2021届广东省佛山市高三上学期数学教学质量检测试卷（一）及答案

高三上学期数学教学质量检测试卷〔一〕

一、单项选择题

1.全集U为实数集， ， ，那么 〔    〕           

A.                       B.                       C.                       D. 

2.设复数 ， 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 ，那么 〔    〕           

A.                                    B.                                    C.                                    D. -2 

3.假设 、 、 为非零实数，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件 

           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件 

4.平行四边形 中，点E是 的中点，点F是 的一个三等分点〔靠近B〕，那么 〔    〕           

A.                   B.                   C.                   D. 

5.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型根底设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建〞的众多工程之一，截至2021年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善根底网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及局部重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月方案新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到〔    〕           

A. 2022年12月                       B. 2023年2月                       C. 2023年4月                       D. 2023年6月 

6.设 ，那么〔    〕           

A.              B.              C.              D. 

7.函数 的导函数 在 上的图象大致为〔    〕           

A.                            B. 

C.                            D. 

8.函数 ，那么以下结论中正确的选项是〔    〕           

A. 存在实数a，使 有最小值且最小值大于0 

B. 对任意实数a， 有最小值且最小值大于0 

C. 存在正实数a和实数 ，使 在 上递减，在 上递增 

D. 对任意负实数a，存在实数 ，使 在 上递减，在 上递增 

二、多项选择题

9.2021年以来，我国脱贫攻坚成效明显．以下列图是2021—2021年年末全国农村贫困人口和贫困发生率〔贫困人口占目标调查人口的比重〕变化情况〔数据来源：国家统计局2021年统计年报〕，根据这个开展趋势，2021年底全面脱贫的任务必将完成．根据图表中可得出的正确统计结论有〔    〕 

B. 五年来农村贫困人口减少超过九成 

C. 五年来农村贫困人口减少得越来越快
D. 五年来目标调查人口逐年减少 

10.曲线 ，其中m为非零常数且 ．那么以下结论中正确的有〔    〕           

A. 当 时，曲线C是一个圆 

B. 当 时，曲线C的离心率为

C. 当 时，曲线C的渐近线方程为

D. 当 且 时，曲线C的焦点坐标分别为 和

11.曲线 在区间 上恰有一条对称轴和一个对称中心，那么以下结论中正确的选项是〔    〕           

A. 存在ω，使

B. 存在ω，使

C. 有且仅有一个 ，使

D. 存在 ，使

12.如图，长方体 中， ， ，M为 的中点，过 作长方体的截面 交棱 于N，那么〔    〕 

A. 截面 可能为六边形 

B. 存在点N，使得 截面

C. 假设截面 为平行四边形，那么

D. 当N与C重合时，截面面积为

三、填空题

13.函数 〔e是自然对数的底数〕，那么曲线 在 处的切线方程是________．   

14.某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有7支代表队出线进入决赛阶段，其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队．根据赛制，先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A、B两组分别进行单循环赛，其中A组3支球队、B组4支球队，那么甲、乙恰好在同一组的概率为________．   

15.抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点K，过F作倾斜角为 的直线与C交于A，B两点，假设 ，那么 ________．   

16.四棱锥 的顶点都在球O上， ， ， ， ， ，平面 平面 ，且 ，那么球O的体积为________．   

四、解答题

17.在① ，② ，③ 〔 〕这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答， 

 为等差数列， 的前n项和为 ，且 ， ， ，  ▲    ， 是否存在正整数k，使得 ？假设存在，求k的最小值：假设不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

18.如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ． 

〔1〕假设 ，求梯形ABCD的面积；   

〔2〕假设 ，求 ．   

19.如图，直三棱柱 中， ， 、 分别为 、 的中点． 

〔1〕求证： 平面 ﹔   

〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值．   

20.为了了解空气质量指数〔AQI〕与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间〔60天〕进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天 值〔从气象部门获取〕构成60组成对数据 ，其中 为当天参加户外健身运动的人数， 为当天的 值，并制作了如下散点图： 

连续60天参加健身运动人数与AQI散点图

附：

〔1〕环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为 ，试分析y与x的线性相关关系？   

〔2〕环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线 与 将散点图分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域〔如图〕，统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与 值不大于100有关联〞，试分析该初步认定的犯错率是否小于 ？   

21.椭圆C： 右焦点为 ，且过点 ．   

〔1〕求C的方程；   

〔2〕点P、Q分别在C和直线 上， ，M为 的中点，求证：直线 与直线 的交点在某定曲线上．   

22.设 且 ，函数 ．   

〔1〕假设 在区间 有唯一极值点 ，证明： ；   

〔2〕假设 在区间 没有零点，求a的取值范围．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由题意得：集合 ，集合 ，

所以 ，

所以 .

故答案为：B

 
【分析】根据题意由补集以及交集的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】∵复数z1  ， z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1+i，

∴z2＝﹣1+i，

∴ 〔1+i〕•〔﹣1﹣i〕＝﹣1﹣i﹣i﹣i2＝﹣2i．

故答案为：C．

 
【分析】首先由条件整理得出z2＝﹣1+i，再由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。

3.【解析】【解答】假设 ，那么 ，

故“ 〞是“ 〞的充分条件，

令 ， ， ，满足 ，但不满足 ，

故“ 〞不是“ 〞的必要条件，

综上所述，“ 〞是“ 〞的充分不必要条件，

故答案为：A.

 
【分析】首先由的性质再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

4.【解析】【解答】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，

∴ .

故答案为：D.

 
【分析】结合条件由向量的线性运算以及向量的加减法运算法那么即可得出答案。

5.【解析】【解答】每个月开通 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，

设预计我国累计开通500万个 基站需要 个月，那么

，

化简整理得， ，

解得 或〔负舍〕，

所以预计我国累计开通500万个 基站需要25个月，也就是到2023年2月。

故答案为：B．

 
【分析】利用条件将实际问题转化为以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个 基站需要 个月，再利用等差数列前n项和公式结合条件，从而解一元二次方程求出n的值，所以预计我国累计开通500万个 基站需要25个月，也就是到2023年2月。

6.【解析】【解答】由题意得 ，所以 ，

因为 在R上为单调递增函数，

所以 ，

因为 在 上为单调递减函数，

所以 ，

所以 .

故答案为：D

 
【分析】根据题意首先由正弦函数的性质即可求出a的取值范围，再由指数函数以及对数函数的单调性即可比较出大小。

7.【解析】【解答】因为 ，

所以 ， ，

所以 ，周期是 ，

故答案为：B

 
【分析】首先由条件整理得出函数的解析式再由二倍角的正弦公式整理得出的解析式，对其求导结合余弦函数的性质即可求出周期的值。

8.【解析】【解答】 ，令 ，那么 ，

当 时， 恒成立， 即 在 为增函数， 有且只有一个实根 ，且 时， ， 递减， 时， ， 递增， 是极小值点，也是最小值点．C显然正确．

时， ， ，

时， ， ， ， ，

，B不符合题意，

当 时， ，而 不是最小值点〔因为 〕，因此存在 ，使得 ，综上得A不符合题意，

由 得 ， ， 或 时， ， 时， ，即 在 和 上递增，在 上递减，

所以 极大值＝ ，当 时， 极大值 ， 极小值＝ ，

因此 即 在 ， ， 上各有一个零点，从小到大依次为 ，

在 ， 上 ， 递减，在 ， 上 ， 递增，D不符合题意．

故答案为：C．

 
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值以及单调区间由此对选项逐一判断即可得出答案。

二、多项选择题

9.【解析】【解答】对于A选项， 年贫困发生率为 ， 年为 ，下降了5.1个百分点，A选项正确.

对于B选项，五年来农村贫困人口减少 ，所以B选项正确.

对于C选项， 年减少 ， 年减少 ， 年减少 ， 年减少 ，所以C选项错误.

对于D选项， 年调查 〔万人〕， 年调查 〔万人〕， 年调查 〔万人〕，D选项错误.

故答案为：AB

 
【分析】根据题意由的柱状图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。

10.【解析】【解答】 时，方程可化为 ，表示圆，A符合题意；

时，方程可化为 ，表示椭圆，其中长半轴长为 ，短半轴长为 ，因此半焦距为 ，离心率为 ，B符合题意；

时，方程可化为 ，表示双曲线，其渐近线方程为 ，即 ，C不符合题意；

时，方程可化为 ，表示双曲线，半焦距为 ，

焦点坐标为 ，

当 时，方程可化为 ，表示椭圆，长半轴长为 ，半焦距为 ，焦点坐标为 ，D符合题意．

故答案为：ABD．

 
【分析】由条件曲线方程中分别取m=-1、-2、2，化简切线方程判断ABC；对m分类变形，求出焦点坐标判断D由此即可得出答案．

11.【解析】【解答】对于AB选项，取 ，画出 的图象如以下列图所示，符合“在区间 上恰有一条对称轴和一个对称中心〞.

此时 ，AB选项正确.

对于CD选项，取 ，画出 的图象如以下列图所示，符合“在区间 上恰有一条对称轴和一个对称中心〞.

，由图可知在区间 上有两个 ，使 ，C选项错误.

由图可知，存在 ，使 ，D选项正确.

故答案为：ABD

 
【分析】 首先求出函数的对称轴与对称中心，结合在区间〔0，1〕上恰有一条对称轴和一个对称中心求出ω的范围，然后对选项进行逐一判定即可．

12.【解析】【解答】长方体 中， ， ，M为 的中点，过 作长方体的截面 交棱 于N，

设 为 的中点，根据点N的位置的变化分析可得：

当 时，截面 为平行四边形，

当 时，截面 为五边形，

当 时，即点N与点C重合时，截面 为梯形，A不正确，C符合题意；

设 截面 ，因为 面 ，所以 ，所以N只能与C重合才能使 ，

因为BN不垂直平面 ，故此时不成立，B不正确；

因为当点N与点C重合时，截面 为梯形，

如以下列图所示：过M作MH垂直于 于H，设梯形的高为 ，

那么由平面几何知识得： ，解得 ，所以截面 的面积为： ，D符合题意；

故答案为：CD．

 
【分析】 利用N点的位置不同得到的截面α的形状判断选项A，C，利用线面垂直的判定定理分析选项B，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求解截面面积，从而可判断选项D由此得出答案．

三、填空题

13.【解析】【解答】依题意，由 ，得 ，即切点 ；

又 ，那么曲线 在点 处切线的斜率 ，

∴切线方程为 ，即y=ex-e．

故答案为：y=ex-e

 
【分析】根据题意对函数求导并把代入计算出切线的斜率，再由点斜式求出切线的方程即可。

14.【解析】【解答】按题意总分组方法为 ，冠、亚军球队在一起的方法数为 ，

所以所求概率为 ．

故答案为： ．

 
【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出根本领件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。

 

15.【解析】【解答】依题意 ，设 ，如下列图， 在第一象限.

设直线 的方程为 ，

由 消去 得 ，

所以 ， ，

，

依题意 ，所以 ，

，

，

化简得 ，

，

消去 并化简得 ，

即 ，解得 ，负根舍去.

所以 ，

，由于 ，所以 .

故答案为：

 
【分析】根据题意设出点的坐标再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率的公式整理得到， 计算出m的值从而求出， 由此得到即可。

16.【解析】【解答】取AC中点O，AD中点H，连接OH，OB，OD，PH，如下列图：

因为 ， ， ， ， ，

所以 ，即 ，

，即 ，

又O为AC中点，

所以O到A，B，C，D的距离相等.

因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，

所以 平面 ，

又因为O，H，分别为AC，AD中点，

所以 ，即 平面 ，

又 ，

所以O到P，A，D的距离相等，

所以O为四棱锥 外接球的球心，

在 中， ,

所以球O的体积 .

故答案为：

 
【分析】 由题意作出图形，取AC的中点O，证明O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解即可。

四、解答题

17.【解析】【分析】 假设选①，由等差数列的定义可得是等差数列，可得再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得Sn，解不等式可得所求最小值；假设选②，运用累加法和等比数列的求和公式，求得， 下同选①；假设选③，通过因式分解和等比数列的定义和通项公式，求得， 下同选①．

18.【解析】【分析】 〔1〕根据题意在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，进而求出△ABC的面积，再由CD的值，可得CD与AB的数量关系，求出△ADC的面积，进而求出梯形ABCD的面积．
〔2〕由条件设∠ABD的角，由题意可得∠BDC，∠BAC，∠DBC，∠BCA用∠ABD表示出来的值，在在△ABC中，在△BCD中由正弦定理可得的比例式，两式联立及∠ABD的范围，求出其正切值．

19.【解析】【分析】 (1)根据题意作出辅助线由中点的性质，证明OM∥C1N且OM=C1N，从而四边形OMNC1为平行四边形，得到MN∥OC1  ， 再由直线与平面平行的判定可得MN∥平面ACC1A1；
(2)由条件即可证明出AC⊥BC，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面MA1B1与平面MA1N的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B1-A1M-N的余弦值．

20.【解析】【分析】 〔1〕由相关系数γ≈-0.58知y与x的线性相关关系以及线性相关性强弱；
〔2〕建立2×2列联表，计算K2的值，对照附表得出结论．

21.【解析】【分析】 〔1〕根据题意由可求出a的值，再由焦点坐标求出c的值，进而求解；
〔2〕条件设出点P的坐标，那么可得M的坐标，由此求出直线OQ的方程，进而求出点Q的坐标，再利用坐标求出向量OM，FQ的坐标运算，利用点P在椭圆上化简向量的坐标运算结果，进而可以求解．

22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出函数的极值点，从而证明结论成立即可；
〔2〕由条件通过讨论a的范围，结论零点存在性定理判断函数的零点个数，从而确定a的范围．