2021届河北省沧州市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届河北省沧州市高三数学三模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
2.设复数 满足 ，那么 在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.假设某人侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 来描述该物种累计繁殖数量 与入侵时间 〔单位：天〕之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 ， .据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为〔 ， 〕〔    〕
A. 6.9天                                 B. 11.0天                                 C. 13.8天                                 
4.非零向量 满足 ，且 ，那么 与 的夹角为〔      〕
A. 45°                                     B. 135°                                     C. 60°                                     D. 120°
5.把函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 的图象，那么〔    〕
A.                                      B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线 对称                       D. 在 上单调递减
6.函数 ，那么〔    〕
A. 的单调递减区间为                              B. 的极小值点为1
C. 的极大值为-1                                             D. 的最小值为-1
7. ，那么 〔    〕
A.                                        B. 1                                       C.                                        D. 0
8.正四棱锥 的所有棱长均为 ， ， 分别是 ， 的中点， 为棱 上异于 ， 的一动点，现有以下结论：
①线段 的长度是 ；
② 周长的最小值为 ；
③存在点 使得 平面 ；
④ 始终是钝角.
其中不正确的结论共有〔    〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、多项选择题
9.家庭开支是指一般生活开支的人均细分．如下列图的是2021年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．

根据以上信息，判断以下结论中不正确的选项是〔    〕
A. 小王一家2021年的家庭收入比2021年増加了1倍
B. 小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2021年的2倍
C. 小王一家2021年用于饮食的支出费用相比2021年明显增加
D. 小王一家2021年用于娛乐的费用比2021年增加了7%
10.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如下列图，圆筒内径长 ，外径长 ，筒高 ，中部为棱长是 的正方体的一局部，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，那么〔    〕

A. 该玉琮的体积为 ( )                        B. 该玉琮的体积为 ( )
C. 该玉琮的外表积为 ( )                       D. 该玉琮的外表积为 ( )
11.点 ，假设过点 的直线 交圆 ： 于 ， 两点， 是圆 上一动点，那么〔    〕
A. 的最小值为                                            B. 到 的距离的最大值为
C. 的最小值为                           D. 的最大值为
12.斜率为 的直线 过抛物线 ： ( )的焦点，且与抛物线 交于 ， 两点，抛物线 的准线上一点 ，满足 ，那么〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 的面积为
三、填空题
13.设 是等差数列 的前 项和，假设 ， ，那么 ________.
14.函数 的定义域为 ，对任意 ， 恒成立，且当 时， ，那么 ________.
15.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如下列图的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘〔靶盘各块上标有分值〕，现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶〔不考虑区域边界〕，那么两次投中分值之和为2的概率为________.

16.双曲线 的右焦点为 ，其一条渐近线的方程为 ，点 为双曲线 与圆 的一个交点，假设 ，那么双曲线 的离心率为________； ________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
问题：锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且___________.
〔1〕求 ；
〔2〕求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.数列 中， ，其前 项和 满足 .
〔1〕求 ；
〔2〕记 ，求数列 的前 项和 .
19.2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了稳固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖工程.为了建设相应的配套工程，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量 〔单位：万只〕与相应年份代码 的数据如下表：
年份
2021
2021
2021
2021
2021
2021
年份代码
1
2
3
4
5
6
售卖山羊数量 〔万只〕
11
13
16
15
20
21
〔1〕由表可知 与 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
〔2〕该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为 ，甲品种山羊到达售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊到达售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要到达售卖标准所需的养殖时间如下表：
养殖时间〔月数〕
6
7
8
9
甲品种山羊〔只〕
20
35
35
10
乙品种山羊〔只〕
10
30
40
20
以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间〔即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率〕，且每月每只山羊的养殖本钱为300元，结合〔1〕中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望〔假设山羊到达售卖标准后全部及时卖完〕.〔利润=卖山羊的收入一山羊的养殖本钱〕
参考公式及数据：回归直线方程为 ，其中 ， .
20.如图，在三棱柱 中， ， ， ， .

〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
21.椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点离右焦点 的最短距离为1.
〔1〕求椭圆 的方程.
〔2〕直线 〔斜率不为0〕经过 点，与椭圆 交于 两点，问 轴上是否存在一定点 ，使得 ？假设存在，求出 点的坐标；假设不存在，请说明理由.
22.函数 .
〔1〕当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
〔2〕假设 有两个零点，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，所以 .
故答案为：A.

【分析】根据题意由一元二次不等式的解法，求解出集合A再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 在复平面内对应的点位于第四象限.
故答案为：D.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质，整理再结合复数的代数形式即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，解得 .
设初始时间为 ，初始累计繁殖数量为 ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为 ，
那么 天.
故答案为：C

【分析】根据题意代入数值计算出Q和T的值，由此得出， 结合题意代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】 ， ，
即 ，又 且 ，
，
，又 ， ，即 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由数量积的运算性质整理即可得出， 再由夹角的取值范围求出夹角的大小即可。
5.【解析】【解答】将函数 图象向左平移 个单位长度得到的图象，再向上平移1个单位长度可得到 的图象，A不符合题意.
，B不符合题意；
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，C不符合题意.
令 ，
，
所以 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.

【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得到函数的解析式，由此判断出选项A错误；结合正弦函数的周期公式就可求出周期值，由此判断出选项B错误；由正弦函数的图象即可判断出选项C错误，选项D正确，由此得出答案即可。
6.【解析】【解答】 .令 ，那么 ，
所以 在 上单调递减.因为 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故 的极大值点为1， 的极大值为
故答案为：C

【分析】首先根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的得到区间即可求出函数的极值。
7.【解析】【解答】令 ，那么 ，
显然， ， ，
.
故答案为：A.

【分析】根据题意令， 由此整理得到函数的解析式，从而得到， ， 结合题意由绝对值的几何意义整理计算出结果即可。
8.【解析】【解答】如图1，设正方形 的中心为 ，连接 ， ，那么 平面 ， .设 的中点为 ，连接 ， ，那么 ，所以 . 中， ， ， ，所以由余弦定理可得 ，所以 ，故①不正确.

将正 和 沿 翻折到一个平面内，
如图2，当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，

此时，点 为 的中点， ，
所以 周长的最小值为 ，故②正确.
假设 平面 ，那么 ，
此时点 为 上靠近点 的四等分点，
而此时， 与 显然不垂直，故③不正确.
当点 在线段 上无限靠近点 时， 的长度无限趋向于 ，
趋向于以点 为顶点的等腰三角形，此时 为一个锐角，故④不正确.
故答案为：C.

【分析】 由题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，由此得出结合三角形的几何计算关系整理得出， 以及， 再由余弦定理代入数值计算出结果由此判断出①错误；根据题意可知，当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，利用中点的性质即可得出， 从而求出三角形的周长从而判断出②正确；由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由题意即可得出此时点 为 上靠近点 的四等分点，而此时， 与 显然不垂直判断出③错误；当点 在线段 上无限靠近点 时， 的长度无限趋向于 ，趋向于以点 为顶点的等腰三角形，此时 为一个锐角，故④正确，由此得出答案即可。

 
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a ， 那么2021年总收入为 ，2021年总收入为 ．
因为小王家2021年的家庭收入比2021年增加了 ，即増加了50%，所以A不符合题意 ．
因为小王家2021年和2021年用于其他方面的支出费用分别为 和 ，所以B不符合题意 ．
因为小王家2021年和2021年用于饮食的费用分別为 和 ，明显增加，所以C符合题意 ．
因为小王家2021年和2021年的总收入不一样，所以D不符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据题意由频率分布图中的数据，对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】由图可知，组合体的体积 ( ).
( ).
故答案为：BD．

【分析】根据题意结合圆柱和正方体的体积公式和外表积公式，代入数值对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】如图，当直线 与 轴垂直时， 有最小值，且最小值为 ，所以A符合题意；

设 ，那么 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，所以C不符合题意；
当 ， ， 三点共线时， 最大，且最大值为 ，所以D符合题意；
当直线 与 垂直时， 到 的距离有最大值，且最大值为 ，所以B符合题意.
故答案为：ABD

【分析】根据题意作出图形，当直线 与 轴垂直时， 有最小值，求出最小值，由此判断出选项A正确；由数量积的坐标公式代入数值整理得到， 由余弦函数的性质即可得出最小值，由此判断出C错误；由条件即可得出当 ， ， 三点共线时， 最大，由此判断出选项D正确；再由当直线 与 垂直时， 到 的距离有最大值，由此判断出选项B正确，从而得出答案。
12.【解析】【解答】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，得 ，A符合题意.
因为 ，所以抛物线 的方程为 ，其焦点为 .
因为直线 过抛物线的焦点 ，所以直线 的方程为 .
因为 ，所以 在以 为直径的圆上.
设点 ， ，联立方程组 两式相减可得 .
设 的中点为 ，那么 .因为点 在直线 上，所以 ，
所以点 是以 为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知，圆 的半径 .，
因为 ，所以 ，
解得 ，B符合题意.
因为 ，所以弦长 ，C不正确.
因为 ，所以直线 为 ，由点到直线的距离公式可得，
点 到直线 的距离 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD

【分析】 根据题意对于A，由题意可得抛物线C的准线为x=-1，从而可求得P=2，进而可判断A；对于B，抛物线C的方程为y2=4x，焦点为F(1，0)，那么直线的方程为y=k〔x-1〕，设， ， 设AB的中点为， 利用点差法可， 那么元，再结合可得M 在以AB 为直径的圆上，从而可求出直线的斜率；对于C，利用公式求解即可；对于D，利用点到直线的距离求出点M 到直线的距离，从而可求出△M.AB 的面积
三、填空题
13.【解析】【解答】设 的公差为 .因为 所以 ，
解得
所以 ，
故答案为：64

【分析】根据题意由等差数列的通项公式以及等差数列前n项和公式整理即可得出关于首项和公差的方程，求解出结果并把数值代入到数列前n项和公式计算出结果即可。
14.【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：54.

【分析】由条件结合题意代入数值计算出结果即可。
15.【解析】【解答】由图可知， ， ， ，
， ， ， ，
所以两次投中分值之和为2的概率为：
，
.
故答案为：

【分析】首项由条件求出满足条件的各个概率，再由概率的加法以及乘法公式代入数值计算出结果即可。
16.【解析】【解答】设 为双曲线 的左焦点，
因为 ，一条渐近线的方程为 ，所以 ，那么 ，
故离心率为 ；
圆 的圆心为双曲线 的左焦点，设双曲线 的左焦点为 ，
因为 ，所以 在双曲线的右支上，由 ，得 .
故答案为： ；8.

【分析】首先由双曲线的简单性质计算出a、b、c的值，由此得到离心率的值，再由题意结合双曲线的定义整理即可求出r的值。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1) 选① 根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式整理原式，得到由此得出cosA的值，由此求出角A的大小。 选②由正弦定理以及两角和的正弦公式整理得到， 由此得到cos A的值，从而求出角A的大小。 选③由正弦定理以及两角和的正弦公式整理，得到， 结合同角三角函数的根本关系式即可求出， 由此得出角A的大小。
(2)根据题意由角A的大小整理得到， 再由角B的取值范围整理得到， 结合正弦函数的性质即可得出， 从而得到结果。
 
 
18.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式以及等比数列前n项和公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由裂项相消法即可得出答案。
 
 
19.【解析】【分析】(1)根据题意由平均数公式代入数值计算出样本中心点的坐标，并把数值代入到的公式计算出结果即可。
(2) 由〔1〕可知，当 时，可得 ，再由期望公式代入数值计算出结果即可。
 
 
20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由此得出三角形中边与角的大小，再由余弦定理代入数值求出边的大小，再由勾股定理计算出线线垂直，同理即可得出， 再由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的余弦值。
 
 
21.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的性质整理得到， 再由椭圆里a、b、c的关系计算出a、b、c的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，再由斜率的坐标公式整理代入整理由此得到， 从而得出t的值由此得证出结论。
 
 
 
22.【解析】【分析】(1)首先由a的值求出函数的解析式，再对其求导并把数值代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意由条件即可得出于 的方程 有两个不同的解，令， 那么 与 的图象有两个交点，对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值，由此得到从而得到a的取值范围。