2021届江西省顶级名校高三下学期理数三模试卷及答案

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这是一份2021届江西省顶级名校高三下学期理数三模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三下学期理数三模试卷
一、单项选择题
1.定义：假设复数与满足，那么称这两个复数互为倒数.复数，那么该复数的倒数为〔    〕
A.                        B.                        C.                        D.
2.集合，，那么〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D.
3.在区间上随机地取一个数，那么事件“ 〞发生的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D.
4.设，，，，那么〔    〕
A.        B.        C.        D.
5.等比数列，满足，且，那么数列的公比为〔   〕
A. 4                                          B. 2                                          C.                                           D.
α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是〔   〕
A. α内有无数条直线与β平行                                   B. α内有两条相交直线与β平行
C. α内有无数个点到β的距离相等                            D. α、β垂直于同一平面
7.双曲线的一条渐近线方程为，过右焦点作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为，假设的面积是为原点〕，那么双曲线的实轴长是　　
A. 4                                          B.                                           C. 1                                          D. 2
8.函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，假设，那么〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D.
9.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法〞在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成 ,那么〔   〕 .
A. 4                                      B.                                       C. 2                                      D.
10. 是双曲线的左、右焦点，假设点关于双曲线渐近线的对称点满足〔为坐标原点〕，那么双曲线的渐近线方程为〔   〕
A.                           B.                           C.                           D.
11.长方体中，，，设点关于直线的对称点为，那么与两点之间的距离为
A. 2                                          B.                                           C. 1                                          D.
12.等差数列的前项和为，，，数列满足，，设，那么数列的前11项和为
A. 1062                                   B. 2124                                   C. 1101                                   D. 1100
二、填空题
13.设平面向量，，假设，那么 ________.
14.假设二项式的展开式中的常数项为，那么 ________．
C的方程为，P是椭圆上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B ，那么的最小值是________
16.假设函数〔且〕的值域是，那么实数的取值范围是________．
三、解答题
17.锐角，同时满足以下四个条件中的三个：
① ② ③ ④
〔1〕请指出这三个条件，并说明理由；
〔2〕求的面积.
18.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，， .

〔1〕求证：平面平面；
〔2〕假设，求直线与所成角的余弦值；
〔3〕假设二面角大小为，求的长.
19.为培养学生对传统文化的热爱，某校从理科班抽取60人，从文科班抽取50人参加传统文化知识竞赛.
〔1〕根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为传统文化知识竞赛成绩与学生的文理分科有关.

优秀人数
非优秀人数
总计
理科

文科

30

总计
60

〔2〕现A ， B ， C三人获得优秀的概率分别为，，，，设随机变量X表示A ， B ， C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望 .
附：， .
P〔K2≥k0〕

k0

20.椭圆的左、右焦点分别为和，过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，椭圆的离心率为 .
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕点是椭圆上位于轴上方的动点，假设直线和与直线分别交于和两点，设直线和的斜率分别为和，假设线段的长度小于，求的最大值.
21.假设方程有实数根，那么称为函数的一个不动点，函数 .
〔1〕假设，求证：有唯一不动点；
〔2〕假设有两个不动点，求实数a的取值范围.
22.椭圆 ( 是参数)，A和B是C上的动点，且满足 (O是坐标原点)，以O为极点､以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为 .
〔1〕求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；
〔2〕利用椭圆C的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.
23.设函数 .
〔1〕解不等式；
〔2〕假设对一切实数均成立，求实数的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】，所以，。
故答案为：A.

【分析】利用定义：假设复数与满足，那么称这两个复数互为倒数，再结合复数乘法运算法那么求出复数z，进而结合复数乘除法运算法那么求出复数z的倒数。
2.【解析】【解答】，，。
故答案为：B.

【分析】利用对数型函数的定义域，从而求出集合A,再利用分式不等式求解集的方法，从而求出集合B，再利用交集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的交集。
3.【解析】【解答】由题可得：在区间上满足的范围为：再根据几何概型的概率公式得：。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合几何概型求概率公式，从而求出事件“ 〞发生的概率。
4.【解析】【解答】函数的图像如图，

由图可知，函数为上的减函数.
又，
，，
。
故答案为：D

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像判断出分段函数的单调性，从而结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，从而比较出三者的大小。
5.【解析】【解答】等比数列中， ①，
，由等比数列各项正负性的性质可知：同号，故 ②，
②除以①，得：等比数列的公比，
故答案为：B.
【分析】利用对数运算公式和对数定义可由得到，
由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由得到，最后可以求出等比数列的公比.
6.【解析】【解答】应用立方体，如以下列图所示：

A：α内有无数条直线可平行于l ，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l ， A不一定能使α//β成立；
B：由面面平行的判定，可知B符合题意
C：在α内有一条直线平行于l ，那么在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l ， C不一定能使α//β成立；
D：如图α⊥γ ， β⊥γ ，但α与β可相交于l ， D不一定能使α//β成立；
故答案为：B

【分析】利用选项中的条件结合面面平行的判定定理，从而选出能使α//β成立的选项。
7.【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，，由三角形的面积是，即，
所以，，所以，
双曲线的实轴长为2。
故答案为：D．

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程，从而结合条件求出a,b的一个方程，再利用离心率公式结合条件，从而求出a,c的一个方程，再利用三角形面积公式求出a,b,c的一个方程，再解方程组求出a,b,c的值，再结合双曲线的实轴定义，从而求出双曲线的实轴长。
8.【解析】【解答】因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
因为，
故函数的周期为4，那么；
而，所以由可得；
而，
解得。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合奇函数图象的对称性，从而推出函数为奇函数，再利用条件结合奇函数的定义，推出，再利用周期函数的定义推出函数的周期为4，从而结合函数的周期性得出，再利用奇函数的定义，得出，所以由，可得，再利用，得出，从而求出m的值。
9.【解析】【解答】解：由题可知，
所以 ,
那么

。
故答案为：C.

【分析】利用0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成，得出，再利用同角三角函数根本关系式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合诱导公式，从而求出的值。
10.【解析】【解答】如下列图：

由对称性可得：为的中点，且，
所以，
因为，所以，
故而由几何性质可得，即，
故渐近线方程为，
应选B.
【分析】先利用对称得，根据可得，由几何性质可得，即，从而解得渐近线方程.
11.【解析】【解答】将长方体中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，那么是关于的对称点，如下列图，过作，垂足为，连接，，

依题意，，，，，，，，所以。
故答案为：C.

【分析】将长方体中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，那么是关于的对称点，如下列图，过作，垂足为，连接，，再利用边角关系结合条件，从而结合几何法求出与两点之间的距离。
12.【解析】【解答】设数列的公差为d ，那么：，解得：，
数列的通项公式为，
当时，，
即从第二项起为等比数列，，
数列的通项公式为：，
分组求和可得数列的前11项和为。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合等差数列的通项公式，从而求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出等差数列的通项公式，当时，，再利用等比数列的定义推出数列从第二项起为等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而求出数列的前11项和。
二、填空题
13.【解析】【解答】由题：平面向量，，假设，
所以，解得：，
。
故答案为：。

【分析】利用向量垂直数量积为0等价关系，从而结合数量积的坐标表示和条件，进而求出y的值，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，从而求出向量的模。
14.【解析】【解答】二项式的展开式的通项为，令所以常数项为二项式的展开式中的常数项为，那么。
故答案为。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项，从而得出，再利用定积分求解方法，从而求出定积分的值。
15.【解析】【解答】设 ,
令，可得，，
，当且仅当时取等号。
故答案为：。
【分析】利用数量积的定义结合二倍角的余弦公式和条件，得出，令，可得，，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出的最小值。
16.【解析】【解答】由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，从而求出分段函数的值域，再利用分类讨论的方法结合条件和一元一次不等式求解方法以及对数函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕三角形同时满足①，②，③，利用分类讨论的方法结合反证法的证明方法说明理由。
l假设同时满足①，④，那么在锐角中，利用条件结合正弦函数的图像，得出角C的取值范围，又因为，所以，再利用三角形内角和为180度的性质，从而推出，这与是锐角三角形矛盾，所以不能同时满足①，④，所以同时满足②，③，因为，再利用大边对应大角，从而得出，假设满足④，那么，再利用三角形内角和为180度的性质，那么，这与三角形是锐角三角形矛盾，故三角形不满足④，故三角形满足①，②，③。
〔2〕利用余弦定理结合条件得出b的值，再利用分类讨论的方法结合余弦定理和三角函数值在各象限的符号，得出满足要求的b的值，从而结合三角形面积公式求出三角形的面积。
18.【解析】【分析】〔1〕因为为的中点，且，那么，又因为，那么，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，因为平面平面，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以
平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
〔2〕连接，由〔1〕可知，平面，因为，为的中点，再利用等腰三角形三线合一证出线线垂直，那么，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与所成角的余弦值。
〔3〕利用三角形法那么结合条件，再利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出二面角大小，再利用二面角大小为，进而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出的长。

19.【解析】【分析】〔1〕由题意，从理科班抽取60人，从文科班抽取50人参加传统文化知识竞赛，可得如下的的列联表，再利用列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有99%的把握认为学生的传统文化知识竞赛成绩与文理分科有关。
〔2〕利用题意求出随机变量X的可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，再结合对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。

20.【解析】【分析】〔1〕由题意结合椭圆的离心率公式，从而结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而得出a,b的关系式，将代入椭圆方程可得，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，那么，由可得，从而求出a的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕设，过点作直线轴，分别交轴和直线于、两点，再利用两三角形相似的判断方法，易知，再利用两三角形相似对应边成比例，那么，由，得，所以，再利用两点求斜率公式得出，再利用二次函数求最值的方法，从而求出的最大值。
21.【解析】【分析】〔1〕当时，得出函数的解析式，再利用方程有实数根，那么称为函数的一个不动点，由得，令，再利用导数的运算法那么求出函数的导函数，那么，设再利用求导的方法判断其单调性，从而推出，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，所以有唯一的实数根，即有唯一不动点。
〔2〕先证明，令，再利用两次求导的方法判断函数的单调性，从而，因此在上单调递增，
故，所以，即，再利用不动点的定义结合函数零点的求解方法，从而得出函数有两个不动点等价于函数在上有两个不同的零点，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值，所以，即，下面说明时，有两个零点，取，有，故，取，且，故，又因为，由零点存在性定理知在存在唯一，使得，在内存在使，综上所述，从而求出实数a的取值范围。
22.【解析】【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的互化方法得出点D的直角坐标，再利用点A再椭圆上结合代入法设出点A的坐标，再设点，再利用条件结合中点坐标公式，从而消去参数求出点M的轨迹方程。
〔2〕利用椭圆参数方程结合参数方程与普通方程的互化方法，从而得出椭圆C的普通方程为，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出椭圆的极坐标方程为，因为，设，，再利用求距离公式，得出 (定值)，再利用三角形面积公式得出，再利用正弦型函数的图像求值域的方法结合二次函数图象求最值的方法，从而求出三角形面积的最大值。
23.【解析】【分析】(1)利用绝对值的定义去绝对值，分情况讨论求解出不同情况下的x的取值范围，并把每种情况的结果并起来即可得出结果。(2)利用绝对值三角不等式的性质结合绝对值的含有即可求出m的取值范围即可。