2021届高三下学期5月普通高中理数教育教学质量监测考试（全国1卷）试卷及答案

这是一份2021届高三下学期5月普通高中理数教育教学质量监测考试（全国1卷）试卷及答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，【选修4—4，[选修4—5等内容，欢迎下载使用。
高三下学期5月普通高中理数教育教学质量监测考试
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.设集合 ， ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.设复数z满足 为纯虚数，z在复平面内所对应的点的坐标为 ，那么〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
3.数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升，某旅游效劳平台收集并整理了2021年3月1日至7日期间某文化类景区门票日订单量〔单位：万张〕和增长速度的数据，绘制了右边的统计图.那么以下结论正确的选项是〔增长速度=〔本期数一上期数〕/上期数〕〔    〕

A. 7天的增长速度逐日增加                                     B. 7天中有3天的增长速度为正
C. 7天的增长速度的平均值为负                              D. 3月6日的订单量约为3.19〔万张〕
4.函数 的局部图象大致为〔    〕
A.                                         B. 
C.                                           D. 
5.?九章算术?是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?〞其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?〞.那么第4人所得钱数为〔    〕
A. 钱                                    B. 钱                                    C. 钱                                    D. 1钱
6. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
7.点 ， 分别为圆锥的顶点和底面圆心， 为锥底面的内接正三角形， ，那么异面直线 与 所成角的余弦值为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
8. ， 是抛物线 上的点， 是 轴上的点， 轴， 为等边三角形，那么 的横坐标为〔    〕
A.                                           B.                                           C. 3                                          D. 
9.点 ， ， 在圆 上， ， ，那么 〔    〕
A.                                            B. 1                                           C.                                            D. 2
10.10个不同的数排成4行，第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第4行4个数，设 是第 〔 ，2，3，4〕行中的最大数，那么 的概率为〔    〕
A.                                          B.                                        C.                                        D. 
11.设函数 是奇函数 的导函数， .当 时， ，那么使得 成立的x的取值范围是〔    〕
A.        B.        C.        D. 
12.正方体木块 的棱长为4， ， ， 分别是棱 ， ， 上的点， 是边长为 的等边三角形，假设将正方体木块切割成以 为底面的直三棱柱，那么三棱柱的高的最大值为〔    〕
A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 4
二、填空题：本大题共4小题，每题5分.
13.设x，y满足约束条件 那么 的最小值为________.
14.函数 ，假设对于任意的 ， ，那么 ________.
15.双曲线 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点， ，那么双曲线C的离心率的取值范围是________.
16.数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ， .假设 ，那么k的最小值为________.
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 .
〔1〕求C；
〔2〕假设 ， ，求 的面积.
18.如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，四边形 是菱形， .

〔1〕证明： ；
〔2〕求二面角 的余弦值.
19.中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2021年投入沙漠治理经费2亿元，从2021年到2021年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x〔亿元〕和沙漠治理面积y〔万亩〕的相关数据如下表所示：
年份
2021
2021
2021
2021
x
2
3
4
5
y
26
39
49
54
〔1〕通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；〔结果保存3位小数〕
〔2〕建立y关于z的回归方程；
〔3〕假设保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩.
参考数据： ， ；
参考公式：相关系数 ， ， ..
20.椭圆 的离心率为 ，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为 .
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕 ， 为椭圆 上两点， 为坐标原点，斜率为k的直线l经过点 ，假设 ， 关于l对称，且 ，求l的方程.
21.函数 .
〔1〕判断函数 的单润性，并证明 有且仅有一个零点：
〔2〕假设 ，求 的取值范围.
四、【选修4—4：坐标系与参数方程】
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 〔 为参数〕，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕假设 ， 与 ，有且只有1个公共点，求 ；
〔2〕假设 ，曲线 ， 交于 ， 两点，求 .
五、[选修4—5：不等式选讲]
23. ， 为正数，函数 的值域为 .
〔1〕假设 ，证明： ；
〔2〕假设 ，证明： .

答案解析局部
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.【解析】【解答】 ， ， ，
那么 .
故答案为：A

【分析】先求出集合B的补集，然后求交集即可。
2.【解析】【解答】由题意可知 ， ，
那么 ，
假设为纯虚数，那么 ，即 .
故答案为：C

【分析】根据纯虚数，共轭复数的概念以及复数除法的运算，即可求出结果。
3.【解析】【解答】结合统计图可知，3日，4日和7日的增长速度比前一天均下降，A选项不正确；
7天中，2日，5日，6日和7日的增长速度均为正，B选项不正确；
根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正，C选项不正确；
3月5日的订单量约为2〔万张〕，那么3月6日的订单量约为 〔万张〕，D选项正确.
故答案为：D

【分析】A选项：由图可以看到，在第三、第四日出现了明显下滑，那么增长速度不是逐日增加，错；
B选项：由图可以看出，增长速度为正的只有四天，错；
C选项：由计算，,错；
D选项：看图大概为3.19万张，正确，所以选D。
4.【解析】【解答】 ，
故 为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B选项；
当 时， ， ， ，且 ，
故 ，排除A，D选项.
故答案为：C

【分析】先判断函数为奇函数，然后研究当x>0时，f(x)>0即可得出答案。
5.【解析】【解答】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为 ，公差为 的等差数列 ，
那么有 ， ，故 ，
解得 ，那么 .
故答案为：C

【分析】显然五人分得的钱成等差数列，设首项和公差，分别表示出五个人的钱数，据题意列式，解方程逐步得出答案。
6.【解析】【解答】由 ， ，可得 ， ，
那么有 ，所以 ； ，那么 .
故答案为：C

【分析】利用对数与指数函数的相关性质比较大小，即可得出答案。
7.【解析】【解答】如下列图，连接 ， ，延长 交 于点 ，
取 中点 ，连接 ，
因为 为正三角形，且 为 的外心，
所以 为 的中点，故 ，那么 即为异面直线 与 所成的角.
设 ，那么 ， .
由题意可知 为等边三角形，那么 ，
在 中， .
故答案为：B

【分析】此题考查圆锥和三角形外接圆特征以及异面直线成角的求法，根据三角形外接圆特征，圆心在三角形垂心处，又根据正三角形的垂心与重心重合的特点即可求得OA，进一步可计算出结果。
8.【解析】【解答】设 ， ，
因为 为等边三角形，所以点 为线段 的中垂线与抛物线 的交点，
即 ，且 ，解得 ，从而 .
故答案为：B

【分析】利用三角形ABC是正三角形，可知B是线段AC的中垂线与抛物线的交点，以及B的纵坐标为A的纵坐标的一半，建立数量关系即可得出答案。
9.【解析】【解答】由 得 ，
那么有 ，即 ，
依题意得 ，
把 两边平方得 ，
即 ，所以 .
故答案为：B

【分析】此题主要考查向量的模，数量积及相关性质。将等式两边平方，即可得到模与数量积的相关等式，注意利用：.
10.【解析】【解答】最大一个数在第4行的概率为 ，
在任意排好第4行后，余下的6个数排在前3行，符合要求的排列的概率为 ，
在任意排好第3行后，余下的3个数排在前2行，符合要求的排列的概率为 ，
故 的概率为 .
故答案为：B

【分析】由题意可知，最大为n行的概率为,任意排列，第ｎ行后余下的个数排在前ｎ－１行符合Pｎ＝， 所以， 那么当ｎ＝４时，.
11.【解析】【解答】由 ，可得 ，
令 ，那么 ，故 在 上单调递增.
因为 ，
所以 ，
又因为 为奇函数，
所以 为奇函数，
所以 ，且在区间 上， 单调递增.
所以使得 ，即 成立的 的取值范围是 .
故答案为：B

【分析】先构造函数， 并证明在 上单调递增.　再证明是奇函数，然后得到不等式，进而解不等式得出结果。
12.【解析】【解答】由题意可知， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点.
如下列图，连接 ， ， ，并分别取它们的中点 ， ， ，
连接 ， ， ， ， ， ，那么 ， ， ，
且 .
因为 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， 平面 ，
故三棱柱 为直三棱柱，高 ，且此时三棱柱的高最大.

故答案为：C

【分析】由题意可以得出：P,Q,R都是所了棱的中点。再分别取， ， 中点， ， ，再证明三棱柱PQR-P1Q1R1即为所求的直三棱柱，再通过计算得出结果。
二、填空题：本大题共4小题，每题5分.
13.【解析】【解答】作出可行域如图中阴影局部所示，结合图形可知，

当直线 过点 时，z取最小值， .

【分析】先画出可行域，再由目标函数得到确定最优解的直线l0,平行移动l0进一步确定最优解，从而计算出最小值。
14.【解析】【解答】当 时， ，即 恒成立，
那么有 ；当 时， ，
即 恒成立，那么有 ，所以 .

【分析】此题考查分段函数及函数与不等式知识。分分别讨论不等式恒成立的情形。从而得出结果。
15.【解析】【解答】设双曲线C的右焦点为 ，
由双曲线的定义可知 ，故 ，
设 ，那么P点的横坐标为 ，
因为点P在双曲线上，显然有 ，即 ，
所以离心率e的取值范围是 .

【分析】由双曲线的定义知， 于是， 由点P在双曲线上，建立不等式，从而得到结果。
16.【解析】【解答】由 ，可得 ，
由 ，可得 ，故 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
由题意可知 ，那么 ，故 为递增数列.
因为 ，
所以 ，故 ，
所以k的最小值为1.

【分析】关键在于由题设以及推出，
又由，变形后得到　， 进一步通过逐项求和得出S100,再由不等式得到结果。
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】【分析】〔１〕由正弦定理将边替换成角，通过和差公式变换，得到cosC的值，进而得到角C的值；
〔２〕在ABC中利用余弦定理得出b的值，进而得到ａ的值，再由三角形面积公式，计算出面积。
18.【解析】【分析】〔１〕通过证明， 而得到
(2)建立适当空间坐标系，定义相关点坐标，利用空间向量求二面角的大小。
19.【解析】【分析】〔１〕由数据，计算出相关系数，  判断出y与x的线性相关程度相当高；
〔２〕由数据，根据公式计算出    ， 从而得到　回归方程；
〔３〕根据〔２〕求出的回归方程，即可得到结果。
20.【解析】【分析】〔１〕根据条件，及椭圆的特征性质即可求出a,b的值，从而得到椭圆的标准方程；
〔２〕设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，消元，得到x的一元二次方程，利用韦达定理得出  ，    坐标间的关系，进一步求解。
21.【解析】【分析】〔１〕求导f１(x)，并判断f１(x)在上的正负，即可得到单调递增；再由    ，    得到 函数  有唯一零点 ；
〔２〕利用导数研究相关函数的单调性，最值，从而解决问题。
四、【选修4—4：坐标系与参数方程】
22.【解析】【分析】〔１〕将参数方程化成普通方程，利用两圆相切，列式求出a的值；
〔2〕 当 时，就能确定    的普通方程为  ，再将其化为极坐标方程  ，再与 的极坐标方程联立，利用只有一个交点这一条件就可以得到　结果。
五、[选修4—5：不等式选讲]
23.【解析】【分析】〔１〕根据不绝对值不等式的性质，得到： ，再据题意就能得到 ，再由根本不等式证明结论正确；
〔２〕 由题意可知   ， 即 ，再将变形为 ，然后由根本不等式得证。