2021届江苏省苏州市高三下学期数学三模试卷及答案

这是一份2021届江苏省苏州市高三下学期数学三模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学三模试卷
一、单项选择题
1. 为全集，非空集合 、 满足 ，那么〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
2.设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，那么 的值为〔    〕
(参考数据： )

3.欧拉公式 (其中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥〞．当 时，恒等式 更是被数学家们称为“上帝创造的公式〞．根据上述材料可知 的最大值为〔    〕
A. 1                                          B. 2                                          C.                                           D. 4
4.为了更好地管理班级，班主任决定选假设干名学生担任班主任助理，于是征求语、数、英三科任课教师的意见．语文老师：如果不选小李，那么不选小宋；数学老师：如果不选小宋，那么选小李；英语老师：小宋和小李两人中至少选一个并且至多项选择一个．假设班主任同时采纳了三人的建议，那么作出的选择是〔    〕
A. 选小宋，不选小李                 B. 选小李，不选小宋                 C. 两人都选                 D. 两人都不选
5. ，那么 〔    〕
A. 15                                        B. 20                                        C. 60                                        D. 160
6.函数 的图象大致为〔    〕
A.                   B. 
C.                   D. 
7.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体局部可以近似看作是双曲线 1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，假设该金杯主体局部的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，那么杯身最细之处的周长为〔    〕

A. 2 π                                   B. 3π                                   C. 2 π                                   D. 4π
8.假设函数 在区间 上，对 、 、 ， 、 、 为一个三角形的三边长，那么称函数 为“稳定函数〞．函数 在区间 上是“稳定函数〞，那么实数 的取值范围为〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
二、多项选择题
9. 是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为 所在平面内任一点，以下等式一定成立的是〔    〕
A.          B. 

         C.          D. 



10.假设实数x，y满足 ，那么〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
11.定义：假设存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，那么称函数f(x)为“k距周期函数〞，其中T称为函数的“类周期〞．那么〔    〕
A. 一次函数均为“k距周期函数〞
B. 存在某些二次函数为“k距周期函数〞
C. 假设“1距周期函数〞f(x)的“类周期〞为1，且f〔1〕=1，那么f(x)=x
D. 假设g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，那么函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
12.斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作?算盘书?中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，假设n的最大值为10，那么a的值可能是〔    〕
A. 100                                      B. 143                                      C. 200                                      D. 256
三、填空题
13.写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为________．
14.等差数列{an}的前n项和为{Sn}，公差为d，假设 ，那么d=________．
15.如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，那么将这些气球都打破的不同打法数是________．

16.如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一局部，杯口宽 cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个外表积为 的玻璃球，那么球面上的点到杯底的最小距离为________ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm)．

四、解答题
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
〔1〕假设 ，求A的值；
〔2〕假设k=2，求当C最大时△ABC的形状．
18.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
数列{an}的前n项和为Sn ， 首项为2，且满足           ．
〔1〕求数列{an}的通项公式；
〔2〕在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证： ．
19.在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 ，渐近线方程为 ．
〔1〕求双曲线C的方程；
〔2〕设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： ．
20.如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点．

〔1〕当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．
〔2〕求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．
21.为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：

〔1〕将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

超过2500小时
不超过2500小时
总计
A型



B型



总计



根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？
〔2〕用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；
〔3〕用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的本钱和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.
参考公式： ， .
参考数据：
P〔K2≥k0〕



k0



22.函数 (其中e为自然对数的底数)．
〔1〕假设对任意 成立，求实数k的取值范围；
〔2〕设 ，且 ，求证： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】如以下列图所示：

，由图可知， ， ，
故答案为：A.

【分析】根据题意，利用集合之间的关系判断，即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为：D.

【分析】因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以 ，可得 计算可得答案。
3.【解析】【解答】根据 和 得 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，
所以
所以 的最大值为2.
故答案为：B

【分析】根据题意得 ， 那么，再根据，即可求出   的最大值 。
4.【解析】【解答】由英语老师的话易知，两人中选且只选一人，C、D不符合题意，
由语文老师的话易知，如果不选小李，那么不选小宋，A不符合题意，
由数学老师的话易知，如果不选小宋，那么选小李，B符合题意，
故答案为：B.

【分析】由英语老师的话易知，两人中选且只选一人，由语文老师的话易知，如果不选小李，那么不选小宋，由数学老师的话易知，如果不选小宋，那么选小李，即可得出答案。
5.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以展开式中含 的项为 ，所以 .
故答案为：D.

【分析】由可得，然后利用二项式定理公式求出展开式中含 的项，即可求出答案。
6.【解析】【解答】因为 的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数，排除B，D.
因为 ，所以排除A.
故答案为：C

【分析】根据函数的奇偶性可排除B，D，再代入特殊值可排除A，即可得出答案。
7.【解析】【解答】该金杯主体局部的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
 ，
即 ，
作差可得 ，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
故答案为：C

【分析】可设 代入双曲线方程可得a，即可求出杯身最细处的周长。
8.【解析】【解答】 ，那么 ，
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以， ，
又 ， ，所以， ，
由题意可得 ，可得 ，解得 .
故答案为：D.

【分析】 假设f (x)为 “稳定函数〞，那么在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足: M<2m, 利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为 是边长为2的正三角形，
所以 ，A不正确；
，B符合题意；
根据重心的性质可得 ，
所以 ，
所以 ，C符合题意；
因为 ，
，
D不正确.
故答案为：BC

【分析】根据平面向量的数量积的定义以及用算力可判断出A不正确，故B正确;D不正确;根据三角形重心的性质，结合向量的线性运算可知C正确。
10.【解析】【解答】对于A：因为 ，所以 ，A符合题意；
对于B：因为 ，所以不能判断 的大小关系，所以不能比较 的大小关系，B不正确；
对于C：假设 成立，那么 ，化简得 在 恒成立，C符合题意；
对于D：令函数 ，那么 ，又 ，所以 ，所以函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，D符合题意，
故答案为：ACD.

【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的单调性及作差法，即可得出答案。
11.【解析】【解答】A．设一次函数为 ，那么 ，其中 ，A符合题意；
B．设二次函数为 〔 〕，
，
假设 是“k距周期函数〞，那么 ，那么 ，不满足新定义，B不符合题意；
C．设 ，那么 是“1距周期函数〞，且类周期为1， ，C不符合题意；
D．设 ，那么 ，即 ，
那么 ，D符合题意．
故答案为：AD．

【分析】根据新定义进行证明判断A，假设二次函数是 “k距周期函数〞，然后由新定义推理判断B，用反例判断C，根据周期函数的定义求解判断D。 
12.【解析】【解答】不妨设10段铁丝长度为 ，且 ，
依题意可知 ， ，……， ， ，
要使得 最大，那么 尽可能小，
因此 ， ， ，…， ，
记斐波那契数列前10项和为 ，其中 ，
那么有 〔 〕，
故答案为：AB.

【分析】不妨设10段铁丝长度为 ，且 ，依题意可知 ， ，……， ， ，根据题意，要使得 最大，那么 尽可能小，再由〔 〕，即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】不妨设椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为
因为长轴长等于离心率8倍，故 ，即
不妨令 ，那么 ，
所以满足条件的一个椭圆方程为 .
故答案为： 〔答案不唯一〕

【分析】因为长轴长等于离心率8倍，故 ，即 ， 假定椭圆的焦点在x轴上，写出满足条件的一个椭圆方程。
14.【解析】【解答】因为等差数列 的公差为d，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：1.

【分析】根据等差数列的前项和公式化简可得，即，即可得出答案。
15.【解析】【解答】解：将6只气球进行编号为1，2，3，4，5，6号，那么下方气球号码小于上方气球号码的排列方法数就是打破气球的方法数，将编号为1—6号的6只气球挂上3根绳子，按下方气球号码小于上方气球号码的排列，分3步进行：
〔1〕第一步，挂有1只气球的绳子，有 种挂法；
〔2〕第二步，挂有2只气球的绳子，有 种挂法；
〔3〕第三步，挂有3只气球的绳子，有 种挂法；
所以由分步计数原理得，共有 种方法，
因为一种挂法就是一种排列方法，也就是打破气球的方法，所以将这些气球都打破的不同打法数为60种方法，
故答案为：60

【分析】 将气球进行编号，那么下方气球号码小于上方气球号码的编号方法即为打破气球的方法数.使用排列数公式进行计算即可.
16.【解析】【解答】因为杯口放一个外表积为 的玻璃球，所以球的半径为 ，
又因为杯口宽 cm，
所以如图1所示，有 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
又因为杯深8cm，即
故最小距离为
如图1所示，建立直角坐标系，易知 ，设抛物线的方程为 ，
所以将 代入得 ，故抛物线方程为 ，

当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，
 
设玻璃球轴截面所在圆的方程为 ，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即 ，
那么有 恒成立，解得 ，可得 .
所以玻璃球的半径的取值范围为 .
故答案为：6；

【分析】根据条件建立直角坐标系，设抛物线的方程为 ，将 代入求出m，即可求出抛物线方程，设玻璃球轴截面所在圆的方程为 ，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即恒成立，求解即可得到玻璃球的半径的取值范围 。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由正弦定理得   ， 整理得   ， ，即可解得 A的值 ；
〔2〕由得   ， 由余弦定理得 利用根本不等式即可求出结论。
18.【解析】【分析】〔1〕分别选择 ① ② ③ ，根据等比数列的定义，判断是否能构成等比数列，进而得出 数列{an}的通项公式 ；
〔2〕 由〔1〕   ， 所以   ，  时，   ，   时，   ，   时，   ，   时，   ，  时，  ， 即可证得 。
19.【解析】【分析】〔1〕由双曲线C的渐近线方程为   ， 可设双曲线C的方程为   ， 把点   代入方程即可得出双曲线C的方程； 
〔2〕 设点  、  且   ， 由可得    ，   ， 那么 ， 即可得证。
20.【解析】【分析】〔1〕 取AB的中点G，连接FG，CG， 由可得 ，再由平面ACDE⊥平面ABC可得 AE⊥CG ，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
〔2〕 过B作BH  CD，那么   ， 连接   ，  根据线面平行的判定定理及性质定理可得  即所求二面角的平面角 ，由条件进行计算即可得出平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小 。
21.【解析】【分析】 (1)根据直方图中数据可得列联表，计算观测值，根据临界值表可得;
(2)由分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，可得X的取值可能为0，1, 2,3，分别求出概率，即可求得分布列及数学期望;
(3)计算A，B型设备的总费用比较可得.
22.【解析】【分析】〔1〕对函数 求导得   ， 令   ， 对函数求导，再对k的取值范围进行分类讨论，判断函数的单调性，从而求解出实数  的取值范围；
〔2〕 由〔1〕知，当  时，  在  恒成立， 令   ， 当  时 ，由  得出    ，    ， 进而得出 ， 利用根本不等式可得证。