且 ，求二面角 的余弦值．
21.椭圆 ： 的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且 在椭圆上．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕， 是椭圆上异于 的两点，设直线 ， 斜率分别为 ， ，点 到直线 的距离为 ，假设 ，求以 的最大值为直径的圆的面积．
22.函数 ．
〔1〕假设曲线 在点 处的切线 与曲线 相切，求 的值；
〔2〕假设函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
23.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
〔2〕在极坐标系中，射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，求 的面积.
24.函数
〔1〕假设方程 无实根，求实数 的取值范围；
〔2〕记 的最小值为 .假设 ， ，且 ，证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 得 ，所以 ．
故答案为：B．

【分析】 转化为求解x=1与y=x+1的交点个数，联立方程即可求解.
2.【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：C．

【分析】直接利用复数的乘除运算法那么化简求解即可。
3.【解析】【解答】 的充要条件是 ，解得 或 ，
所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件．
故答案为：B．

【分析】根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可。
4.【解析】【解答】因 ， ， ，且 ，
取x=0，y=1有 ，那么 ，
取x=y=1有 ，
所以 5.
故答案为：B

【分析】由给定条件，利用赋值法求出即可得解。
5.【解析】【解答】 时， 可以相交、平行或异面，A错；
时， 或 ，B错；
时， 与 可以相交可以平行，C错；
，那么 ，D正确．
故答案为：D．

【分析】 A:根据线线的位置关系可得 可以相交、平行或异面； B:根据线面垂直的性质定理可得 或 ；C:根据面面得位置关系可得:  与 可以相交可以平行；D:根据线面的位置关系可得。
6.【解析】【解答】因为 ，又 ，
解得 ，那么 ，
因为数列 是等差数列，故 ，
所以 ，
故： ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ；
所以 ，
故答案为：A.

【分析】首先根据题设条件求得等差数列  的通项公式分，再根据分组求和法求的数列   的前  项和为 ，在求解过程中需要分奇数和偶数进行讨论，然后求  即可。
7.【解析】【解答】因为 ，又 ，
解得 ，那么 ，
因为数列 是等差数列，故 ，
所以 ，
故： ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ；
所以 ，
故答案为：A.

【分析】首先根据题设条件求得等差数列  的通项公式分，再根据分组求和法求的数列   的前  项和为 ，在求解过程中需要分奇数和偶数进行讨论，然后求  即可。
8.【解析】【解答】解：由题意知， 且 ，那么由累加法可知，
，所以 ，
当 时， ，那么 ，那么 ，
记 的前 项的和为 ，那么
，那么 ，
故答案为：B.

【分析】由题意知， 且 ，那么由累加法可得，然后验证时是否满足，可得， ， 进而可得出数列  的前2021项和。
9.【解析】【解答】因为运算 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的图像与直线 相交，且交点中两点间的最短距离为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以函数图象关于 对称，
令 ，解得 ，
即为函数的对称轴，当 时， ，
故答案为：C

【分析】利用三角恒等变换化简函数  的解析式，再利用 的图像与直线 相交，且交点中两点间的最短距离为 ，得， 再根据函数图象关于 对称，即可得出答案。
10.【解析】【解答】圆心 到直线 ： 的距离为： ，
因为点 到 的最小距离为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：C

【分析】由点 到 的最小距离为 ， 利用点到直线的距离公式求解，即可求出a的值。
11.【解析】【解答】 ，即 ，
设直线 方程： ，且 ， ，

， ，
，
， ，
弦 的中点为 ，
即垂直平分线： ，
令 ，可得 ，
，
所以 .
故答案为：A

【分析】设直线 方程： ，且 ， ，把直线与曲线联立，利用韦达定理可得， ，进而求出，再利用中点坐标公式即可求出 弦  的垂直平分线 ，令 ，可得 ，进而求出m值。
12.【解析】【解答】因为 ， ，
由对数的单调性可知： ，
所以 ，且 ，
因为函数 ，所以函数 为偶函数，
从而 ，
因为 时， ，所以 ，
那么当 时， ，所以 在 上单调递增；
那么当 时， ，所以 在 上单调递增；
因为 ，
所以 ，
即 ；
故答案为：D.

【分析】 根据题意，分析可得f (x) 为偶函数且在 上单调递增和 上单调递增，由对数函数的性质比较可得 ， 结合函数的单调性分析可得答案.
13.【解析】【解答】由 ，
那么 ，
∵曲线 在点 处与直线 相切，
那么 ，即 ，
所以 ，
两边同时取以 为底的对数，可得 ，
即 ，
所以 ，
设 ， ，
函数在 上单调递增，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
解得 .
故答案为：C

【分析】导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数，由此进行计算，即可得出答案。
二、填空题
14.【解析】【解答】 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，那么由二项式系数性质知：展开式共有9项，那么n=8，
展开式的通项为 ，
展开式中常数项，必有 ，即 ，
所以展开式中常数项为 .
故答案为：

【分析】根据题意求出n的值，再由展开式的通项公式求出常数项。
15.【解析】【解答】3名医生和5名护士〔包含甲医生和乙护士〕中任选3名有 种；
甲医生被选中且乙护士未被选中有 ，
所以甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为 .
故答案为：

【分析】利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解。
16.【解析】【解答】由题意可得，焦点 ，准线方程为 ，

过点 作 垂直准线，垂足为 ，
那么 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ( )
求 的最大值，即求 的最小值，等价 的最大值，
设 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，即直线 的斜率为1.
故答案为：1.

【分析】 由题意求出焦点坐标及准线方程，由抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离，当的最大值，即求 的最大值，由均值不等式求出a的值，即可得出直线  的斜率。
17.【解析】【解答】对于①：如下列图：因为 分别为 的中点，
所以 , ，
同理可得 、 ，
所以 ，又因为
所以 .①正确.
 
对于②：记点 到 的距离分别为 ， ，因为 ，那么 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以点 是 的内心.②正确.
对于③：因为 ，所以 , , ,
所以 ,
化简得： ，
又因为 不共线.
所以 ，
.③错误.
对于④：因为 是 的外心， ，所以 , ， ,
因为 ，那么 ，
化简得： ,由题意知 不同时为正.
记 ,
那么 ，
因为
所以 .④正确.
故答案为：①②④.

【分析】根据题中条件的定义，结合向量的运算及性质，逐项进行判断即可得出答案。
三、解答题
18.【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理及三角变换公式可得 ，从而可求 的值；
〔2〕利用余弦定理可得a，b的关系，结合〔1〕的结果可求a，b的值，从而可求面积。
 
19.【解析】【分析】〔1〕先分别求出的平均数，再利用最小二乘法计算即可的回归直线方程，取可得成交量的预测值；
 〔2〕写出随机变量 的所有可能值，再计算出 取各个值时的概率，列出分布列即可得解。 
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕由线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理即可得证；
〔2〕 以射线DO，DA，Dz分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面 和 平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求出二面角  的余弦值 。
21.【解析】【分析】〔1〕首先得出 ， 得出a，b关系，代入点的坐标可得参数值，得椭圆方程；
〔2〕 当直线  的斜率存在时，设直线  的方程为   ，    ，  ，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得   ，  ，代入 得直线过定点，同时说明斜率不存在时也过这个定点，由定点求得d最大值得圆面积。 
 
22.【解析】【分析】〔1〕对 求导，求出曲线  在  处的切线 的方程，再由与圆相切即可得解；
〔2〕由三次函数的图像特征，按函数  在 单调和不单调两种情况讨论即可得解。
 
23.【解析】【分析】〔1〕由曲线   的参数方程消去参数t可得的普通方程，即可得出极坐标方程，再将   的极坐标方程化简可得出直角坐标方程；
〔2〕将     分别代入和的极坐标方程可求得A，B极坐标，即可求出面积。
 
24.【解析】【分析】〔1〕分绝对值中的正负去绝对值，将 写成分段函数再求解即可；
〔2〕根据〔1〕中的解析式求解的最小值，再根据恒成立问题的方法求解实数a的取值范围即可。