2021届海南省高三数学第二次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届海南省高三数学第二次模拟考试试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学第二次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.              B.              C. 或              D. 或
2.在复平面内，复数 对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.的展开式中 的系数为〔    〕
A.                                    B.                                    C. 64                                   D. -128
4.向量 ， ，且 ，那么 〔    〕
A. -4                                           B. 1                                           C. 4                                           D. 7
5.设 ，那么 〔    〕
A. 2                                         B. 4                                         C. 8                                         D. -2或4
6.为了丰富教职工业余文化生活，某校方案在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
7.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为 ，那么球的外表积为〔    〕
A. 16π                                     B. 32π                                     C. 36π                                     D. 48π
8.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 表示.假设实数 满足 ，那么 〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、多项选择题
9.如下列图的统计图记录了2021年到2021年我国创造专利授权数和根底研究经费支出的情况，以下表达正确的选项是〔    〕

A. 这五年创造专利授权数的年增长率保持不变
B. 这五年根底研究经费支出比创造专利授权数的涨幅更大
C. 这五年的创造专利授权数与根底研究经费支出成负相关
D. 这五年根底研究经费支出与年份线性相关
10.以下函数中是偶函数，且在区间 上单调递增的是〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
11.双曲线 的离心率为 ，那么〔    〕
A. 的焦点在 轴上
B. 的虚轴长为2
C. 直线 与 相交的弦长为1
D. 的渐近线方程为
12.函数 ，那么〔    〕
A. 是奇函数
B. 是周期函数且最小正周期为
C. 的值域是
D. 当 时
三、填空题
13.等比数列 满足 ，那么 ________.
14.函数 的零点个数为________.
15.抛物线 的焦点为 ，点 ， 在 上，满足 ，且 ，点 是抛物线的准线上任意一点，那么 的面积为________.
16.如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为 ，那么该正八棱锥的高和底面边长之比为________.(参考数据： )

四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的 存在，求出其面积；假设不存在，说明理由.
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，  ▲  ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.公比大于0的等比数列 的前 项和为 ， ， 是 和 的等差中项.
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 .
19.甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的 ， 两点处投篮，甲在 ， 两点的命中率均为 ，乙在 点的命中率为 ，在 点的命中率为 ，且他们每次投篮互不影响.
〔1〕假设甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；
〔2〕假设甲和乙每人在 ， 两点各投篮一次，且在 点命中计2分，在 点命中计1分，未命中那么计0分，设甲的得分为 ，乙的得分为 ，写出 和 的分布列，假设 ，求 的值.
20.如下列图，四棱柱 的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点 ， 分别在棱 ， 上，且满足 ， ，平面 与平面 的交线为 .

〔1〕证明：直线 平面 ；
〔2〕 ， ，设 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
21.函数 ， .
〔1〕假设 ，求 的极值；
〔2〕假设对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
22.椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点( 与 轴不重合)， ， 的周长分别为12和8.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕在 轴上是否存在一点 ，使得直线 与 的斜率之积为定值？假设存在，请求出所有满足条件的点 的坐标；假设不存在，请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为集合 或 ，
所以 。
故答案为：A

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用补集的运算法那么，进而求出集合。
2.【解析】【解答】由复数的运算法那么，可得 ，
对应的点 位于第四象限。
故答案为：D.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数，再利用复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，进而判断出复数 对应的点所在的象限。
3.【解析】【解答】 展开式的通项公式为 ，
令 ，那么 ，
所以 的展开式中 的系数为 。
故答案为：D

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中 的系数 。
4.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 。
故答案为：C

【分析】利用条件结合向量的模的坐标公式，进而求出向量的模，再利用数量积的定义，进而求出数量积的值。
5.【解析】【解答】条件中的等式左边 ，
所以 ，
解得 或 (舍去)。
故答案为：B

【分析】利用条件结合换底公式得出，再利用一元二次方程求根公式，进而结合对数型函数的定义域，从而求出满足要求的m的值。
6.【解析】【解答】设该校男老师的人数为 ，女老师的人数为 ，那么可得如下表格：
 
方案一
方案二
男老师


女老师


由题意， ，可得 ，所以 。
故答案为：B

【分析】设该校男老师的人数为 ，女老师的人数为 ，再利用实际问题中的条件结合两种方案，进而求出的值，从而求出该校全体老师中女老师的比例。
7.【解析】【解答】设球的半径为 ，圆锥的底面半径为 ，因为球心到截面的距离为1，
所以有： ，
那么题中圆锥体积 ，解得 ，故球的外表积为 。
故答案为：C

【分析】设球的半径为 ，圆锥的底面半径为 ，因为球心到截面的距离为1，再利用勾股定理求出圆锥的底面半径，再利用圆锥的体积公式结合条件，进而求出球的半径长，再利用球的外表积公式，进而求出球的外表积。
8.【解析】【解答】根据题中的条件可得 。
故答案为：A．

【分析】根据题中的条件结合同角三角函数根本关系式和二倍角的正弦公式，进而化简求出的值。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由条形图可看出创造专利授权数每年的涨幅不一致，A不符合题意；
2021年的创造专利授权数约450千项，2021年的约为360千项，涨幅约为25%，2021年的根底研究经费支出约为1200亿元，2021年的约为700亿元，涨幅约为71%，B符合题意；
这五年的创造专利授权数与根底研究经费支出都是逐年增加，因此两者是正相关，C不符合题意；
由折线图可以看出根底研究经费支出与年份有较强的线性相关性，D符合题意.
故答案为：BD

【分析】利用2021年到2021年我国创造专利授权数和根底研究经费支出的情况图结合统计的知识，进而找出表达正确的选项。
10.【解析】【解答】A，因为 ， 是偶函数，在区间 上为增函数，符合题意；
B，因为 ， 是奇函数，且在区间 上为减函数，不符合题意；
C，因为 ， 是偶函数，当 时， 单调递减，不符合题意；
D，因为 ， 是偶函数，且在区间 上为增函数，符合题意.
故答案为：AD

【分析】利用偶函数的定义和增函数的定义，再结合条件，进而判断出既是偶函数且在区间 上单调递增的函数。
11.【解析】【解答】由 可知双曲线 的焦点在 轴上，A不符合题意；
双曲线的离心率 ，解得 ， 的虚轴长为 ，B符合题意；
由B选项知 ，把 代入双曲线的方程 得 ，故弦长为1，C符合题意；
由B选项知 且 ，且焦点在x轴上，双曲线 的渐近线方程为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】利用条件结合双曲线离心率公式，进而结合双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出双曲线的标准方程，进而确定焦点的位置；再利用虚轴长的定义求出双曲线的虚轴长；再联立直线与双曲线方程结合韦达定理和弦长公式，进而求出直线 与双曲线 相交的弦长；再利用双曲线确定的焦点的位置，进而结合渐近线方程求出双曲线的渐近线方程。
12.【解析】【解答】A. ，故 是奇函数，A符合题意；B.因为 的最小正周期是 ， 的最小正周期为 ，二者的“最小公倍数〞是 ，故 是 的最小正周期，B符合题意；
C.分析 的最大值，因为 ， ，所以 ，等号成立的条件是 和 同时成立，而当 即 时， ， C不符合题意；
D.展开整理可得 ，易知当 时， ，D符合题意.
故答案为：ABD

【分析】利用奇函数的定义判断函数为奇函数；利用周期函数的定义，进而判断函数为周期函数，并求出其最小正周期；利用正弦函数和正弦型函数的图象，进而求出函数f(x)的值域；利用两角和的正弦公式结合x的取值范围，进而求出当 时的函数的值域，进而选出正确的选项。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 。
故答案为：4。

【分析】利用条件结合等比中项公式，进而求出等比数列第六项的值，再利用等比中项公式结合等比数列第六项的值，进而求出的值。
 
14.【解析】【解答】因为 ，
所以 单调递增，又因为 ，所以 有且仅有1个零点。
故答案为：1。

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性结合函数零点的定义，进而求出函数零点的个数。
15.【解析】【解答】不妨设抛物线 〔 〕，
因为 ，所以 ，所以 是线段 的中点，那么 与 轴垂直，
所以 ，
所以 ， ，
点 到 的距离为 ，所以 。
故答案为：16。

【分析】不妨设抛物线 〔 〕，因为 ，再利用相反向量的定义，所以 ，所以 是线段 的中点，那么 与 轴垂直，再利用条件 结合数量积的坐标表示，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程，再利用点 ， 在 上，结合弦长公式，进而求出线段AB的长，再利用点到直线的距离公式，进而求出点 到 的距离，再结合三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
16.【解析】【解答】如下列图:

点 是正八棱锥的顶点，点 是底面的中心， 是底面的一条边， 是 的中点,
根据题意知 ，
因为 ，
设 ，那么 ，
又因为二面角 的大小为 ，即 ，
所以 ，
即正八棱锥的高和底面边长之比为 。
故答案为： 。

【分析】因为点 是正八棱锥的顶点，点 是底面的中心， 是底面的一条边， 是 的中点,根据题意知 ，再利用正切函数的定义求出OM的长，又因为二面角 的大小为 ，即 ，再利用正切函数的定义求出OP的长，进而求出正八棱锥的高和底面边长之比。
四、解答题
17.【解析】【分析】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在问题中并答复。假设选择条件①，利用条件结合余弦定理结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值，再利用条件，进而解方程组求出a,b的值，从而利用三角形面积公式求出三角形的面积； 假设选择条件 ② ，利用条件结合正弦定理结合三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值，再利用条件结合勾股定理，进而解方程组求出a,b的值，从而利用三角形面积公式求出三角形的面积； 假设选择条件 ③ ，利用条件结合二倍角的正弦公式，进而求出角C的值，再利用余弦定理求出ab的值，从而 ，显然不成立，因此，不存在满足条件的三角形。
 
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，再结合等比数列前n项和公式，进而解方程组求出满足要求的等比数列的公比，再利用等比数列的性质，进而求出等比数列 的通项公式 。
〔2〕利用〔1〕求出的等比数列的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，进而求出数列 的前 项和。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合对立事件求概率公式，进而求出甲投篮4次，求他至多命中3次的概率。
〔2〕利用条件求出随机变量X,Y的分布列，再利用分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X,Y的数学期望，再利用条件 ，进而求出 的值。
20.【解析】【分析】〔1〕 连接 ，与 交于点 ， 由条件可知 ，且 ，所以 ， 再利用线线平行证出线面平行，即 平面 ，再利用线面平行的性质定理，进而证出线线平行，即，因为四棱柱 的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，所以 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，即平面 ，所以直线 平面 。
〔2〕 以 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 ， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，设 ，因为 ，所以 ，那么 ，再利用勾股定理求出 的长，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式结合诱导公式，进而求出  ， 再结合在给定区间上二次函数求值域的方法，从而求出 的取值范围 。
21.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性，进而求出函数的极值。
〔2〕 对任意 ，都有 成立， 即 ，因为当 时，有 (等号不同时成立)，即 ，所以原不等式又等价于 ，要使得对任意 ，都有 成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，即 ， 令 ， ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，从而求出实数a的取值范围。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件 ， 的周长分别为12和8 ，再结合三角形周长公式，进而解方程组求出a,c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 因为直线 过点 且不与 轴重合，所以设直线 的斜截式方程为 ， 再利用过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点( 与 轴不重合)， 联立二者方程结合韦达定理和两点求斜率公式，再结合分类讨论的方法，进而求出使得直线 与 的斜率之积为定值的 轴上的一点 的坐标。