2021届北京市丰台区高三数学一模试卷及答案

北京市丰台区高三数学一模试卷

一、单项选择题

1.集合 ， ，那么 〔    〕           

A.                   B. 

                  C.                   D. 

2.在复平面内，复数 ，那么 对应的点位于〔    〕           

A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限 

3.双曲线 的离心率是 ，那么 〔    〕           

A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 4 

4.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，且 .把角 的终边绕端点 逆时针方向旋转 弧度，这时终边对应的角是 ，那么 〔    〕           

A.                                      B.                                      C.                                      D. 

5.假设直线 是圆 的一条对称轴，那么 的值为〔    〕           

A.                                          B. -1                                         C. 1                                         D. 2 

6.某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥中最长的棱长为〔    〕 

A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 4 

7.为抛物线 上一点，点 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，那么 〔    〕           

A. 2                                       B. 4                                       C. 4或9                                       D. 2或18 

8.大气压强 ，它的单位是“帕斯卡〞〔Pa  ， 1Pa=1N/m2〕，大气压强 〔Pa〕随海拔高度 〔m〕的变化规律是 〔 m-1〕， 是海平面大气压强.在某高山 两处测得的大气压强分别为 ， ，那么 两处的海拔高度的差约为〔    〕〔参考数据： 〕           

A. 550m                                B. 1818m                                C. 5500m                                D. 8732m 

9.非零向量 共面，那么“存在实数 ，使得 成立〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件 

         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 

10.函数 ，假设存在实数 ，使得关于 的方程 有三个不同的根，那么实数 的取值范围是〔    〕           

A.                    B.                    C.                    D. 

二、填空题

11.函数 的定义域为________.   

12.在 的展开式中常数项为________(用数字作答).   

13.在 中， ，那么 ________.   

14.设等比数列 满足 ，那么 的最大值为________.   

15.如图，从长、宽、高分别为 的长方体 中截去局部几何体后，所得几何体为三棱锥 .以下四个结论中，所有正确结论的序号是________. 

①三棱锥 的体积为 ；②三棱锥 的每个面都是锐角三角形；③三棱锥 中，二面角 不会是直二面角；④三棱锥 中，三条侧棱与底面所成的角分别记为 ，那么 .

三、解答题

16.函数 .   

〔1〕当 时，求 的值；   

〔2〕当函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 时，________. 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求 在区间 上的最小值；②求 的单调递增区间；③假设 ，求 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.   

17.如图，四棱锥 中，底面 是菱形， ， 是棱 上的点， 是 中点，且 底面 ， . 

〔1〕求证： ；   

〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.   

18.某电影制片厂从2021年至2021年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长〔单位：分钟〕如下列图. 

〔1〕从2021年至2021年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；   

〔2〕从2021年至2021年中任选两年，设 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求 的分布列和数学期望 ；   

〔3〕将2021年至2021年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 ，试比较 的大小.〔只需写出结论〕   

19.椭圆 长轴的两个端点分别为 ，离心率为 .   

〔1〕求椭圆 的方程；   

〔2〕为椭圆 上异于 的动点，直线 分别交直线 于 两点，连接 并延长交椭圆 于点 .  

〔ⅰ〕求证：直线 的斜率之积为定值；

〔ⅱ〕判断 三点是否共线，并说明理由.

20.函数 .   

〔1〕当 时，求曲线 在点 处的切线方程；   

〔2〕假设函数 存在三个零点，分别记为 . 

〔ⅰ〕求 的取值范围；

〔ⅱ〕证明： .

21.数列 ，现将数列 的项分成个数相同的两组，第一组为 ，满足 ；第二组为 ，满足 ，记 .   

〔1〕假设数列 ，写出数列 的一种分组结果，并求出此时 的值；   

〔2〕假设数列 ，证明： ；〔其中 表示 中较大的数〕   

〔3〕证明： 的值与数列 的分组方式无关.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为集合 ，

所以 ．

故答案为：D．

 
【分析】根据题意由并集的定义计算出结果即可。

2.【解析】【解答】 ，那么 ，因此， 对应的点位于第一象限.

故答案为：A.

 
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简，再由共轭复数的定义结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。

3.【解析】【解答】因为双曲线方程为 ，

所以离心率是 ，

解得 ，

又因为 ，

所以 ，

故答案为：B

 
【分析】首先由条件结合双曲线的性质以及离心率的公式即可计算出a的值即可。

4.【解析】【解答】解：依题意 ，因为 ，所以

故答案为：A

 
【分析】根据题意即可得出， 再由诱导公式计算出结果即可。

5.【解析】【解答】圆的方程 可化为 ，

可得圆的圆心坐标为 ，半径为 ，

因为直线 是圆 的一条对称轴，

所以，圆心 在直线 上，

可得 ，即 的值为-1，

故答案为：B．

 
【分析】首先把圆的方程化为标准式并求出圆心坐标以及半径，再由条件结合图象的性质把圆心坐标代入到直线的方程计算出k的值即可。

6.【解析】【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如下列图的三棱锥 ，

其中 底面 ， ， ，

，

，

在该三棱锥中，最长的棱长为 ．

故答案为：C．

 
【分析】根据题意由三视图的性质即可得出该几何体为三棱锥，结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由勾股定理代入数值计算出PC的值从而得出答案。

7.【解析】【解答】解：由题意可得：抛物线 的准线 的方程为：

设点 ，又因点 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，

所以有 ，解得 或 ，

即 的值分别为18或2.

故答案为：D.

 
【分析】根据题意由抛物线的方程即可求出准线的方程，再设出点P的坐标，结合抛物线的定义即可得出关于p和x的方程组，求解出结果即可。

8.【解析】【解答】在某高山 两处海拔高度为 ，

所以 ，

所以 ，

所以 〔m〕.

故答案为：C

 
【分析】根据题意由以及指数函数的运算性质代入数值计算出结果即可。

9.【解析】【解答】假设存在实数 ，使得 成立，

所以 ，

，

所以 ，故充分；

假设 ，

那么 ，

即 ，

所以 ，

因为 ，

所以 或 ，

所以 方向相同或相反，

所以存在实数 ，使得 成立，故必要；

故答案为：C

 
【分析】 利用数量积为数，以及数量积的运算法那么，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．

10.【解析】【解答】分情况讨论，

当 时，要使 有三个不同的根，那么 ；

当 时，要使 有三个不同的根，同理可知，需要 ．

当 时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．

的取值范围是 ，

故答案为：B．

 
【分析】根据题意对m分情况讨论，结合方程的根的情况结合二次函数以及一次函数的图象，由数形结合法即可求出m的取值范围。

二、填空题

11.【解析】【解答】依题意知，函数有意义，那么需 ，解得 ，故定义域为(0,1]．

故答案为：(0,1]．

 
【分析】 结合函数定义域的求法：真数大于零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。

12.【解析】【解答】 的展开式的通项为：

，

当 ，

解得 ，

的展开式中常数项是： ，

故答案为：160。

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。

13.【解析】【解答】在 中，因为 ，

所以 ，即 ，

解得 ，

故答案为：

 
【分析】根据题意由正弦定理代入数值计算出cosA的值即可。

14.【解析】【解答】设公比为 ，那么由得 ， ， ， ，所以 ．

，

，又 ，

所以 或6时， 取得最大值为30，

所以 的最大值为 。

故答案为：15。

 
【分析】利用条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求出等比数列的通项公式，再结合指数幂的运算法那么得出， 再利用二次函数的图像求最值的方法结合复合函数的单调性，即同增异减，进而求出 的最大值。

15.【解析】【解答】三棱锥 的体积为 ，故①正确；

三棱锥 的每个面的边长分别为 ，

设 ，那么 是三边中最大边，设其对应角为

那么

所以 为锐角，故每个面为锐角三角形，②正确；

以 为原点建立空间直角坐标系如下列图：

那么

设平面 的一个法向量为

那么 取 ，那么 ，那么

设平面 的一个法向量为

那么 取 ，那么 ，那么

所以

取 ，有 ，那么 ，

所以二面角 会是直二面角，故③错；

三棱锥 中，三条侧棱分别为 与底面 的夹角分别记为

那么

所以 ，故④正确，

故答案为：①②④

 
【分析】利用条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积，因为三棱锥 的每个面的边长分别为 ，设 ，那么 是三边中最大边，设其对应角为 ， 再利用余弦定理结合余弦函数值的正负，那么 为锐角，故每个面为锐角三角形，再利用空间向量求二面角的方法，得出二面角 会是直二面角，

三棱锥 中，三条侧棱分别为 与底面 的夹角分别记为 ， 再利用正弦函数的定义，所以 ，从而选出正确结论的序号。

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕利用的值结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用代入法求出函数值。
〔2〕 因为函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 ， 从而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而求出正弦型函数的解析式。 从①②③中任选一个，补充到空格处， 选①， 因为 ， 再结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最小值； 选②，利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数的单调区间； 选③， 因为 ，所以 ，再利用正弦型函数的图像，进而求出x的取值范围。

17.【解析】【分析】〔1〕 在菱形 中， ，所以 为等边三角形，又因为为 的中点，所以利用等边三角形三线合一，所以 ， 因为 // ，所以 ， 因为 底面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，因为 是棱 上的点， 从而证出 。
〔2〕 因为底面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，进而 建立空间直角坐标系 ，设 ，那么，再利用条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用共线定理结合平面向量根本定理，进而利用向量的坐标运算求出向量 的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系结合数量积求向量夹角公式，进而结合题意知二面角 为锐二面角，从而求出二面角 的余弦值。

18.【解析】【分析】 (1)根据题意由折线图中的数据结合概率公式计算出结果即可。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(3)根据题意由条件的图表中的数据代入到平均值公式计算出结果，再由方差的公式代入数值计算出结果，再由标准值进行比较即可得出结论。

19.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质即可求出a的值，再由离心率公式以及双曲线里a、b、c的关系即可求出a、b、c的值由此即可得到椭圆的方程。
(2) 〔ⅰ〕首先根据题意设出带你P的坐标，由此即可求出直线AP以及BP的斜率，结合点斜式即可求出直线BP的方程进而得出点N的坐标，结合斜率的坐标公式即可得到直线AN的斜率，由条件即可得到直线 的斜率之积的代数式，整理计算出结果即可。

〔ⅱ〕 首先设出直线的方程再由点斜式求出直线AN的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程，求解出方程的根即可得到点Q的坐标，再由斜率的坐标公式即可求出直线BQ以及直线BM的斜率，整理即可得出斜率相等，由此即可得到 三点共线 。

20.【解析】【分析】 (1)求出切点的坐标，利用导数额几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可得到切线的方程；
(2)根据题意对函数f(x)求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及极值.
〔ⅰ〕 结合函数零点与方程之间的关系即可得出从而求出b的取值范围，由此即可得出利用零点存在性定理即可得证出结论。
〔ⅱ〕根据题意由条件是函数 的零点 即可得出， 再由单调性的定义即可得证出结论。

21.【解析】【分析】(1)根据题意结合数列的性质计算出结果即可。
(2)结合题意由的几何意义即可求出结合不等式的性质即可得出

从而得证出结论。
(3)由条件不妨将数列 重新排序得到数列， 结合题意即可得到同理即可得出由此即可计算出从而得证出结论。