2021届江西省南昌市高三理数一模试卷及答案

这是一份2021届江西省南昌市高三理数一模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.复数 满足 ，那么 〔     〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
3.椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，那么 ＝〔    〕
A.                                          B. 2                                         C. 4                                         D. 
4.如图 ， ， ， 分别是菱形 的边 ， ， ， 上的点，且 ， ， ， ，现将 沿 折起，得到空间四边形 ，在折起过程中，以下说法正确的选项是〔     〕

A. 直线 ， 有可能平行
B. 直线 ， 一定异面
C. 直线 ， 一定相交，且交点一定在直线 上
D. 直线 ， 一定相交，但交点不一定在直线 上
5.中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ， ， ，那么 〔     〕
A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 
6.如图，将框图输出的 看成输入的 的函数，得到函数 ，那么 的图象〔     〕

A. 关于直线 对称     B. 关于直线 对称     C. 关于 轴对称     D. 关于点 〔0，0〕 对称
7.直线 的方程是 ，那么“原点 在直线 的右上方〞是“点 〞在直线 的右上方的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
8.正数 满足 ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
9.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.下面左图是单叶双曲面〔由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形〕型建筑，右图是其中截面最细附近处的局部图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径 米，上底直径 米， 与 间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，那么最细局部处的直径为〔     〕

A. 10米                                B. 20米                                C. 米                                D. 米
10. ，那么 〔    〕
A. 或1                          B. 或－1                          C. 或1                          D. 或－1
11.如下列图某加油站地下圆柱体储油罐示意图，储油罐长度为 ，截面半径为 〔 为常量〕，油面高度为 ，油面宽度为 ，储油量为 〔 为变量〕，那么以下说法：
① 是 的函数   ② 是 的函数   ③ 是 的函数  ④ 是 的函数

其中正确的个数是〔    〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
12. 的最小值为0，那么正实数 的最小值是〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 1
二、填空题
13. ，那么向量 夹角的余弦值为________．
14.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中 的系数为________．
15.2021年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数
300
400
500
600
700
感染人数
3
3
6
6
7
并求得 与 的回归方程为 ，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为 ；注射疫苗后仍被感染的人数记为 ，那么估计该疫苗的有效率为________． 〔疫苗的有效率为 ；参考数据： ；结果保存3位有效数字〕
16.如图， 是圆台的轴截面， ，过点 与 垂直的平面交下底圆周于 两点，那么四面体 的体积为________．

三、解答题
17. 为公差不为0的等差数列，且 ， ， ， 成等比数列.
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕设 ，求数列 的前 项和 .
18.如图三棱柱 中， ，侧面 是矩形，侧面 是菱形， ， 是棱 的中点．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕设 是 的中点，求二面角 的余弦值．
19.函数 为自然对数的底数〕．
〔1〕当 时，讨论 的单调性；
〔2〕假设 在 上单调递增，求证： ．
20.为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个答复〔每个题抽后不放回〕，要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是 ．
〔1〕假设小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；
〔2〕假设小明第一个题是从第一类题中抽出并答复正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题答复？
21.抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的动直线 与抛物线交于 两点，直线 过点 ，且点 关于直线 的对称点 ．

〔1〕求抛物线 的方程，并证明直线 是抛物线 的切线；
〔2〕过点 且垂直于 的直线交 轴于点 ， ， 与抛物线 的另一个交点分别为 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的参数方程为： 〔 为参数〕，直线 的极坐标方程为： .
〔1〕求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
〔2〕设 ， 是曲线 与直线 的公共点， ，求 的值.
23. ．
〔1〕当 时，求不等式 的解集；
〔2〕假设不等式 恒成立，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 或 ，
所以 ，
，
所以 。
故答案为：D.

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用正弦函数的图像求值域的方法求出集合B，再利用交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】解 复数 满足 ，
,
。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么，从而求出复数z，再利用复数求模的公式，从而求出复数的模。
3.【解析】【解答】由 得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 。
故答案为：D

【分析】将椭圆的方程转化为标准方程，从而确定焦点的位置，进而求出a,b的值，从而求出椭圆的左顶点A和上顶点B的坐标， 再利用两点距离公式，从而求出的值。
4.【解析】【解答】解： ， ，
，那么 ，且 ，
又 ， ，
，那么 ，且 ，
，且 ，
四边形 为平面四边形，故直线 ， 一定共面，故 错误；
假设直线 与 平行，那么四边形 为平行四边形，可得 ，与 矛盾，故 错误；
由 ，且 ， ， ，可得直线 ， 一定相交，设交点为 ，

那么 ，又 平面 ，可得 平面 ，同理， 平面 ，
而平面 平面 ， ，即直线 ， 一定相交，且交点一定在直线 上，故 正确， 错误．
故答案为：C．

【分析】利用条件结合折叠的方法，再利用两直线平行的判断方法、异面直线的判断方法、相交直线的判断方法，点在直线的判断方法，从而找出说法正确的选项。
5.【解析】【解答】解：由题意可知， ，
由正弦定理可知 ，
所以 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合三角形内角和为180度的性质，从而求出角A的值，再利用正弦定理，从而求出b的值。
6.【解析】【解答】由框图得到分段函数 ，画出图象如下：

那么由图判断出D符合题意。
故答案为：D

【分析】利用条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，从而求出分段函数的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，从而判断出分段函数图象的对称性。
7.【解析】【解答】假设原点 在直线 ： 的右上方，那么 ，可得 ，
假设点 在直线 ： 的右上方，那么 ，可得 ，
因为 可得出 ，
但 得不出 ，
所以 是 的充分不必要条件，
即可得“原点 在直线 的右上方〞是“点 〞在直线 的右上方的充分不必要条件。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“原点 在直线 的右上方〞是“点 〞在直线 的右上方的充分不必要条件。
8.【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
和 的图象如图：

由图可知 ，又 ，
所以 。
故答案为：B

【分析】因为 ， ， ，所以 ， ， ， ，再画出两函数和 的图象，再由图可知 ，又因为 ，从而比较出a,b,c的大小。
 
9.【解析】【解答】解：建立如图的坐标系，

依题意， 与 间的距离为80米，与上下底面等距离的 处的直径等于 ，根据双曲线的对称性， 点与 点的纵坐标互为相反数，所以 ，那么
由题意可知 ， ， ， ，
设双曲线方程为： ，
∴ ，解得 ， ，
。
故答案为：B．

【分析】建立直角坐标系，依题意， 与 间的距离为80米，与上下底面等距离的 处的直径等于 ，根据双曲线的对称性， 点与 点的纵坐标互为相反数，所以 ，那么 ， 由题意可知 ， ， ， ，设双曲线标准方程为： ，再利用代入法解方程组求出a,b的值，从而求出最细局部处的直径。
10.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 ，
所以 或 。
故答案为：A

【分析】因为 ，所以 ，再利用诱导公式得出，再利用二倍角的余弦公式结合平方差公式，从而求出的值，再利用诱导公式得出 ，从而求出 的值。
11.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 是 的函数，故④正确；
因为 ，所以 ，对于 的每一个取值，都有2个 与之对应，所以 不是 的函数，故③不正确；
由 知，对于 的每一个取值，都有2个 与之对应，而对于 的每一个取值，弓形的面积都有一个取值与之对应，所以根据柱体体积公式可知，对于 的每一个取值，都有2个 与之对应，所以 不是 的函数，故②不正确；
根据根据柱体体积公式可知，对于每一个确定的 ，都有唯一的一个 与之对应，对于每一个确定的 ，都有唯一的 与之对应，所以 是 的函数，故①正确.
故答案为：B

【分析】利用条件结合函数的定义，从而选出正确的个数。
12.【解析】【解答】因为函数 的最小值为0，
所以 的图象在函数 的图象的上方相切，

因为 ，所以 的图象与 轴的交点在 轴负半轴上，
由图可知当正数 最小时，直线 与 在 内的图象相切，
设切点为 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，从而得到正实数 的最小值是。
故答案为：C

【分析】因为函数 的最小值为0，所以 的图象在函数 的图象的上方相切，因为 ，所以 的图象与 轴的交点在 轴负半轴上，由图可知，当正数 最小时，直线 与 在 内的图象相切，设切点为 ，再利用求导的方法得出的值 ，因为 ，所以 ，再利用代入法求出 的值 ，由 ，从而求出正实数 的最小值。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为
所以 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合向量求模公式，从而求出向量的模，再利用条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 夹角的余弦值 。
14.【解析】【解答】因为 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
所以 ，所以 ，
其通项公式为 ，
所以展开式中 的系数为 。
故答案为：-160。

【分析】因为 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以 ，所以 ，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中 的系数 。
15.【解析】【解答】由题设表格中的数据可得 ，故 ，
故 ，而 ，
故疫苗有效率为 。
故答案为：0.817。

【分析】由题设表格中的数据结合平均数公式，从而求出中心点的坐标，再利用线性回归方程恒过中心点，从而结合代入法求出a的值，再利用代入法求出N的值，进而求出n的值，再利用古典概型求概率公式结合对立事件求概率公式，从而估计出该疫苗的有效率。
16.【解析】【解答】如图，连接 ，设 交 于 ，连接 ，
过 作 ，交 于 ，

因为 平面 ， 平面 ，又 平面 ，故 .
因为梯形 是圆台的轴截面，故平面 平面 ，
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，同理 ，而 为底面圆的直径，故 为 的中点，
故 为等腰三角形，所以 ，
如图，在梯形 中，

因为 ， ，而 ，
故 ，故 为等腰直角三角形，故 ，
故 ，故 ，所以 ，
故四边形 为平行四边形，结合 可得 为矩形，
故 .
在底面圆中，设底面圆的圆心为 ，那么 ，故 ，
故 。
故答案为： 。

【分析】连接 ，设 交 于 ，连接 ，过 作 ，交 于 ，因为 平面 ， 再利用线面垂直的定义推出线线垂直，故 ， 因为梯形 是圆台的轴截面，故平面 平面 ，因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，故 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故 ，再利用线线垂直证出线面垂直，故 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故 ，同理 ，而 为底面圆的直径，故 为 的中点，故 为等腰三角形，再利用三棱锥体积公式结合求和法，从而求出，在梯形 中，因为 ， ，而 ，再利用勾股定理求出DS的长，再结合等腰直角三角形的定义推出三角形 为等腰直角三角形，故 ，故 ，故 ，所以 ，再利用平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，结合 可得 为矩形，再利用三角形的面积公式求出 的值，在底面圆中，设底面圆的圆心为 ，那么 ，再利用弦长公式得出EF的长，再利用三棱锥的体积公式，从而求出四面体 的体积。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，从而求出等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出等差数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的等差数列的通项公式结合 ， 从而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和。
 
18.【解析】【分析】〔1) 因为侧面 是矩形，所以 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，因为侧面 是菱形， ， 是棱 的中点，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
〔2〕 由〔1〕知， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，由 平面 ， ，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，所以 两两垂直，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用b的值求出函数的解析式，再利用分类讨论的方法，从而结合求导的方法讨论出函数的单调性。
〔2〕利用导数的运算法那么求出函数的导函数为，令 ，得 或 ，因为 在 上单调递增，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 在 上恒成立，所以 ，所以 ，所以 ，令 ，再利用导数的运算法那么求出函数的导函数，那么   ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，又因为 ，所以 时， ， ，当 时， ， ，从而利用求导的方法判断函数的单调性，所以 在 上递减，在 上递增，从而求出函数的最小值，所以 ，所以 ，从而证出 。
20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，从而结合二项分布求概率公式，再利用互斥事件加法求概率公式，从而求出这次竞赛中，小明共答对3个题的概率。
〔2〕利用分类讨论的方法结合条件，从而结合数学期望的求解方法，进而通过数学期望比较法，从而应该选择从第二类题目中选3道。
21.【解析】【分析】〔1〕 因为点 与点 关于直线 对称，所以直线 是 的中垂线，因为点 在直线 上，所以 ，由 ， ，可知 与直线 垂直，所以直线 是抛物线的准线，由抛物线的定义可得 ，从而求出抛物线 的标准方程，进而求出焦点坐标，再利用两点求斜率公式求出直线FR的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，从而求出直线 的斜率，又因为抛物线方程 ，再利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率，从而证出直线 是抛物线 的切线。
〔2〕 设 ， ， ， ，由题意可得： ，再利用两点求斜率公式，得 ，因为 ，所以 ，令直线 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理可得 ，即 ，设直线 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理可得 ， 即 ，同理可得： ，因此 ，再利用三角形面积公式得出，从而求出 的取值范围。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合参数方程与普通方程的转化方法，从而求出曲线C的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出直线l的直角坐标方程。
〔2〕利用 ， 是曲线 与直线 的公共点， 联立直线与曲线的方程求出交点A,B的坐标，再利用条件结合两点求距离公式，进而求出 的值 。
23.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再利用零点分段法求出绝对值不等式的解集
(2)因为， ，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性，从而结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。