2021届景德镇市高三理数第三次质检试卷及答案

这是一份2021届景德镇市高三理数第三次质检试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第三次质检试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 



2.假设复数 满足 ，那么复数 的虚部是〔    〕
A. -2                                        B. 1                                        C.                                         D. 



3.等比数列 中， ， 且 ，那么 〔    〕
A. ±16                                        B. 16                                        C. ±4                                        D. 4



4.在 未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规那么如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，那么为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，假设一个小孩朝着线段随机丢铁片假设干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出 的近似值为(精确到小数点后两位)〔    〕
A. 3.06                                     B. 3.12                                     C. 3.20                                     D. 3.24



5.向量 ， 且 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C. 1                                       D. 



6.景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，根本可看作是离心率为 的双曲线的一局部绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，假设该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，那么瓶口直径为〔    〕

A. 20                                         B. 30                                         C. 40                                         D. 50



7.假设直线 被圆 所截弦长最短，那么 〔    〕
A. 4                                         B. 2                                         C.                                          D. -2



8.三棱柱被一平面截去一局部后，剩余局部的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔    〕

A.                                       B. 6                                      C.                                       D. 



9.函数 在 处取得最小值，且 ，那么实数 的取值范围〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 



10.在棱长为 的正方体 中， 、 分别为棱 、 的中点，那么平面 与正方体 外接球的交点轨迹长度为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 4π



11. ， 分别为抛物线 与圆 上的动点，抛物线的焦点为 ， ， 为平面两点，当 取到最小值时，点 与 重合，当 取到最大时，点 与 重合，那么直线的 的斜率为〔    〕
A.                                         B.                                         C. 1                                        D. 



12.假设正实数 ， 满足 ，那么〔    〕
A.                    B. 

                   C.                    D. 



二、填空题
13.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.4号､43号同学在样本中，那么样本中另外两位同学的学号是________.
14. ，那么 ________.
15.公差不为0的等差数列 的局部项 ， ， ，……构成等比数列 ，且 ， ， ，那么 ________.
16.对于定义域为 的函数 ，假设满足〔1〕 ；〔2〕当 ，且 时，都有 ；〔3〕当 ，且 时，都有 ，那么称 为“偏对称函数〞.现给出四个函数：① ；② ；③ ；④ 那么“偏对称函数〞有________个.
三、解答题
17.向量 ， .假设 .
〔1〕求函数 的单调递增区间；
〔2〕在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，假设 ， ， ， 为 的角平分线， 为 中点，求 的长.
18.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ， ，点 是 的中点．

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19.自“新冠肺炎〞爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗〞，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2021年年末开始可以使用平安的新冠疫苗，使我国的“防疫〞工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
〔1〕实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 ，求 的分布列和数学期望．
〔2〕科研人员在另一个实验中发现，疫苗可屡次连续注射，白兔屡次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，假设将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率到达96%，如假设可以请说明理由，假设不可以，请问每支疫苗的有效率至少要到达多少才能满足以上要求．
20.椭圆 上的点到焦点 的最小距离为1，且以椭圆 的短轴为直径的圆过点 且 ， 为椭圆的左右顶点．
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕过 直线交椭圆于 ， 两点〔 在第一象限〕，直线 、 的斜率为 ， ，是否存在实数 ，使得 ，假设存在，求出实数 的值；假设不存在，说明理由．
21.函数 ，
〔1〕假设直线 与曲线 相切，求 的值．
〔2〕当 时，求证：当 时， 恒成立．
22.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，以极点 为原点，以极轴为 轴的非负半轴，建立直角坐标系， 点的坐标为 ，直线 的参数方程为 ( 为参数)，且与曲线 交于 ， 两点.
〔1〕求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
〔2〕假设点 为曲线 的动点，那么满足使得 的面积 条件的点 有几个，并求出点 的坐标.
23.函数 .
〔1〕当 ， 时，解不等式 ；
〔2〕当 时，假设不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解:因为 ，
，
所以 .
故答案为：D

【分析】先化简集合A，B，再根据交集的定义进行运算，即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 ，且 ，
∴ i ，
那么此复数z的虚部为1．
故答案为：B．

【分析】 先利用复数的运算求出z，由虚部的定义求解即可．
3.【解析】【解答】解: ，且
解得 ,
又因为 是等比数列,
所以 ,
所以 ,可得 ,
所以 .
故答案为：B

【分析】 由结合等比数列的性质可求a5 ， 进而可求公比q，然后代入等比数列的通项公式即可求解．
4.【解析】【解答】由题意得，铁片在图中两个圆内为获胜，

那么 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：D
【分析】由题意得，铁片在图中两个圆内为获胜，得，即可求得答案。
5.【解析】【解答】由题意： ，
，
又 ，所以 ，
解得 ，
故答案为：A.

【分析】由题意： ， ， 根据模相等求出 。
6.【解析】【解答】因为双曲线焦点在 轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以 ，可得 ，
因为离心率为 ，即 ，可得 ，
所以 ，
所以双曲线的方程为： ，
因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为 ，
将 代入双曲线可得 ，解得： ，
所以瓶口直径为 ，
故答案为：A

【分析】根据双曲线的性质，可得双曲线的方程，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为 ，将 代入双曲线，解得x，可得答案。
7.【解析】【解答】直线 过定点 ，
因这直线 被圆 所截弦长最短，
所以点 为弦的中点，故圆心 与点 连线与直线 垂直
那么 ，解得
故答案为：C

【分析】 利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆截得的弦长最短，即可得出结论．
8.【解析】【解答】三视图复原后的实物图如下列图，

相当于从三棱柱ABC-EFD中截取一个三棱锥B-DFG ， 故体积为：
.
故答案为：A

【分析】 根据三视图作出直观图，可知几何体为直三棱柱去掉一个小三棱锥得到的．使用作差法求出体积．
9.【解析】【解答】由函数 在 处取得最小值得 ，那么 且
当 时 ，又 ，
所以 ，得 ．
又 ，所以 ，
即 ，整理得 ， ，解得 ．
综上， .
故答案为：C．
【分析】先根据题意得， 进而得，再由时，， 得 解得，由，得即可得解。
10.【解析】【解答】如下列图，连接 ，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，

连接 ，其中 为正方体 的中心，
作 ，垂足为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为四边形 为正方形且 为 的中点， 为 的中点，
可得 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 面 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为面 和面 是同一面，所以 平面 ，
在直角 中， ，可得 ，所以 ，
又因为 ，在 中，可得 ，
由平面截球的轨迹为圆，其中 是截面圆的圆心， 为球心，
因为正方体 的棱长为 ，所以外接球的半径 ，
根据截面圆的性质，可得 ，
所以截面的周长为 .
故答案为：C.

【分析】连接 ，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，平面 ，根据截面圆的性质，可得 ， 进而可得答案。
11.【解析】【解答】如下列图：

，即 ，圆心为 ，
抛物线 的焦点为 ，记 的准线为l ， 过点A作 ，
过 作 ，
，当 共线时，点B在 上，此时 ，
连接 ，
，此时Q为 与抛物线 的交点，
，由 ，解得 或 ，
因为Q在第一象限，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D

【分析】C2： ，圆心为 ，抛物线 的焦点为 ，记 的准线为l ， 过点A作 ，过 作 ，，当 共线时，点B在 上，此时 ，连接 ，直线和抛物线联立可得，进而得出直线的  的斜率。
12.【解析】【解答】先证明熟知的结论： 恒成立，且当且仅当 时取等号.
设 ,那么 ,
在(0,1)上， , 单调递减;在(1,+∞)上， , 单调递增.
故 ,
∴ 恒成立，且当且仅当 时取等号.
由 ,
由 ，
∴ ，且 ，
解得 ,
经检验只有B符合题意，
故答案为：B.

【分析】 由根本不等式的性质，可得,然后设，判断其单调性，结合题意得，据此计算a、b的值，根据选项即可得答案．
二、填空题
13.【解析】【解答】解：由系统抽样为等距抽样，故抽样间隔为 ，
故所抽取的4个样本的编号分别为：4，4+13=17，17+13=30，30+13=43，
故样本中还有一个同学的学号是17和30.
故答案为： 17和30

【分析】 根据系统抽样的定义，得到学号的组距，即可得到结论．
14.【解析】【解答】解: 由两角差的正切公式可得 ，得 ,

 
.
故答案为: .

【分析】 由两角差的正切公式可得， 根据和差的正弦公式以及同角三角函数关系，进行转化求解即可．
15.【解析】【解答】解：设等差数列 的公差为 ，那么 ，
由 ，
即 ，得 ，
于是，在等比数列 中，
公比 ．
由 为数列 的第 项，知 ；
由 为数列 的第 项，知 ，
，
故 .
故答案为 ．

【分析】 设等差数列{an}的首项为a1 ， 公差为d，根据等比数列性质得， 由此得到首项和公差的关系，然后利用等比数列和等差数列的通项公式分别求出akn ， 然后列等式求得kn ．
16.【解析】【解答】由〔2〕可知当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， 在 上不单调，故 不满足条件〔2〕，
不是“偏对称函数〞；
又 ， 在 上单调递减，不满足条件〔2〕，
不是“偏对称函数〞；
对于 ，作出图象如图：

根据图象，满足②；且当 ，且 时，都有 ，故其不满足〔3〕；
不是“偏对称函数〞；
，显然满足 .，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
那么当 时，都有 ，符合条件〔2〕，
因为 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 的单调性知，当 时， ，
，
令 ， ，
，
当且仅当 即 时，“ “成立，
 在 ， 上是减函数，
，即 ，
符合条件〔3〕，故 是“偏对称函数〞.
故答案为：1

【分析】 条件②等价于在 上单调递减，在 上单调递增，条件③等价于当 时， ， 依次判断各函数是否满足条件即可得出结论.
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法那么列出f〔x〕解析式，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性求出函数f〔x〕的单调递增区间即可；
〔2〕由 求得 ，再根据余弦定理可求得  的长 。
18.【解析】【分析】〔1〕根据条件及勾股定理得出 ， ， 由面面垂直的判定定理可得
平面   平面 ；
〔2〕 以AM的中点O为原点，以OB为x轴，平行于MC的直线为y轴，OP为z轴，如图建立  坐标系， 利用向量法求出二面角  的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕先分析出 的可能可取值，然后根据超几何分布模型求解  取不同值时的概率，由此可求得的分布列，并根据分布列可计算出数学期望；
〔2〕根据条件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后计算注射两次疫苗的有效率，并与 96% 作比较，得到结果为无法保证后先假设疫苗的有效率，利用1减去两次疫苗都无效的概率等于 96% ，由此解出结果。
20.【解析】【分析】 〔1〕利用条件求出a，b，即可得到椭圆的方程；
〔2〕 假设存在实数  ，使得  ；由题意可知直线  斜率不为零，设  ，   且  ，  ， ， 直线与椭圆联立  可得  ，通过韦达定理得出  然后验证是否存在实数λ，使得  。
21.【解析】【分析】〔1〕 设直线  与  相切于点  ， 由题意得  解得  的值 ；
〔2〕利用分析法证明即可。
22.【解析】【分析】 〔1〕直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
〔2〕 设 ， 直线 与 曲线C的方程联立，  得， ，由 ， 再根据 ，求得d，进而求出点  的坐标。
23.【解析】【分析】 〔1〕利用绝对值的定义，对x的取值进行分类讨论，分别求解不等式即可；
〔2〕利用绝对值的定义将函数f〔x〕转化为分段函数，然后将不等式恒成立转化为求解函数f〔x〕的最小值，分段求解即可得到f〔x〕的最小值，从而得到a的取值范围．