2021届湖北省武汉市高三下学期数学5月质量检测试卷及答案

这是一份2021届湖北省武汉市高三下学期数学5月质量检测试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学5月质量检测试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
2.向量 ，那么以下向量中与 垂直的是〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
3.复数 的虚部为〔   〕
A. 1                                          B. －1                                          C. －i                                          D. i
4.双曲线 ： ，那么 的离心率的取值范围为〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
5.2021年我国832个贫困县全部“摘帽〞，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡〞，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果〞.某品种脐橙失去的新鲜度 与其采摘后的时间 (天)满足关系式： .假设采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度〔    〕( ，结果四舍五入取整数)
A. 23天                                    B. 33天                                    C. 43天                                    D. 50天
6.某班有60名学生，一次考试后数学成绩 ，假设 ，那么估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为〔    〕
A. 10                                           B. 9                                           C. 8                                           D. 7
7.展开式中常数项为〔    〕.
A. 11                                         B. -11                                         C. 8                                         D. -7
8.桌面上有三个半径为2021的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，那么该球的半径是〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 2021
二、多项选择题
9.某学校为了促进学生德､智､体､美､劳全面开展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲､乙两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分(得分越高，说明该项教育越好).以下说法正确的选项是〔    〕

德
智
体
美
劳
甲班


9

8
乙班

9

9


B. 甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C. 甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数
D. 甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
10.函数 在 上的值域为 ，那么实数 的值可能取〔    〕
A. 1                                           B.                                            C.                                            D. 2
11. 为抛物线 ： 的焦点.设 是准线上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，线段 的中点为 ，那么〔    〕
A. 的最小值为4          B. 直线 过点           C. 轴          D. 线段 的中垂线过定点
12.实数 ， ， 满足 ，且 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 的最小值为       B. 的最大值为       C. 的最小值为       D. 取最小值时
三、填空题
13.数列 的前 项和为 ，且满足 ，那么 ________.
14.抛掷3个骰子，事件 为“三个骰子向上的点数互不相同〞，事件 为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2〞，那么 ________.
15.函数 在 上有两个极值点，那么实数 的取值范围是________.
16.如图，在边长为2的正方形 中， 、 分别是 、 的中点.假设沿 、 及 把这个正方形折成一个四面体，使 、 、 三点重合，重合后的点记为 ，那么：

〔1〕三棱锥 外接球的外表积为________；
〔2〕点 到平面 的距离为________.
四、解答题
17.各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ， .
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕设 ，求数列 的前 项和 .
18.在① ；② ；③ ，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出 的面积.
问题：在 中， ， ， 是角 ， ， 所对的边， ，补充的条件是  ▲  和  ▲  .
19.如图，在正方体 中，点 在线段 上， ，点 为线段 上的动点， ，且 平面 .

〔1〕求 的值；
〔2〕求二面角 的余弦值.
20.某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖，假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．
〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；
〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
21.椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为2.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设 ， 为椭圆 上两点， 为坐标原点， ，点 在线段 上，且 ，连接 并延长交椭圆 于E ， 试问 是否为定值？假设是定值，求出定值；假设不是定值，请说明理由.
22.函数 .
〔1〕求 在 处的切线方程；
〔2〕关于 的方程 有两个实根 ， ，当 时，求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用并集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的并集。
2.【解析】【解答】对于A选项，零向量与任何非零向量平行， A选项不满足条件；
对于B选项， ，B选项不满足条件；
对于C选项， ，C选项不满足条件；
对于D选项， ，D选项满足条件.
故答案为：D.

【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而找出与 垂直的向量。
3.【解析】【解答】 ，所以虚部为1。
故答案为：A.
【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么，从而求出复数 的代数表达式，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部。
4.【解析】【解答】双曲线 的离心率为 ，
因为 ，所以 ，
即双曲线 的离心率的取值范围为 。
故答案为：C.

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再利用双曲线的离心率公式结合m的取值范围，从而求出双曲线的离心率的取值范围。
5.【解析】【解答】因为采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，
所以 ，那么 ，
设采摘下来的这种脐橙在 天后失去50%的新鲜度，
那么 ，即 ，所以 ，那么 ，因此 。
故答案为：B.

【分析】利用实际问题的条件结合指数与对数的互化公式，从而结合对数换底公式，从而求出采摘下来的这种脐橙在大约33天后失去50%的新鲜度。
6.【解析】【解答】因为数学成绩 ，
所以由 可得： ，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为： ，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为： 〔人〕。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合随机变量服从正态分布，从而利用正态分布对应的函数的对称性，进而求出该班学生数学成绩在120分以上的概率，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而估计该班学生数学成绩在120分以上的人数。
7.【解析】【解答】将 看成一个整体，展开得到：
  ，
的展开式为：
，
取 ，
当 时， 系数为： ，
当 时， 系数为： ，
常数项为 。
故答案为：B

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 展开式中常数项 。
8.【解析】【解答】设三个半径为 的球的球心分别为 、 、 ，与桌面的三个切点分别为 、 、 ，
如下列图，那么三棱柱 是一个底面边长为 、高为 的正三棱柱，

那么小球球心 在底面 上的投影为三角形 的中心 ，
连接 、 、 ，作 ，易知四边形 是矩形， ，
设小球半径为 ，那么 ， ，
因为 是三角形 的中心，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 。
故答案为：B.

【分析】设三个半径为 的球的球心分别为 、 、 ，与桌面的三个切点分别为 、 、 ，那么三棱柱 是一个底面边长为 、高为 的正三棱柱，那么小球球心 在底面 上的投影为三角形 的中心 ，连接 、 、 ，作 ，易知四边形 是矩形， ，设小球半径为 ，那么 ， 进而求出，因为 是三角形 的中心，进而求出AE的长，因为 ，再结合勾股定理求出该球的半径。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】甲班的极差为 ,A符合题意；
甲班的平均数 ,
乙班的平均数 ,B不符合题意；
甲班的成绩从低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为9.5,
乙班的成绩从低到高排列：8.5，9，9，9.5，9.5，中位数9，C符合题意；
甲班的成绩的方差为 ,
乙班的成绩的方差为 ,
,
D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】利用条件结合中位数、极差的定义，平均数和方差公式，从而选出说法正确的选项。
10.【解析】【解答】，
因为 ，所以 ，
又函数 在 上的值域为 ， ，
所以由正弦函数的对称性，只需 ，那么 ，
因此ABC都可能取得，D不可能取得。
故答案为：ABC.

【分析】利用两角和的正弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，再结合条件函数 在 上的值域为 ， 从而求出实数 的可能值。
11.【解析】【解答】由题意可得 ，准线 ，设 ， ，
，所以 ，
不妨设 在 轴上方，那么 ， ，
直线 ： ，
直线 ： ，
将两直线联立可得 ， ，
那么 ， ，

又 ，
所以 的最小值为4，A符合题意；
，
，
所以 共线，所以直线 过点 ，B符合题意；
因为 中点的纵坐标为 ，故 轴，C符合题意；
由点差法可得 ，
，
又 ，
的垂直平分线方程为 ，
故线段 的中垂线不过定点，D不符合题意.
故答案为：ABC

【分析】由抛物线的标准方程可得焦点 ，准线 ，设 ， ，利用导数的运算法那么求出导函数，不妨设 在 轴上方，那么 ， ，再设直线 的点斜式方程为： ，直线 的点斜式方程为 ： ，将两直线联立结合韦达定理可得A,B两点的距离为， 又因为 ，再利用均值不等式不等式求最值的方法，从而求出 的最小值，再利用条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，即，再利用向量共线的坐标表示，从而推出两向量 共线，所以直线 过点 ，利用中点坐标公式得出
 中点的纵坐标为 ，故 轴，由点差法可得 ，再利用两点求斜率公式，得出，又因为 ，所以结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而推出直线的垂直平分线方程为 ，故线段 的中垂线不过定点，从而选出正确选项。
12.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ；
由柯西不等式可得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以 ，因此 ，整理得 ，解得 ，即A符合题意；
由 可得 ，
而 ，当且仅当 时，等号成立；
所以 ，整理得 ，解得 ，
B不符合题意，C符合题意；
由 可得 ，那么 ，
所以 ，因此 ，
所以 ，
令 ， ，
那么 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 在 为增函数，在 为减函数， 为增函数，
所以 的极小值为 ，
又 ，
而 ，所以 ，
即 取最小值时 ，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】利用条件结合柯西不等式求最值的方法、均值不等式求最值的方法、求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，从而找出结论正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】当 时，那么有 ，可得 ；
当 时，由 可得 ，
上述两式作差得 ，所以， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
因此， 。
故答案为： 。

【分析】利用条件 结合 的关系式，再利用分类讨论的方法结合等比数列的定义，从而推出数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，从而求出等比数列前4项的和。
14.【解析】【解答】由题意，事件 发生的概率为 ，
事件 发生的概率为 ，
因此 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合条件概型求概率公式，从而求出的值。
15.【解析】【解答】 ， ，
令 ，那么 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减.
因为函数 在 上有两个极值点，
那么 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是〔-π，0〕。
故答案为：〔-π，0〕。

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数 在 上有两个极值点， 从而求出实数a的取值范围。
16.【解析】【解答】〔1〕在正方形 中， ， ， ，
 
在三棱锥 中，那么 ， ，
， 平面 ，且 ，
将三棱锥 补成长方体 ，
所以，三棱锥 外接球的直径为 ，
因此，三棱锥 外接球的外表积为 ；
〔2〕 ， ，
，取 的中点 ，连接 ，那么 ，

，那么 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，可得 ，解得 。
故答案为：6π； 。
【分析】〔1〕在正方形 中， ， ， ，在三棱锥 中，那么 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以
 平面 ，且 ，将三棱锥 补成长方体 ，再利用长方体的体对角线与外接球的直径相等，再结合勾股定理求出三棱锥 外接球的直径，进而求出外接球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出三棱锥 外接球的外表积。
〔2〕利用条件求出三角形的面积，所以 ，再利用三棱锥的体积公式求出 ，再利用勾股定理求出的长 ，取 的中点 ，连接 ，那么 ，再利用勾股定理求出SM的长，再结合三角形面积公式求出那么 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离。
 
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ， ，再结合的关系式，再结合分类讨论的方法，从而利用等差数列的定义，结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式结合 ， 从而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和。
 
18.【解析】【分析】 在① ；② ；③ ，这三个条件中选择两个，补充问题中，使问题中的三角形存在，并求出 的面积。 因为 ，利用正弦定理，所以 .又因为 ，所以 ，再利用同角三角函数根本关系式，即 ，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
假设选①， ，所以 ，那么 ，再利用三角形内角和为180度的性质，所以三角形不存在，因此，只能选择②和③，再利用余弦定理结合条件从而求出bc的值， 由 ， 从而解方程组求出b,c的值， 所以，符合条件的三角形 存在， 再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积。
19.【解析】【分析】〔1〕过 作 于 ，连结 ，那么 ，而 ，再利用平行的传递性，所以 ，因为 平面 ，再利用线面面平行的性质定理推出线线平行，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，因为 ，再利用两直线平行对应边成比例，所以 ，即 ，从而求出的值。
(2)过 作 于 ，过 作 于 ，连结 ，因为 平面 ， ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，又因为 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，所以 是二面角 的平面角，设正方体的棱长为 ，那么 ，在 中， ， ，再结合勾股定理求出 ，再利用直角三角形面积相等，得出 ，在 中，结合勾股定理求出EM的长，再利用余弦函数的定义，从而求出二面角 的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1 ， A2相互独立， ， 互斥，B1 ， B2互斥，然后求出所求概率即可．〔2〕顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B ．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合椭圆的离心率公式，从而结合焦距的定义，进而解方程组求出a,c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 设点 ， ， ，由 ，再结合共线向量的坐标表示，得出 ， 设 ，那么结合题意可知 ， 再结合共线向量的坐标表示，得出点E的坐标，再利用点E在椭圆上结合代入法，得出 (*) ， 又因为 ， 均在椭圆上，且 ， 再利用代入法结合两点求斜率公式，从而代入(*)式解得的值，从而得出当 时， 是定值。
22.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
〔2〕 利用求导的方法判断函数的单调性，因为 ， ，当 时，方程 有两个实根 ， ，那么 ，令 ，再结合导数的运算法那么求出导函数，那么 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，当 时， ，所以 ，从而证出 成立。