2021届江西省八所重点中学高三理数4月联考试卷及答案

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这是一份2021届江西省八所重点中学高三理数4月联考试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数4月联考试卷
一、单项选择题
1.复数，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 复数的实部为                                              B. 复数的虚部为

C. 复数的共轭复数为                             D. 复数的模为

2.设集合，，那么集合中元素的个数为〔    〕
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3

3.假设，，，那么〔    〕
A.                            B.

                           C.                            D.

4.在区间上随机取两个数､，那么事件“ 〞发生的概率为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D.

5.正项数列满足，是的前项和，且，那么〔    〕
A.                            B.

                           C.                            D.

6.定义在上的函数满足，，假设，那么函数在区间内〔    〕
A. 没有零点                B. 有且仅有1个零点

                C. 至少有2个零点                D. 可能有无数个零点

7.在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，那么含的项系数为〔    〕
A. 45                                      B. -45                                      C. 120                                      D. -120

8.点，分别是双曲线：的左､右焦点，点是右支上的一点.直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，假设，那么的离心率为〔    〕
A.                                       B. 3                                      C.                                       D.

9.在中，内角､B､所对的边分别为､b､，假设角､C､成等差数列，角的角平分线交于点，且，，那么的值为〔    〕
A. 3                                       B.                                        C.                                        D.

10.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的根底.著名的“康托三分集〞是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的根底上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集〞.假设使去掉的各区间长度之和小于，那么操作的次数的最大值为〔    〕(参考数据：，，， )
A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7

11.三棱锥的外接球的外表积为，，，，，那么三棱锥的体积为〔    〕
A. 8                                      B.                                       C.                                       D. 16

12.函数，那么关于的方程不可能有〔    〕个相异实根.
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5

二、填空题
13.用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，那么满足条件的五位数共有________个．〔用数字作答〕
14.点是曲线上任意一点，那么点到直线的最短距离为________.
15.给出以下命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；
②“ 〞是“ 与夹角为钝角〞的充分不必要条件；
③斜二测画法中边长为2的正方形的直观图的面积为；
④函数的最小值为4；
⑤ ，，那么 .
其中正确的有________(填上你认为正确命题的序号)
16.平面向量､､，满足，，，那么对任意，的最大值为________.
三、解答题
17.函数只能同时满足以下三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图像平移得到；③函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
〔1〕请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；
〔2〕锐角中，内角､､所对的边分别为､､ . ，，求周长的取值范围.
18.如下列图，在三棱锥中，平面，，，，分别为线段，上的点，且， .

〔1〕证明：平面平面；
〔2〕求锐二面角的余弦值.
19.椭圆： .左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为 .
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，假设直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.
20.4月30日是全国交通平安反思日，学校将举行交通平安知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，四个问题，规那么如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题，，，分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；②每答复一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，假设累计分数仍缺乏14分时，答题结束，淘汰出局，假设累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题，，，顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题，，，答复正确的概率依次为，，，，且各题答复正确与否相互之间没有影响.
〔1〕求甲同学能进入下一轮的概率；
〔2〕用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望 .
21.函数， .
〔1〕讨论函数的单调性；
〔2〕假设，求的值；
〔3〕证明： .
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
〔2〕假设直线与曲线交于，两点，设，求的值.
23.函数 .
〔1〕求不等式的解集；
〔2〕假设，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】，
实部是，虚部是，共轭复数是，
。
故答案为：C．

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，在留言复数的实部和虚部的定义，进而求出复数的实部和虚部，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，再利用复数的模求解公式，进而求出复数的模。
2.【解析】【解答】依题意，集合中元素的个数，即，图象交点个数。
如图

所以一共有两个交点，所以集合中元素的个数为2。
故答案为：C

【分析】依题意，集合中元素的个数，即和图象交点个数，再利用和图象的交点个数，进而得出集合中元素的个数。
3.【解析】【解答】由题得，
，
，
所以。
故答案为：D

【分析】利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数大小关系比较，再结合诱导公式和正弦函数的图象，进而判断出a,b,c三者的大小。
4.【解析】【解答】如图

表示阴影局部，即事件表示“ 〞，
那么，
所以。
故答案为：D

【分析】在区间上随机取两个数､，那么表示阴影局部，即事件表示“ 〞再利用定积分求面积的方法结合几何概型求概率公式，进而求出事件“ 〞发生的概率。
5.【解析】【解答】由题得，，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
因为数列是正项数列，所以，
所以，
所以，
所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.
令得，解之得，
所以。
故答案为：A

【分析】利用得出，两式相减变形得出，因为数列是正项数列，所以，所以，所以，再利用等差数列的定义推出数列是一个以为首项，以为公差的等差数列，再利用分类讨论的方法，令得，解之得，从而满足等差数列通项公式的要求，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列的前项和。
6.【解析】【解答】由题可知: ，函数关于直线对称，
又，当时，；当时，
所以函数在单调递减，在单调递增，
由，所以，
根据对称性可知，
根据零点存在性定理可知：函数在区间内有且仅有1个零点。
故答案为：B

【分析】定义在上的函数满足，所以函数关于直线对称，再利用同号为异号为负的性质结合条件，从而结合求导的方法判断出函数的单调性，进而判断出函数在单调递减，在单调递增，再利用同号为异号为负的性质结合条件，所以，根据对称性可知，再根据零点存在性定理可知函数在区间内零点的个数。
7.【解析】【解答】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在的展开式有11项，即n=10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴ 是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为。
故答案为：A

【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式结合二项式的系数的性质，再结合条件第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，从而求出a和n的值，再利用展开式中的通项公式，进而求出含的项系数。
8.【解析】【解答】如下列图

由 ,所以，因为
所以，又
所以
所以双曲线方程为：，那么
所以离心率为
故答案为：D

【分析】利用双曲线的定义得出结合，因为，所以，又因为，所以，进而求出a的值，从而求出双曲线的标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出c的值，从而利用双曲线的离心率公式，进而求出双曲线的离心率。
9.【解析】【解答】因为是平分线，所以，，，
角､､成等差数列，所以，而，所以，
在中，，即，
在中，，即，
由，解得。
故答案为：C．

【分析】因为是平分线，所以，，，再利用角､､成等差数列，再结合三角形内角和为180度的性质，进而求出角C的值，在中利用余弦定理，得出，在中利用余弦定理得出，再结合条件，从而解方程组求出a,b,c的值。
10.【解析】【解答】记表示第次去掉的长度，
所以，第2次操作，去掉的线段长为，，第次操作，去掉的线段长度为，
所以，那么，
由，，所以的最大值为5。
故答案为：B

【分析】记表示第次去掉的长度，利用条件，所以，第2次操作，去掉的线段长为，，第次操作，进而找出规律得出去掉的线段长度为，再利用等比数列前n项和公式结合条件得出，由，，进而求出的最大值。
11.【解析】【解答】设球半径为，那么，，而，所以是球的直径，球心是中点，

，所以中点是直角外心，所以平面，又平面，所以，
，，，所以
是中点，所以。
故答案为：A．

【分析】设球半径为，再利用球的外表积公式结合条件三棱锥的外接球的外表积为，进而求出球的半径，而，所以是球的直径，球心是中点，，所以中点是直角外心，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用勾股定理求出BC的长，进而结合中点的性质求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，所以是中点，再利用三棱锥体积之间的关系结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥的体积。
12.【解析】【解答】，或时，，时，，
所以在和上递增，在上递减，极大值为，
时，，时，，时，，且恒成立，
设，那么当，无解，当时，有三解，时，有二解，时，有一解．
为，，时等号成立．
，方程无解，
，即时，方程有两个相等实根，原方程有1个解，
，方程有两个不等实根，
方程为，，那么中一个不大于，一个不小于．
不妨设，
在坐标系中，作函数的图象，作直线，它们的交点的横坐标分别为〔有两个交点时〕，由图可知，

假设，，此时，有2个根，有1个根，共有3个根，
时，，，有3个根，有1个根，共有4个根，
时，，，有1个根，有1个根，共有2个根，
因此不可能有5个根．
故答案为：D．

【分析】利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的极大值，再利用函数求极限的方法和不等式恒成立的问题求解方法，进而设，再利用分类讨论的方法得出的解的个数，再利用为，，时等号成立，再利用分类讨论的方法得出方程的解的个数，再结合方程为，，那么中一个不大于，一个不小于，不妨设，在坐标系中，作函数的图象，作直线，它们的交点的横坐标分别为〔有两个交点时〕，由图结合分类讨论的方法可知和的根的个数，进而得出关于的方程不可能有5个相异的实根。
二、填空题
13.【解析】【解答】先安排三位奇数，得到四个空位，再从四个空位中选出两个空位安排偶数，共有个。
故答案为：72。

【分析】利用条件结合排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出满足条件的五位数的个数。
14.【解析】【解答】设与函数的图象相切于点P〔x0 ， y0〕，
，所以，，解得，，
∴点到直线的距离为最小距离。
故答案为：。

【分析】设与函数的图象相切于点P〔x0 ， y0〕，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，进而结合切点横坐标的取值范围，从而求出切点的坐标，再利用几何法结合点到直线的距离公式，进而求出点到直线的距离为最小距离。
15.【解析】【解答】①直棱柱的侧面都与底面垂直，但侧面之间不一定平行，①错；
②当反向时，，但的夹角不是钝角，不是充分条件，②错；
③先说明当直角三角形的两条直角边与坐标平行时，此时不妨把直角顶点平移到坐标原点，如图，其直观图为，，，，
，

如果斜边在其它象限最多把上式中改为，结果不变．
而平面上任意多边形都可以用直角边与坐标轴平行的直角三角形组合而成．
因此可知斜二测画法中直观图面积是原图形面积的，
边长为2的正方形面积为4，其直观图面积为，③正确；
④ ，当且仅当，即时等号成立，但，因此4不可能是最小值．④错误；
⑤ ，时，，⑤正确．
故答案为：③⑤．

【分析】利用两平面平行的判定定理，充分条件、必要条件的判断方法，斜二测法画直观图结合条件求平面图形直观图的面积，均值不等式求最值的方法，两角差的正切公式，进而得出正确命题的序号。
16.【解析】【解答】由，，可设，
由，把坐标代入化简可得：，
所以点的轨迹方程为，
又因为，
所以求的最大值即两个圆、上动点最大值，如下列图;

当过两圆的圆心时有最大，即。
故答案为：。

【分析】由，，可设，由，再利用数量积运算法那么结合数量积的坐标表示，进而求出点C的轨迹方程，再利用向量的模的坐标表示结合几何法得出的最大值即两个圆、上动点最大值，那么当过两圆的圆心时有最大，再利用两点距离公式，进而求出对任意，的最大值。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕因为①②两个条件矛盾，最大值不相同，②③两个条件也矛盾，周期不相同．只有选①③，由①结合正弦型函数最大值求解方法得出，由③知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，从而求出最小正周期是，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，进而求出函数f(x)的解析式。
〔2〕因为在锐角中，内角､､所对的边分别为､､，，，得出，所以，再利用正弦定理结合三角形中三内角和为180度的性质结合条件，进而求出，，从而结合两角和的正弦公式和辅助角公式，进而得出b+c为正弦型函数，因为，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出b+c的取值范围，再结合a的值，进而求出三角形周长的取值范围。
18.【解析】【分析】(1) 因为，，再利用勾股定理得出三角形为直角三角形且，所以，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面。
〔2〕过作于，因为为等腰直角三角形，且，所以，因为，所以 ∥ ，再利用两直线平行对应边成比例，所以，得，因为平面，，所以两两垂直，所以以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如下列图的空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出锐二面角的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕椭圆：，左焦点，进而求出右焦点的坐标，再利用两点距离公式结合条件得出，所以，再利用椭圆的定义得出，所以，即点为与椭圆的交点时，周长最大，因为
从而求出a,c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕由〔1〕知，设，那么，当直线斜率存在时，设其方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出点B,C的坐标，再利用点斜式求出直线AB的方程，令，得进而求出点P的坐标，同理得出Q的坐标，再利用两点距离公式求出P,Q两点的距离，设中点为，再利用中点坐标公式，进而求出S的坐标，进而求出以为直径的圆的标准方程为，再转化为圆的一般方程，令，得，所以过点和且为定点，当直线斜率不存在时，容易知道，此时，所以以为直径的圆是以原点为圆心，为半径的圆，显然也过定点和，综上所述，得出此圆过定点，并求出定点的坐标。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合独立事件乘法求概率公式结合互斥事件求概率公式，进而求出甲同学能进入下一轮的概率。
〔2〕利用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，进而求出可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式结合互斥事件求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。
21.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法讨论出函数的单调性。
〔2〕由，即，令，再利用指数与对数的互化公式，那么，所以，由〔1〕可知，当时，在单调递增，从而求出的值。
〔3〕令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而证出不等式成立。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再利用参数方程与普通方程的转化方法，进而求出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程。
〔2〕利用直线与曲线交于，两点，再联立二者方程求出交点的坐标，设，再利用两点距离公式，进而求出的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
〔2〕由〔1〕可知，再利用分类讨论的方法结合分段函数的图像，进而结合比较法求出分段函数的最小值，再利用函数的最小值为，从而求出t的值，再利用，进而得出，由，，为正实数，再利用二维形式的柯西不等式，进而求出的最小值。