2021届河北省张家口市高三数学一模试卷及答案
展开高三数学一模试卷
一、单项选择题
1. , 都是R的子集,且 ,那么 〔 〕
A. A B. B C. D. R
2.〔 〕
A. B. C. D. 2
3.小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼,那么他至少选中1种无氧运动的选法有〔 〕
A. 261种 B. 360种 C. 369种 D. 372种
4.溶液酸碱度是通过 计算的, 的计算公式为 ,其中 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,人体血液的氢离子的浓度通常在 之间,如果发生波动,就是病理现象,那么,正常人体血液的 值的范围是〔 〕
A. B. C. D.
5.两条不同的直线 和不重合的两个平面 ,且 ,有下面四个命题:①假设 ,那么 ;②假设 ,那么 ;③假设 ,那么 ;④假设 ,那么 .其中真命题的序号是〔 〕
A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①④
6.某大学进行“羽毛球〞、“美术〞、“音乐〞三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球〞“美术〞、“音乐〞三个社团的概率依次为 ,三个社团中他恰好能进入两个的概率为 ,假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立,那么该同学一个社团都不能进入的概率为〔 〕
A. B. C. D.
7.椭圆 的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,假设 的平分线分别交x轴于点 ,且 ,那么椭圆C的离心率为〔 〕
A. B. C. D.
8.设 是 上的奇函数,且 在 上是减函数,又 ,那么不等式 的解集是〔 〕
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.如果平面向量 ,那么以下结论中正确的选项是〔 〕
A. B. C. 与 的夹角为 D. 在 方向上的投影为
10.袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为 ,那么〔 〕
A. B. C. X的期望 D. X的方差
11. ,且 ,那么〔 〕
A. B. C. D.
12.函数 ,其导函数为 ,设 ,那么〔 〕
A. 的图象关于原点对称
B. 在R上单调递增
C. 是 的一个周期
D. 在 上的最小值为
三、填空题
13.假设 为抛物线 上一点,抛物线C的焦点为F,那么 ________.
14.写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项〞的等差数列 ________.
15.早期的毕达哥拉斯学派学者注意到:用等边三角形或正方形为外表可构成四种规那么的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体,它们的各个面和多面角都全等.如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面,是五个柏拉图多面体之一.如果把 按 计算,那么该正二十面体的外表积与该正二十面体的外接球外表积之比等于________.
16.函数 图象的一条对称轴为 ,那么 ________,函数 在区间 上的值域为________.
四、解答题
17.公比小于1的等比数列 中,其前n项和为 .
〔1〕求 ;
〔2〕求证: .
18.在 中, .
〔1〕求B;
〔2〕假设 , 的面积为 ,求 的周长.
19.如图,四边形 是正方形, 平面 ,且 .
〔1〕求证: 平面 ;
〔2〕假设 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.某电器企业统计了近 年的年利润额 〔千万元〕与投入的年广告费用 〔十万元〕的相关数据,散点图如图,对数据作出如下处理:令 , ,得到相关数据如表所示:
15
15
参考数据: , .
参考公式:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 , .
〔1〕从① ;② ;③ 三个函数中选择一个作为年广告费用 和年利润额 的回归类型,判断哪个类型符合,不必说明理由;
〔2〕根据〔1〕中选择的回归类型,求出 与 的回归方程;
〔3〕预计要使年利润额突破 亿,下一年应至少投入多少广告费用?〔结果保存到万元〕
21.双曲线 上一动点P,左、右焦点分别为 ,且 ,定直线 ,点M在直线 上,且满足 .
〔1〕求双曲线的标准方程;
〔2〕假设直线 的斜率 ,且 过双曲线右焦点与双曲线右支交于 两点,求 的外接圆方程.
22.函数 .
〔1〕讨论函数 在区间 上的最小值;
〔2〕当 时,求证:对任意 ,恒有 成立.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 图如下列图,
易知 .
故答案为:D.
【分析】 根据集合关系,利用Venn图进行判断即可.
2.【解析】【解答】 .
故答案为:A.
【分析】 根据复数的运算性质计算即可.
3.【解析】【解答】解:从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼,那么他至少选中1种无氧运动的选法有 〔种〕.
故答案为:C.
【分析】 由题意,分有1种无氧运动,2种无氧运动,3种无氧运动,根据分类计数原理可得.
4.【解析】【解答】依题意, ,因此,正常人体血液的 值的范围是 .
故答案为:D.
【分析】按题设所给公式求相应的 值即可。
5.【解析】【解答】解:因为两条不同的直线 和不重合的两个平面 ,且 ,
对于①,由 ,可得 ,故①正确;
对于②,假设 ,可得 ,故②正确;
对于③,假设 ,那么有可能 ,故③错误;
对于④,当 时,那么有可能 ,故④错误.
综上,真命题的序号是①②.
故答案为:A.
【分析】 由直线与平面垂直的性质判断①②;由线面垂直及面面垂直判断直线与平面的位置关系判断③;由线线垂直及线面垂直判断直线与平面的位置关系判断④.
6.【解析】【解答】解:由题知,三个社团中他恰好能进入两个的概率为 ,那么 ,所以 ,所以 ,所以该同学一个社团都不进入的概率 .
故答案为:D.
【分析】 推导出三个社团中他恰好能进入两个的概率, 从而, 由此能求出该同学一个社团都不进入的概率.
7.【解析】【解答】解:如以下列图所示:
因为 ,所以由余弦定理得 ,又 ,所以 .因为 分别为 的平分线,所以 ,所以 .由题意可知,点 ,那么 .
由 ,可得 ,即 ,在等式 的两边同时除以 ,可得 ,解得 或 .因为 ,所以
故答案为:C.
【分析】 由题意及余弦定理可得∠DAE的大小,再由角平分线的性质可得AB⊥AF,可得数量积, 可得a,c的关系,进而求出离心率的值.
8.【解析】【解答】因为 是 上的奇函数,那么 ,
由于函数 在 上是减函数,那么该函数在 上也为减函数,
,那么 ,作出函数 的大致图象如以下列图所示:
由 ,可得 ,
由 ,可得 或 ,此时 ;
由 ,可得 或 ,解得 .
因此,不等式 的解集是 .
故答案为:B.
【分析】 由可得f〔x〕在〔0,+∞〕上是减函数,且f〔4〕=0,作出f〔x〕的大致图象,由函数的奇偶性可将不等式转化为,结合函数图象即可求解不等式的解集.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为 ,所以 .
在A中,由 ,可得 ,A符合题意;
在B中,由 ,可得 ,B符合题意;
在C中,由 ,可得 与 的夹角为 ,C不符合题意;
在D中, 在 方向上的投影为 ,D不符合题意.
故答案为:AB.
【分析】 直接利用向量的坐标运算,向量的模,向量的夹角运算,向量在另一个向量上的投影的应用判定A、B、C、D的结论.
10.【解析】【解答】从袋子中有放回地随机取球4次,那么每次取球互不影响,
并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,
取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,
所以随机变量 服从二项分布 ,A符合题意;
,记其概率为 ,B不符合题意;
因为 ,所以 的期望 ,C符合题意;
因为 ,所以 的方差 ,D符合题意.
故答案为:ACD.
【分析】 利用二项分布列的概率计算公式、数学期望及其方差即可得出.
11.【解析】【解答】对于A,因为 ,且 ,所以 ,所以 ,所以 ,A符合题意;
对于B, ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,故 ,B符合题意;
对于C, ,当且仅当 ,即 时取等号,故 ,得 ,C符合题意;
对于D, ,且 ,所以 ,即 ,那么 ,当且仅当 ,即 时取等号,D不符合题意.
故答案为:ABC.
【分析】 对于A:根据条件可得出, 然后根据指数函数的单调性即可得出, 即得出A正确;对于B:根据根本不等式可得, 然后即可得, 即得出B正确;对于C:根据根本不等式即可得出, 然后即可得出, 即得出C正确;对于D:根据2ab≤a2+b2即可得, 即得出D错误.
12.【解析】【解答】 的定义域是 ,其定义域关于坐标原点对称,
且 ,
所以 是奇函数,所以 的图象关于原点对称,A项正确;
由 ,得 ,那么 .
恒成立,所以 在 上单调递增,并不是在R上单调递增,B项错误;
由 ,得函数 的定义域是 ,C项正确;
设 ,当 时, ,
此时 , ,根据对勾函数的单调性, 在 上单调递减,
,D项错误.
故答案为:AC.
【分析】 根据函数的奇偶性判断A,求出函数的导数,根据函数的单调性判断B,结合三角函数的性质判断C,通过换元思想以及三角函数的性质判断D.
三、填空题
13.【解析】【解答】由 为抛物线 上一点,得 ,可得 ,
那么 .
故答案为:5
【分析】 由P在抛物线上可得p的值,由到焦点的距离到准线的距离可得|PF|的值.
14.【解析】【解答】要满足“前3项之和小于第3项〞,那么 ,即
那么不妨设 ,
那么 .
故答案为:2n-6.
【分析】 根据题意, 那么不妨设,求出通项公式即可,答案不唯一,满足题意即可.
15.【解析】【解答】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球,
设外接球半径为R,正五边形的外接圆半径为r,正二十面体的棱长为 ,
那么 ,得 ,
所以正五棱锥的顶点到底面的距离是 ,
所以 ,即 ,解得 .
所以该正二十面体的外接球外表积为 ,
而该正二十面体的外表积是 ,
所以该正二十面体的外表积与该正二十面体的外接球外表积之比等于 .
故答案为: .
【分析】 设正二十面体的棱长为l,可以把正五边形的外接圆半径为r用l表示,正五棱锥的顶点到底面的距离h也用l表示,再由勾股定理建立关于R的方程,把R也用l表示,从而求出正二十面体的外接球外表积用l表示,正二十面体的外表积即20个等边三角形的面积之后,求出来用l表示,从而作商得到答案.
16.【解析】【解答】因为函数 的对称轴为 ,
由辅助角公式可得 ,
所以 ,即 ,
即 ,解得 .
所以 .
由 ,得 ,所以 ,
所以 ,故函数 在区间 上的值域为 .
故答案为: ; .
【分析】 由题意利用辅助角公式,化简函数的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,正弦函数的定义域和值域,求得结果.
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕根据等比数列的求和通项公式即可求出;
〔2〕根据等比数列的求和公式,再利用数列的函数特征即可证明.
18.【解析】【分析】 〔1〕由三角函数恒等变换的应用,正弦定理化简等式,结合sinA≠0,可得tanB的值,结合0<B<π,可得B的值.
〔2〕由题意利用三角形的面积公式可求a的值,进而可求c的值,由余弦定理可求b的值,即可求解△ABC的周长的值.
19.【解析】【分析】 〔1〕通过证明平面EBC∥平面PAD来证明CE∥平面PAD;
〔2〕建立空间直角坐标系,写出点坐标,求出平面PCE法向量,再求线面角的正弦值即可.
20.【解析】【分析】〔1〕 由散点图知,年广告费用 和年利润额 的回归类型并不是直线型的,而是曲线型的 ;
〔2〕 对 两边取自然对数,得 , 由表中数据得 ,进而得出 年广告费用 和年利润额 的回归方程 ;
〔3〕 由〔2〕,知 ,令 ,得 ,得 , 即可得出结果。
21.【解析】【分析】 〔1〕设点 ,通过 ,化简求解轨迹方程即可;
〔2〕设 ,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式,结合圆心 满足的方程,求解圆的半径,推出外接圆的方程即可.
22.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的导数,通过讨论a的范围,判断导函数的符号,求出函数的单调区间,求出函数的最小值即可;
〔2〕代入a的值,问题转化为证 ,即证 ,当0<x≤1时, 成立,当x>1时,令 〕,根据函数的单调性证明即可.
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