2021届河北省石家庄市高三下学期数学质检试卷一及答案

这是一份2021届河北省石家庄市高三下学期数学质检试卷一及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学质检试卷一
一、单项选择题
1.假设集合 ， ， 满足： ，那么 〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 



2.设向量 ， ，且 ，那么实数 〔    〕
A. -3                                        B.                                         C. -2                                        D. 



3.甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，那么甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为〔    〕
A. 红、黄、蓝                       B. 黄、红、蓝                       C. 蓝、红、黄                       D. 蓝、黄、红



4.是 的〔    〕
A. 充要条件             B. 必要不充分条件

             C. 充分不必要条件             D. 既不充分也不必要条件



5.2021年是稳固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到 、 、 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有〔    〕
A. 630种                                 B. 600种                                 C. 540种                                 D. 480种



6.菱形 边长为2， ，沿对角线 折叠成三棱锥 ，使得二面角 为60°，设 为 的中点， 为三棱锥 外表上动点，且总满足 ，那么点 轨迹的长度为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 



7.数列 的通项公式为 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 



8.假设 图象上存在两点 ， 关于原点对称，那么点对 称为函数 的“友情点对〞〔点对 与 视为同一个“友情点对〞〕假设 恰有两个“友情点对〞，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 



二、多项选择题
9.关于 ，那么〔    〕
A. 
B. 


C. 
D. 



10.设 为复数，那么以下命题中正确的选项是〔    〕
A.         B. 

        C. 假设 ，那么 的最大值为2        D. 假设 ，那么



11.函数 的图象如图，把函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象，以下结论正确的选项是〔    〕

A. 


B. 函数 的最小正周期为


C. 函数 在区间 上单调递增


D. 函数 关于点 中心对称



12.椭圆 的左右焦点分别为 、 ，长轴长为4，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 离心率的取值范围为


B. 当离心率为 时， 的最大值为


C. 存在点 使得


D. 的最小值为1



三、填空题
13.随机变量 服从正态分布 ，假设 ，那么 ________.
14.如下列图，一个圆锥的侧面展开图为以 为圆心，半径长为2的半圆，点 、 在 上，且 的长度为 ， 的长度为 ，那么在该圆锥中，点 到平面 的距离为________.

15.定义在 上的函数 ，其导函数为 ，满足 ， ，那么不等式 的解集为________.
16.抛物线 的焦点为 ，过 且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到 轴的距离为________.
四、解答题
17.公差不为0的等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列.
〔Ⅰ〕求数列 的通项公式；
〔Ⅱ〕假设 ，求数列 的前 项和 .
18.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 .
〔Ⅰ〕求角 的大小；
〔Ⅱ〕假设 ，求 的取值范围.
19.2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带〞，就像速度滑冰运发动高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带〞又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带〞呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，表达了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如?九章算术?中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在?缀术?提出祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体假设在所有等高处的水平截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等.

〔Ⅰ〕利用祖暅原理推导半径为 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体 ，几何体 的底面半径和高都为 ，其底面和半球体的底面同在平面 内.设与平面 平行且距离为 的平面 截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；

〔Ⅱ〕现将椭圆 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 ， 〔如图〕，类比〔Ⅰ〕中的方法，探究椭球 的体积公式，并写出椭球 ， 的体积之比.

20.“T2钻石联赛〞是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式〞和“FAST5模式〞.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满1分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5〞模式，“FAST5〞模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5〞模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ；在“FAST5〞模式，每局比赛双方获胜的概率都为 ，每局比赛结果相互独立.
〔Ⅰ〕求4局比赛决出胜负的概率；
〔Ⅱ〕设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为 ，求 的分布列及数学期望.
21.坐标原点为 ，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，离心率为 .
〔Ⅰ〕求双曲线的方程；
〔Ⅱ〕设过双曲线上动点 的直线 分别交双曲线的两条渐近线于 ， 两点，求 的外心 的轨迹方程.
22.函数 ，且方程 在 上有解.
〔Ⅰ〕求实数 的取值范围；
〔Ⅱ〕设函数 的最大值为 ，求函数 的最小值；

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由集合 ， ， 满足： ， ，如下列图：

， ，
故答案为：B

【分析】根据题意由集合的韦恩图示法对选项逐一判断即可得出答案。
2.【解析】【解答】由题意，向量 ， ，可得 ，
因为 ，可得 ，
解得： .
故答案为：A.

【分析】首先由向量的坐标公式求出向量的坐标，再由向量垂直的坐标公式代入数值计算出m的值即可。
3.【解析】【解答】丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；
乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的个头高或乙比丙的个头大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的个头大，即戴蓝帽的是丙；
综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝
故答案为：B

【分析】根据题意由逻辑推理的定义对选项逐一判断即可得出答案。
4.【解析】【解答】由不等式 ，即 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 或 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故答案为：C.

【分析】首先求解出不等式的解集，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
5.【解析】【解答】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有： 种；
把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有： 种；
把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有： 种；
所以共有90+90+360=540种.
故答案为：C.

【分析】由排列组合以及分步计数原理解条件计算出答案即可。
6.【解析】【解答】连接 ，交于点 ，连接 ， 为菱形，

，所以 ，
， ， ， 均为正三角形，
所以 为二面角 的平面角，于是 ，
又因为 ，所以 为正三角形，
所以 ,
取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 平面 ,
所以在三棱锥 外表上，满足 的点 轨迹为 ，
因为 ， ， ，
所以 的周长为 ，
所以点 轨迹的长度为 .
故答案为：D

【分析】 结合条件在侧面B′AC上，F点的轨迹是EP，在侧面B′CD上，F点的轨迹是EQ，在底面ACD上，F点的轨迹是PQ，求的△EPQ周长即可．
7.【解析】【解答】由题意，数列 的通项公式为 ，且函数 的周期为 ，
所以

，
又因为 ，
所以 .
故答案为：D.

【分析】首先由条件结合数列的通项公式即可得出数列的周期，由此结合诱导公式以及两角和的正弦公式整理即可求出的值。
8.【解析】【解答】根据题意，假设要求“友情点对〞，可把 时的函数图像关于原点对称，
研究对称过去的图像和 时的图像有两交点即可，
关于原点对称的解析式为 ，
考查 的图像和 的交点，
可得 ， ，令
，
所以 ， ， 为减函数，
， ， 为增函数， ，
其图象为
，
故假设要 有两解，只要 即可，
故答案为：A

【分析】由条件即可得出假设要求“友情点对〞，可把 时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和 时的图像有两交点即可，从而观察 的图像和 的交点，再结合函数的单调性即可求出a的职权范围。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】令 ，那么 ，即 ，A符合题意；
令 ，那么 ，
即 ，
所以 ，B不符合题意；
根据二项式展开式的通项公式： ，C不符合题意；
令 ，那么 ，
令 ，那么 ，
两式相加可得 ，①
两式相减可得 ，②
② ①可得 ，
所以 ，D符合题意.
故答案为：AD

【分析】根据题意对于选项A，B，D，分别令x=0，x=-1，x=1代入关系式求解即可，选项C，求出展开式中含x3项的系数即可判断．
10.【解析】【解答】对于A： ，那么 ，∴ ，而 ，所以 成立；
对于B： ，当ab均不为0时， ，而 ，所以 不成立；
对于C： 可以看出以 为圆心，1为半径的圆上的点P ， 可以看成点P到Q(0,-1)的距离，所以当P(0,1)时，可取 的最大值为2；
对于D： 可以看出以 为圆心，1为半径的圆上的点N ， 那么 表示点N到原点距离，故O、N重合时， =0最小，当O、M、N三点共线时， =2最大，故 .
故答案为：ACD

【分析】 利用复数模的计算方法以及复数模的几何意义对四个选项进行逐一的判断即可．
11.【解析】【解答】由图可知： ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 或 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，这与 矛盾，不符合；
当 时， ，解得 ，满足条件，
所以 ，所以 ，
A．由上可知A不符合题意；
B．因为 ，所以 的最小正周期为 ，B符合题意；
C．令 ，所以 ，
令 ，此时单调递增区间为 ，且 ，C符合题意；
D．因为 ，所以 不是对称中心，D不符合题意；
故答案为：BC.

【分析】 由周期求出ω的范围，根据最高点求得φ的值，可得f〔x〕的解析式，结合函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得g〔x〕的解析式，再利用正弦函数的性质，可得结论．
12.【解析】【解答】由题意可得 ，所以 ，
由点 在椭圆内部可得： ，
可得 ，即 ，所以 ，
对A， ，所以 ，A不符合题意；
对B，当 时， ， ,
，B符合题意；
对C，由A知 ，当 时，当 在短轴端点时，
最大，此时 ，此时 ，
由 ，故可得 在椭圆在最扁时的最大值都小于 ，
所以不存在点 使得 ，即C不符合题意；
对D， ，D符合题意；
故答案为：BD.

【分析】根据题意即可求粗a的值，再由点P在椭圆的内部带入计算出b的取值范围，由离心率的取值范围即可判断出选项A错误，由当三点共线时且Q点在x轴的下放时，结合根本不等式即可得出最值由此判断出选项B正确，由数量积的运算公式即可得出即， 从而得到不存在点Q满足题意由此判断出选项C错误，结合根本不等式即可求出最值由此判断出选项D正确，从而得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意，随机变量 服从正态分布 ，可得对称轴 ，那么 ，
因为 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 .
故答案为：0.77.

【分析】首先由正态分布的公式代入数值计算出结果，再由正太分布的对称性代入数值计算出结果即可。
14.【解析】【解答】由侧面转开图可得到圆锥，如下列图，

由题可知， ， ，
那么 ， ， ，
设点 到平面 的距离为h ，
由 ，得 ，解得：
故答案为：

【分析】 由题意作出图形，求出圆锥的高，再由等体积法求点M到平面ABD的距离．
15.【解析】【解答】构造函数 ，那么 ，即函数 在 上为增函数，
且 .
①当 时，由 可得 ，即 ，
即 ，可得 ，解得 ，此时 ；
②当 时，由 可得 ，即 .
即 ，可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故答案为： .

【分析】根据题意即可得到 x＞0时，f〔x-1〕＞2〔x-1〕，x＜0时，f〔x-1〕＜2〔x-1〕，令t=x-1，令g〔t〕=f〔t〕-2t，根据函数的单调性求出不等式的解集即可，
16.【解析】【解答】设直线为 ，设直线与抛物线交于 ，
联立 ，所以 ，所以 ，
所以 ，取等号时 ，
所以抛物线 的过焦点的弦最短长为 ，
又因为被抛物线截得的弦长为 的直线有且仅有两条，所以 ，所以 ，
取 ，此时抛物线方程为 ；
设 的中点为 ，又因为抛物线被直线所截得的弦长为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以弦中点到 轴的距离为 ，
故答案为： ； .〔答案不唯一〕

【分析】 由题意可设直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合弦长公式即可求得满足条件的一个抛物线方程，并求出弦中点到y轴的距离．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕由题设求得数列{an}的公差d，即可求得其通项公式；
〔Ⅱ〕先由〔Ⅰ〕求得anbn ， 再利用错位相减法求得其前n项和即可．
18.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得,结合同角三角函数的根本关系式即可求出从而得到角B的大小。
〔Ⅱ〕由 〔Ⅰ〕 的条件结合余弦定理以及根本不等式即可得出结合由此得到答案。
19.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕由题意直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；
〔Ⅱ〕类比〔Ⅰ〕可知，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，构造一个底面半径为b，高为a的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，以圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥的底面半径为b，高为a，证明截面面积相等，由祖暅原理求出椭球A的体积，同理求出椭球B的体积，作比得答案．
20.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕分两种情况：假设24分钟内打满2局，最后可能甲/乙获胜；假设24分钟内打满3局，最后可能甲/乙获胜，分别求解即可；
〔Ⅱ〕确定X的可能取值，列出分布列，由数学期望的求解公式计算即可．
21.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 由条件结合双曲线的简单性质以及双曲线的 a、b 、c 三者的关系即可求出a与b的值，从而得到椭圆的方程。
〔Ⅱ〕 根据题意设出点的坐标再把点的坐标代入到椭圆的方程求出点的坐标；发一；结合外心的性质带入点的坐标整理即可得到轨迹方程；法二;求出两条中垂线的方程联立得到交点的坐标，由此整理结合点差法整理即可得出轨迹方程。
22.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕求出函数的导数，根据函数的单调性求出f〔x〕的取值范围，从而求出a的取值范围即可；
〔Ⅱ〕求出函数的导数，根据函数的单调性求出f〔x〕的最大值G〔a〕，结合函数的单调性求出G〔a〕的最小值即可．