2021届江西省南昌市高三理数三模试卷及答案

这是一份2021届江西省南昌市高三理数三模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数三模试卷
一、单项选择题
R ， 集合 ，那么 〔    〕
A. R                                B.                                 C.                                 D. 
z满足 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.己知自由落体运动的速度 ，那么自由落体运动从 到 所走过的路程为〔    〕
A. g                                         B.                                          C.                                          D. 
4.假设函数 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 
5.公差不为0的等差数列 满足 ，那么〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
x ， y满足 ，那么目标函数 的最小值为〔    〕
A. -8                                         B. -6                                         C. -10                                         D. -4
X服从正态分布，有以下四个命题：
① ；② ；③ ；④ ．假设只有一个假命题，那么该假命题是〔    〕
A. ①                                         B. ②                                         C. ③                                         D. ④
8.将方程 的实数根称为函数 的“新驻点〞．记函数 ， 的“新驻点〞分别为a ， b ， c ， 那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
9.平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形 的边长为2，上底面 与下底面 之间的距离为 ，那么该几何体的侧面积为〔    〕

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
10.如下列图，“嫦娥五号〞月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ， 圆形轨道Ⅲ的半径为r ， 那么以下结论中正确的序号为〔    〕

①轨道Ⅱ的焦距为 ；②假设R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为 ；④假设r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A. ①②③                                B. ①②④                                C. ①③④                                D. ②③④
11.函数 与直线 在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为 ，那么 〔    〕
A. -1                                          B. 0                                          C. 1                                          D. 
12.直线 与x轴相交于点A ， 过直线l上的动点P作圆 的两条切线，切点分别为C ， D两点，记M是 的中点，那么 的最小值为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 3
二、填空题
13.单位向量 ，假设 ，那么 ________．
14.等比数列 的前n项和为 ，假设 ， ，那么 ________．
15.设双曲线 的左、右焦点分别为 ，圆 与双曲线C在第一象限的交点为A ， 假设 与双曲线C的一条渐近线l垂直，那么l的方程为________．
16.球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ， B ， C是球面上不同的大圆〔大圆是过球心的平面与球面的交线〕上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ．地球半径为R ， 北极为点N ， P ， Q是地球外表上的两点假设P ， Q在赤道上，且 ，那么球面 的面积为________；假设 ，那么球面 的面积为________．

三、解答题
17.如图，在梯形 中， ．

〔1〕求 的值；
〔2〕假设 的面积为4，求 的长．
18.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，假设 ， ， ， ．

〔1〕求证： ；
〔2〕求直线 与平面 所成的角的正弦值．
19.抛物线 ，过点 作斜率为 的直线l与抛物线C相交于A ， B两点．
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕记P点关于x轴的对称点为Q点，假设 的面积为16，求直线l的方程．
20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着假设干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，那么在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

〔1〕如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
〔2〕小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖〞活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
R上的偶函数 的最小值为3，且当 时， ，其中e是自然对数的底数．
〔1〕求函数 的解析式；
〔2〕求最大的整数 ，使得存在 ，只要 ，就有 ．
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： 〔 为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ．
〔1〕求曲线 的极坐标方程；
〔2〕设A ， B是曲线 、 的公共点，假设 ，求曲线 的直角坐标方程．
23.函数 ．
〔1〕求 的最小值m；
〔2〕己知 ，假设 时，正常数t使得 的最大值为2，求t的值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由lnx<0得0 故答案为：D
【分析】根据对数不等式与指数不等式，结合集合的运算求解即可.
2.【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】利用复数的运算直接求解即可.
3.【解析】【解答】解：根据定积分的物理意义得，
故答案为：B
【分析】利用定积分的物理意义直接求解即可.
4.【解析】【解答】函数 ,
那么
所以
故答案为：D

【分析】根据题意选择适宜的函数解析式，结合诱导公式以及对数的运算性质代入数值计算出结果即可。
5.【解析】【解答】解：  是 公差不为0的等差数列 ，且   ，
所以， 即(a6+a8)(a6-a8)=(a7+a5)(a7-a5)
所以2a7×(-2d)=2a6×(2d)，
∵d≠0
∴-a7=a6，即a6+a7=0，
所以， 故C正确；
又∵d≠0
∴a6≠0，a7≠0，故AB错误；
∴s13=13，a7≠0，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式求解即可
6.【解析】【解答】解： 由题可得，约束条件表示的平面区域如下列图，


是一个以A(-2,4),B(0,2),C(2,4)为顶点的直角三角形ABC及其内部区域，
目标函数z=|x|-2y可得，
所以要求目标函数的最小值，即要求在y轴上截距的最大值，
由线性规划的特点可知，在点A(-2,4)或点C(2,4)处在y轴上截距取得最大值，此时目标函数取得最小值，即为
|±2|-2×4=-6.
故答案为：B
【分析】根据线性规划的性质与结论，直接求解即可.
7.【解析】【解答】解：由① ；② ；由正态分布的性质和题意可知, ①②均为真命题,所以
所以 ,所以③错误,
因为 ,所以④正确,
故答案为：C

【分析】 根据题意由于4个命题中只有一个假命题，再由正态分布的对称性可判断出①②均为真命题再由正态分布的对称性判断即可得出答案。
8.【解析】【解答】解：由f(x)=ex-x得f'(x)=ex-1，那么由“新驻点〞的定义得f(a)=f'(a)，即ea-a=ea-1，解得a=1；
由g(x)=lnx得， 同理可得g(x)=g'(x)，即，
构造函数， 那么，
当x∈(0,+∞)时，r'(x)>0，r(x)单调递增，
∵r(1)=ln1-1=-1<0，， r(b)=0，
∴1 由h(x)=sinx，   得h'(x)=cosx，那么sinc=cosc，所以tanc=1，∴
所以c 故答案为：A
【分析】根据新定义，利用指数式求得a；利用对数式，结合利用导数研究函数的单调性求得b；根据三角函数的性质求得c，从而求解
9.【解析】【解答】解：该几何体的俯视图如下列图，设O是俯视图的中心，

那么,ON=1
所以
设等腰三角形的高为h，那么
那么每个等腰三角形的面积为
那么该几何体的侧面积为
故答案为：B
【分析】根据俯视图的特征，求得每个等腰三角形的面积，从而可求得该几何体的侧面积.
10.【解析】【解答】①由椭圆的性质知， ，解得 ，故正确；
②由①知 ，所以 ，
假设R不变，r越大， 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误；
③由①知 ，故轨道Ⅱ的长轴长为 ，故正确；
④因为 ，假设r不变，R越大，那么 越小，
所以 越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.
故答案为：C

【分析】 根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为， 分别结合圆的半径R和r的关系，对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】解：由题意得， 那么函数f(x)的周期T=π，令f(x)=a，那么或，
其中，
那么
所以
那么  
故答案为：D
【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解即可.
12.【解析】【解答】设点 ， ，因为PD ， PC是圆的切线，所以 ，

所以C ， D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为 ，
又C ， D在圆 上，那么将两个圆的方程作差得直线CD的方程： ，即 ，所以直线CD恒过定点 ，
又因为 ，M，Q，C，D四点共线，所以 ，即M在以OQ为直径的圆 上，其圆心为 ，半径为 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故答案为：A．

【分析】 根据题意设出点， ， 根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点Q(-1，1)，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值即可.
二、填空题
13.【解析】【解答】解：由得， 解得
那么
故答案为：
【分析】根据向量的运算，结合向量的求模公式直接求解即可.
14.【解析】【解答】解：由S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3+a1q3+a2q3+a3q3=S3+q3S3=(1+q3)S3=9S3得1+q3=9，解得q=2，
又S3=a3q-2+a3q-1+a3​​​​​​​=， 所以
故答案为：​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
【分析】根据等比数列的前n项和公式，结合等比数列的性质求解即可.
15.【解析】【解答】设 的倾斜角为 ，
   
因为 与双曲线C的一条渐近线l垂直，且
所以 ，
在 中， ， ，
由余弦定理可得
，
化简得 ，即
又 ，
，
即 ，
所以 ，
直线l的方程为 ，
故答案为：4x+3y=0

【分析】 根据题意设A的倾斜角为， 由双曲线的定义及渐近线的斜率可求出， 在焦点三角形中根据余弦定理得出， 再由勾股定理整理得出， 即可求出直线的斜率由此得出直线的方程。
 
16.【解析】【解答】现证明一个结论：如果确定球面三角形的三个大圆所成的二面角分别为 ，那么球面三角形的面积为 ，其中 为球的半径.
证明：如图，设 为 关于球心的对称点，那么 均为球面上的点，
且 均为直径，我们用 表示球面三角形的面积.

设 ， ， ，
那么 ，
同理 ， .
所以 ，
而 ，
故 ，
又 ，
故 .
假设P ， Q在赤道上，因为 为极点且 ，故 ，
故确定球面三角形的三个大圆所成的二面角均为 ，故球面面积为 .

假设 ，那么 ，
同理 .
过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，那么 ，

因为 ，故 ，
故 ，而 ，故 ，
故 且
故 ，而 为三角形内角，
故 ，故 的大小为 ，
故根据对称性可知确定球面三角形的三个大圆所成的二面角均为 ，
故球面三角形的面积为 .
故答案为： ， .

【分析】 利用PQ所在的经度，求出球面三角形PNQ面积，再利用可得三角形PNQ为等边三角形，进而可以求解.
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理直接求解即可；
〔2〕根据同角三角函数的关系及两角差的正弦公式，结合三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
18.【解析】【分析】〔1〕根据线面垂直的性质定理，结合勾股定理，利用线面垂直的判定定理求证即可；
〔2〕建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解线面角即可.
19.【解析】【分析】〔1〕根据直线与抛物线的位置关系，利用∆>0直接求解即可；
〔2〕由〔1〕利用根与系数的关系，结合三角形的面积关系直接求解即可.
20.【解析】【分析】〔1〕根据n次独立重复试验中，事件发生的概率求法直接求解即可；
〔2〕根据互斥事件与二项分布的概率求法分别求得概率，再列出分布列，求出期望比较即可判断.
21.【解析】【分析】〔1〕根据函数的最值以及奇偶性直接求解即可；
〔2〕根据化归转化思想，将题中的恒成立等价转化为利用导数求函数的最值问题即可.
22.【解析】【分析】〔1〕根据直角坐标与极坐标的互化公式直接求解即可；
〔2〕利用极坐标的意义，由求解即可.
 
23.【解析】【分析】〔1〕根据绝对值的几何意义，易得函数f(x)是分段函数，直接求解即可；
〔2〕根据根本不等式直接求解即可.