2021届福建省宁德市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届福建省宁德市高三数学三模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.复平面内复数 ， 对应的点关于实轴对称，假设 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C. -25                                  D. 25
2.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
3.不等式 成立的一个充分不必要条件是〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
4.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光根本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面外表，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径 为 ，灶深 为 ，那么焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
5.根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.那么在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为〔    〕
A. 0.8                                      B. 0.625                                      C. 0.5                                      
6.如图，在直四棱柱 中， ， ， ， ，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，假设 ， ， ， 四点共面，那么以下结论错误的选项是〔    〕

A. 任意点P，都有                                   B. 任意点P，四边形 不可能为平行四边形
C. 存在点P，使得 为等腰直角三角形        D. 存在点P，使得 平面
7.?周髀算经?是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图〞(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，那么不同涂色的方法种数为〔    〕

A. 36                                         B. 48                                         C. 72                                         D. 96
8.函数 ，实数 ， 满足不等式 ，那么以下不等式成立的是〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
二、多项选择题
9.向量 ， ， 满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，那么〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
10.某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作2021年人均消费支出条形图〔单位：元〕和2021年人均消费支出饼图〔如图〕.2021年居民人均消费总支出比2021年居民人均消费总支出提高8.5%，那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. 2021年的人均衣食支出金额比2021年的人均衣食支出金额高
B. 2021年除医疗以外的人均消费支出金额等于2021年的人均消费总支出金额
C. 2021年的人均文教支出比例比2021年的人均文教支出比例有提高
D. 2021年人均各项消费支出中，“其他〞消费支出的年增长率最低
11.函数 的最小正周期为 ，那么以下结论中正确的选项是〔    〕
A. 对一切 恒成立
B. 在区间 上不单调
C. 在区间 上恰有1个零点
D. 将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得图像关于原点对称
12.正四棱锥的侧面积为 ，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 棱锥的高与底面边长的比为                          B. 侧棱与底面所成的角为
C. 棱锥的每一个侧面都是等边三角形                      D. 棱锥的内切球的外表积为
三、填空题
13.函数 ，假设 ，那么 ________.
14.能够说明“假设 ， ，那么 〞是假命题的一组整数 ， 的值依次为________.
15.动点 在圆 上，双曲线 ： 的右焦点为 ，假设 的渐近线上存在点 满足 ，那么 的离心率的取值范围是________.
16. 展开式中的所有项的系数和为64，那么实数a=________；展开式中常数项为________.
四、解答题
17.在① ，② ， ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
数列 的前 项和为 ，  ▲  ， 数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18.在 中， ， ， .
〔1〕求 的面积；
〔2〕在边 上取一点 ，使得 ，求 .
19.如图，在平面四边形 中， 且 ，分别将 ､ 沿直线 翻转为 ､ ( ， 不重合)，连结 ， ， .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ， ，点 在平面 内的正投影 为 的重心，求二面角 的余弦值.
20.某同学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒那么需当天降价处理，每盒亏损10元.假设每天该礼盒的需求量在 (单位：个)范围内等可能取值.
〔1〕求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；
〔2〕假设某日超市进货13个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润 (元)的分布列，并求出 的数学期望；
〔3〕这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.
21. 、 为椭圆 的左、右顶点，点 在 上，且直线 、 的斜率之积为 .
〔1〕求 的方程；
〔2〕直线 交 于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于 、 ，线段 的中点为 ，求证：直线 的斜率为定值.
22.函数 .
〔1〕当 时，讨论函数 的单调性：
〔2〕假设函数 恰有两个极值点 ，且 ，求 的最大值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：∵复平面内复数 ， 对应的点关于实轴对称， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D

【分析】 根据复数在复平面内的几何意义求出复数 ， 再利用复数的四那么运算求解.
2.【解析】【解答】解：因为集合 ，
集合 ，
所以 ，
那么 .
故答案为：B

【分析】化简集合M,N，再根据补集的定义求出，最后再根据交集的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵ Ü
∴不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
故答案为：D.

【分析】由   解得， 然后根据充分不必要条件的定义，即可得出答案。
4.【解析】【解答】解：由题意建立如下列图的平面直角坐标系， 与 重合：

设抛物线的方程为 ，
由题意可得 ，将A点坐标代入抛物线的方程可得： ，
解得 ，所以抛物线的方程为： ，
焦点的坐标为 ，即 ，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为 .
故答案为：B.

【分析】 建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出参数的值，进而求出所求的结果.
5.【解析】【解答】设发生中度雾霾为事件 ，刮四级以上大风为事件 ，
由题意知： ， ， ，
那么在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为 .
故答案为：A.

【分析】利用条件概率的概率公式求解即可。
6.【解析】【解答】解：对于A：由直四棱柱 ， ，
所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，A符合题意；
对于B：假设四边形 为平行四边形，那么 ，
而 与 不平行，即平面 与平面 不平行，
所以平面 平面 ，平面 平面 ，
直线 与直线 不平行，
与 矛盾，
所以四边形 不可能是平行四边形，B符合题意；
对于C：假设存在点 ，使得 为等腰直角三角形，令 ，

过点 作 ，那么 ，在线段 上取一点 使得 ，连接 ，那么四边形 为矩形，所以 ，
那么 ，
，

显然 ，
假设由 ，那么 且 四边形 为平行四边 ，
所以 ，无解，C不符合题意；
对于D：当 时， 为 时，满足 平面 ，D符合题意.
故答案为：C.

【分析】根据线线、面面的性质判断A、B是否正确；使用假设法判断C、D是否正确。
7.【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①对于区域 ，三个区域两两相邻，有 种涂色的方法，
②对于区域 ，假设 区域与 颜色相同， 区域有2种选法，
假设 区域与 颜色不同，那么 区域有1种选法， 区域也只有1种选法，
那么区域 有 种涂色的方法，
那么有 种涂色的方法，
故答案为：C.

【分析】 根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案。
8.【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴函数 关于 对称，
又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 恒成立，那么 是增函数，
∵ ，
∴ ，
∴ ，得 ，
故答案为：A.

【分析】 根据条件判断函数f (x)关于(1, 0)对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ， ，得 ， ，A不符合题意；
又 ，那么 ，那么 ，B符合题意；
，又 ，∴ ，C符合题意；
∵ ，∴ 与 不垂直，D不符合题意.
故答案为：BC．

【分析】 由求解方程组可得    ，  ，求模判断A ;由判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D.
10.【解析】【解答】∵2021年居民人均消费总支出比2021年居民人均消费总支出提高8.5%，
∴2021年居民人均消费总支出为 〔元〕，
对于A，2021年的人均衣食支出金额为 元，
∴2021年的人均衣食支出金额比2021年的人均衣食支出金额高，A符合题意；
对于B，2021年除医疗以外的人均消费支出金额为 ，
2021年的人均消费总支出金额为 元，
2021年除医疗以外的人均消费支出金额不等于2021年的人均消费总支出金额，B不符合题意；
对于C，2021年的人均文教支出比例为12.0%，
2021年的人均文教支出比例为 ，
∴2021年的人均文教支出比例比2021年的人均文教支出比例有提高，C符合题意；
对于D，2021其他支出4400元，2021年其他支出 〔元〕，
“其他〞消费支出的年增长率为 ，
衣食支出的年增长率为： ，
住支出的年增长率为： ，
文教支出的年增长率为： ，
医疗支出的年增长率为： ，
∴2021年人均各项消费支出中，“其他〞消费支出的年增长率最低，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】利用条形图和饼状图的性质直接求解，即可得出答案。
11.【解析】【解答】解：∵函数 的最小正周期为 ，∴ ， .
令 ，求得 为最大值，故有 对一切 恒成立，A符合题意；
在区间 上， ，函数 没有单调性，B符合题意；
在区间 上， ，函数 有2个零点，C不符合题意；
将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得 的图像关于不原点对称，D不符合题意，
故答案为：AB.

【分析】 由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.
12.【解析】【解答】设底面边长为 ，侧棱长为 ，那么 ，即 ，

而 ，又 ，
故 ，
设 ，那么 ，
易知函数 在 单调递增，在 单调递减，
∴当 时， 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且 ，
∴底面边长为2，侧棱长为2， ， ，
∴棱锥的高与底面边长的比为 ，A符合题意；
侧棱与底面所成的角为 ，而 ，那么 ，B不符合题意；
由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，C符合题意；
设内切球的半径为 ，由于 ， ，
∴ ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】 设底面边长为2a，侧棱长为b，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当a= 1及b = 2时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.
三、填空题
13.【解析】【解答】根据题意，函数 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解可得 ，符合题意，
故 ，
故答案为：4.

【分析】 根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得答案.
14.【解析】【解答】解：当 ， ，可得 ，
①当 ， 同号时，可得 ，
②当 ， 异号时， .
故取整数 ， 满足 即可．
故答案为: -1，1．

【分析】由题意，分别讨论当 ， 同号时，当 ， 异号时，即可求出满足条件的整数   ，   的值 。
15.【解析】【解答】解：设 ， ，满足 ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 在圆上满足 ，
所以 ，
整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，如下列图：

当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点 ，使得 ，
当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，那么：
圆心 到渐近线 的距离 ，
因为 ，即 ，
所以 ，此时 ， ，
当 时，渐近线与圆有交点，那么 ，
故答案为： .

【分析】设 ， ，代入， 得P点坐标，再代入圆的方程可得点Q'的轨迹是以(0, 2)为圆心，1为半径的圆，推出当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q,使得 ， 求出当两条渐近线与圆恰好相切时， 即可得出答案。
16.【解析】【解答】令 ，可得 展开式中的
所有项的系数和为 ，那么实数 .
展开式中常数项为 ，
故答案为：1；6.

【分析】 由题意令x = 1,可得二项式的各项系数和，求出a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项.
四、解答题
17.【解析】【分析】 选①，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，计算可得所求和；
选②，解法一、运用数列恒等式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和；解法二、由数列   是常数列，可得an ， bn, 再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；
选③，由数列的递推式和等比数列的求和公式，可得所求和.
18.【解析】【分析】(1) 由利用余弦定理可得  ，解方程可得BC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；
(2) 法一: 在△ABC中，由正弦定理得sin C的值，利用同角三角函数根本关系式可求tanC，  ，进而根据两角差的正切公式即可求解tan∠DAC的值；
法二:在△ABC中，由正弦定理可求sin∠BAC,利用同角三角函数根本关系式可求tan∠BAC,， 进而利用两角和与差的正切公式即可求解.
19.【解析】【分析】 (1)取BD中点O，连接AO, CO, EO, FO，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面EFO，可得BD⊥EO,由O为BD的中点，即可证明；
(2)建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
20.【解析】【分析】 (1)利用古典概型的概率公式求解即可;
(2)先求出随机变量ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可;
(3)设超市日进货x个水果礼盒，需求量为a盒，计算日利润Y的分布列，求出数学期望,利用二次函数的性质求解即可.
21.【解析】【分析】 (1)写出   、  坐标，再计算 ，解得   ，将   代入椭圆方程，解得   ,即可得出答案；
(2)联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得   ，  ，  分两种情况:当AM⊥y轴，直线AM, BM都不与y轴垂直，讨论直线MN的斜率.
22.【解析】【分析】 (1)对函数f (x)求导，然后分  及 讨论即可得出单调性情况；
(2)设   ,   ，    ， 那么 ， 设 ， 判断函数h (t)的单调性，结合题意即可求得 的最大值.