2021届河南省新乡市高三理数第三次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届河南省新乡市高三理数第三次模拟考试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第三次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.假设复数 ，且 ，那么 〔    〕
A. ±1                                      B.                                       C.                                       D. ±2



2.集合 ， ，那么集合 的元素个数是〔    〕
A. 6                                                      B. 7                                                      C. 8                                                      D. 5



3.假设 ， ，那么 〔    〕
A.                                                       B.                                                       C.                                                       D. 



4.为庆祝建党100周年，某校组织了一场以“不忘初心，牢记使命〞为主题的演讲比赛，该校高一年级某班准备从7名男生，5名女生中任选2人参加该校组织的演讲比赛，那么参赛的2人中至少有1名女生的概率是〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 



5.假设函数 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件

             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件



6.在三楼锥 中， 为 的中点， 底面 ， ， ， ，假设 与底面 所成角为45°，那么三棱锥 的体积为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 



7.假设正整数 除以正整数 得到的余数为 ，那么记为 ，例如 .如下列图的程序框图的算法源于我国古代的?中国剩余定理?.执行该程序框图，那么输出的 〔    〕

A. 109                                      B. 121                                      C. 107                                      D. 124



8.函数 的定义域是 ，值域为 ，那么 的最大值是〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 



9.某冷饮店的日销售额 (单位：元)与当天的最高气温 (单位：℃， )的关系式为 ，那么该冷饮店的日销售额的最大值约为〔    〕
A. 907元                                 B. 910元                                 C. 915元                                 D. 920元



10.某三棱锥的三视图如下列图.那么该三棱锥外接球的半径是〔    〕

A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 



11.抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于 ､ 两点(点 在第二象限)，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 



12.函数 .当 时.关于 的方程 恰有两个不同的实根，那么 的取值范围是〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 



二、填空题
13.向量 ， ，那么当 时， ________.
14.设 ， 满足约束条件 ，那么 的最大值是________.
15.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .以下各组条件中使得 有两解的是________.(填入所有符合的条件的序号)
① ， ，
② ， ，
③ ， ，
④ ， ，
16.双曲线 虚轴的一个顶点为 ，直线 与 交于 ， 两点，假设 的垂心在 的一条渐近线上，那么 的离心率为________.
三、解答题
17.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形， ， ， 分别是棱 ， 的中点，且 .

〔1〕证明：平面 平面 .
〔2〕求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
18.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯本钱为4元，售价为6元，如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉，奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
日需求量杯数
20
25
30
35
40
45
50
天数
5
5
10
15
10
10
5
以这60天记录中各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
〔1〕假设奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用 表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求 的分布列和数学期望；
〔2〕假设奶茶店每天准备的这款新晶奶茶杯数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由.
19.等比数列 的第2项和第5项分别为2和16，数列 的前 项和为 .
〔1〕求 ， ；
〔2〕求数列 的前 项和 .
20.椭圆 的长轴长为4，离心率为 .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点， ，假设 ，求 面积的最大值.
21.函数 .
〔1〕讨论 的单调性.
〔2〕当 时，证明： .
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数议程为 ( 为参数)，直线 与 的交点为 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求点 的轨迹 的普通方程；
〔2〕假设曲线 与曲线 相交于 ， 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值.
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集.
〔2〕假设函数 的最大值为 ，设 ， ，且 ，证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：由 ，
得 ，
．
故答案为：D

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求得m值．
2.【解析】【解答】由 可得 ，即
所以 ，所以集合 的元素个数是6
故答案为：A

【分析】 先解出集合A，集合B，然后根据交集的定义求出两集合的交集即可.
3.【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以
故答案为：B

【分析】由， 得， ， 再利用两角和差的正切公式进行计算即可。
4.【解析】【解答】所选2人中至少有1名女生的对立事件是所选2人都是男生，
所选2人中至少有1名女生的概率为 ．
故答案为：C

【分析】 由排列组合的知识可得分别求得所包含的根本领件数，由概率公式可得答案．
5.【解析】【解答】当 时，
当 时，可得 在 上单调递增，且 ，所以当 时，
所以 或
所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件
故答案为：A

【分析】 先判断函数的单调性，再根据充分必要条件的定义判断即可．
6.【解析】【解答】解：在三棱锥 中， 为 的中点， 底面 ， ， ， ，所以 ， ，

因为 底面 ，所以 即为 在平面 内的射影，即 为 与底面 所成角，又 与底面 所成角为45°，所以 ，所以
所以
故答案为：B

【分析】根据椎体的特点得出为 与底面 所成角，再根据三棱锥的体积公式即可得出答案。
7.【解析】【解答】依次执行程序框图：
，不满足 ，
，不满足 ，
，满足 ，不满足
，不满足
，不满足
，不满足
， ，满足
输出
故答案为：B

【分析】 由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
8.【解析】【解答】∵函数 的定义域是 ，
∴ ，
又 值域为 ，
∴ ，
根据正弦函数性质及 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值是 ，
故答案为：B

【分析】根据函数定义域，值域以及正弦函数的性质，求得m的范围，进而可得m的最大值。
9.【解析】【解答】解：因为 ， ，所以 ，所以当 时 ，即函数在 上单调递增，当 时 ，即函数在 上单调递减，
所以当 时，函数取值最大值，所以
故答案为：C

【分析】对函数求导，可得函数的单调性，进而求出冷饮店的日销售额的最大值 。
10.【解析】【解答】根据三视图可得该三棱锥的直观图如下：

取 、 的中点为 、
那么有 平面 ， ， ， ，
所以 ， ， ， 是 的外心
所以球心 在过点 ，且与平面 垂直的直线上

设外接球的半径为
在 中可得 ，即
在直角梯形 可得 ，即
可解出 ，
故答案为：A

【分析】 先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，球心 在过点 ，且与平面 垂直的直线上，然后利用过该棱锥所有顶点的球为正方体的外接球，求出该棱锥的外接球的半径．
11.【解析】【解答】解：如图，直线 为抛物线 的准线， ， ， ．

因为直线 的斜率为 ，设 ，那么 ，所以 ， ， ，
解得 ， ，故 ．
故答案为：D

【分析】如图，直线 为抛物线 的准线， ， ， ， 设 ，那么 ，所以 ，， ，求出， ，进而得出 。 
12.【解析】【解答】解：当 时， ，所以 不是方程 的实根
当 时，由 ，得 ．
方程 恰有两个不同的实根等价于直线 与函数 的图象有两个不同的交点．
因为 ，所以 ，
那么函数 的大致图象如下列图 因为 ，所以


故答案为：C
【分析】 由得f〔x〕=a|x-1|，作出函数y=f〔x〕，y=a|x-1|的图象，利用数形结合即可得到结论．
二、填空题
13.【解析】【解答】由 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．

【分析】根据向量模的定义进行计算即可。
14.【解析】【解答】解：因为 ， 满足约束条件 ，所以 ， 满足平面区域如图：

由 ，解得 ，所以
当直线 经过 时， 取最大，
所以 的最大值为6；
故答案为：6

【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 的最大值．
15.【解析】【解答】解：对于①，由余弦定理 ，可得 ，即 ，方程无解，可得 无解，故错误；
对于②，由余弦定理 ，可得 ，即 ，解得 ，可得 有一个解，故错误；
对于③，由余弦定理 ，可得 ，即 ，解得 或 ，可得 有两个解，故正确；
对于④，由余弦定理 ，可得 ，即 ，解得 或 ，可得 有两个解，故正确；
故答案为：③④

【分析】根据余弦定理逐个进行验证即可得出答案。
16.【解析】【解答】解：设 的垂心为 ，那么 ，

不妨设 ，那么 ，代入渐近线方程 ，解得 ，
那么 ，因为直线 与双曲线交于点 ， ，
那么 ， 两点的坐标分别为： ， ，
因为 ，
化简可得 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故答案为： ．
【分析】由  的垂心在  的一条渐近线上， 设 的垂心为 ，那么 ，再由直线 与双曲线交于点 ， ，由得，进而求得离心率。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕由条件可得 ， ， 可得  平面   ，再根据线面垂直的性质定理可得 ， 在根据面面垂直的判定定理可得平面  平面  ；
〔2〕 以  为原点，  分别为  轴建立空间直角坐标系， 求出平面  与平面  的法向量，再利用向量法求出平面  与平面  所成二面角的正弦值 。
18.【解析】【分析】 〔1〕由题意可得：假设当天只卖20杯，那么利润  元；同理可得假设当天只卖出25杯、30杯、35杯的利润，即可得出  的分布列与；
〔2〕假设店主每天准备40杯这款新品奶茶，假设当天需求20杯，可得利润 元， ；同理可得假设当天只卖出25杯、30杯、35杯、 40杯的利润，即可得出  的分布列与即可得出结论.
19.【解析】【分析】〔1〕根据等比数列的通项公式可求得  ，  再根据等差数列的求和公式可得  ；
〔2〕由〔1〕得 ，再有分组求和法求得 。
20.【解析】【分析】 〔1〕根据2a=4，及椭圆的离心率公式，即可求得c，那么b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的标准方程；
〔2〕将直线方程代入椭圆方程，利用点到直线的距离公式及弦长公式即可求得三角形面积，利用根本不等式的性质，即可求得△OAB面积的最大值．
21.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的定义域为，求出导函数，利用函数的导数判断f〔x〕的单调性；
〔2〕 令 ，求出导函数，构造函数令  ，  ，求导得 ， 令 ， 求导得 ，设 利用函数的导数判断函数的单调性，判断  在〔1，+∞〕上单调递增．然后证明结果．
 
22.【解析】【分析】 〔1〕直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
〔2〕利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
23.【解析】【分析】 〔1〕去绝对值写出分段函数解析式，然后对x分类求解不等式，取并集得答案；
〔2〕作出函数f〔x〕的图象，数形结合求得最大值m，可得 ，即    ，再由a，b＞0，得到 可得 ，结论得以证明。