2021届山东省潍坊市高三数学一模考试试卷及答案

 高三数学一模考试试卷

一、单项选择题

1.集合 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕           

A.                             B.                             C.                             D. 

2.复数 〔 为虚部单位〕，那么 的最大值为〔    〕           

A. 1                                          B.                                           C. 2                                          D. 4

3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 

在以下四个函数模型〔 为待定系数〕中，最能反映 函数关系的是〔    〕

A.                        B.                        C.                        D. 

4.在空间中，以下命题是真命题的是〔    〕           

A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一平面的两直线相互平行
C. 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D. 如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

5.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，假设有4人接种了这种疫苗，那么最多 人被感染的概率为〔    〕           

A.                                     B.                                     C.                                     D. 

6.多项式 展开式中 的系数为〔    〕           

A. 6                                          B. 8                                          C. 12                                          D. 13

7. ，那么〔    〕           

A.                         B.                         C.                         D. 

8.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如下列图，裁掉阴影局部，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，那么此包装盒的体积为〔   〕 

A. 144                                        B. 72                                        C. 36                                        D. 24

二、多项选择题

9.双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，那么以下说法正确的选项是〔    〕           

A. 的实轴长为              B. 的离心率为              C.              D. 的焦距为

10.函数 那么以下结论正确的选项是〔    〕           

A. 是偶函数         B.          C. 是增函数         D. 的值域为

11.南宋数学家杨辉所著的?详解九章算法·商功?中出现了如下列图的形状，后人称为“三角垛〞．“三角垛〞的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ，那么〔    〕 

A.                    B.                    C.                    D. 

12.实数 满足 ，且 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕           

A.         B. 的最大值为         C. 的最小值为         D. 的最小值为

三、填空题

13.正方形ABCD的边长为1， ， ， ，那么 =________.   

14.写出一个存在极值的奇函数 ________．   

15.抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上， 垂直 于点 ， 与 轴交于点 为坐标原点，且 ，那么 ________．   

16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出奉献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如下列图，其中扇形 的半径为10， ，假设按此方案设计，工艺制造厂发现，当 最长时，该奖杯比较美观，此时 ________． 

四、解答题

17.在①函数 的图象关于直线 对称，②函数 的图象关于点 对称，③函数 的图象经过点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 

问题：函数 最小正周期为 ，且   ▲     ， 判断函数 在 上是否存在最大值？假设存在，求出最大值及此时的 值；假设不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.数列 的前 项和为 ．   

〔1〕证明：数列 为等比数列，并求出 ．   

〔2〕求数列 的前 项和 ．   

19.如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ， ， ， 是棱 上的动点〔除端点外〕， ， 分别为 ， 的中点． 

〔1〕求证： 平面 ；   

〔2〕假设直线 与平面 所成的最大角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．   

20.在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据 ，其中 表示年龄， 表示脂肪含量，并计算得到 ， ． 

参考公式：相关系数 ；

对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ．

〔1〕请用相关系数说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求 关于 的线性回归方程 〔 的计算结果保存两位小数〕；   

〔2〕科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限〔整年〕统计表： 

某健身机构准备购进其中--款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购置哪一款健身器材，才能使用更长久？

21.函数 ．   

〔1〕假设曲线 在点 处的切线经过坐标原点，求实数 ；   

〔2〕当 时，判断函数 在 上的零点个数，并说明理由．   

22.在平面直角坐标系中， 两点的坐标分别为 ，直线 相交于点N且它们的斜率之积是 ，记动点M的轨迹为曲线E．   

〔1〕求曲线E的方程；   

〔2〕过点 作直线 交曲线 于 两点，且点 位于 轴上方，记直线 的斜率分别为 ． 

①证明： 为定值；

②设点 关于 轴的对称点为 ，求 面积的最大值．

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由题得 , 所以 ， ， ， 不是 的子集，

故答案为：B

 
【分析】 先求出集合B，然后结合集合的交并及包含关系分别检验各选项即可判断．

2.【解析】【解答】由题意知： ，

∴当 时， 的最大值为2.

故答案为：C

 
【分析】 求出z-1，得到其模长，再结合余弦函数的性质即可求解结论．

3.【解析】【解答】根据点在坐标系中的特征可以知道，

当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；

由图象不具有反比例函数特征，排除B；

因为自变量有负值，排除C；

当自变量增加到3时，y增加的很多，所以符合指数的增加特征，D符合题意，

故答案为：D.

 
【分析】 由表格数据作出散点图，结合图象的特点选择对应的函数即可．

4.【解析】【解答】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，A不符合题意；

平行于同一平面的两直线可能相交，B不符合题意；

由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，C不符合题意；

如果两个相交平面 垂直于同一个平面 ，且 ，那么在平面 、 内分别存在直线 垂直于平面 ，由线面垂直的性质可知 ，再由线面平行的判定定理得 ，由线面平行的性质得出 ，那么 ，D符合题意；

故答案为：D

 
【分析】 由平面的根本性质判定A；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定B；由等角定理判定C；直接证明D正确．

5.【解析】【解答】由题得最多 人被感染的概率为 .

故答案为：A

 
【分析】 由题意可得随机变量服从二项分布B～N〔4，0.2〕，根据概率公式即可求出．

6.【解析】【解答】原式 ，所以展开式中含 的项包含 中 项为 ，和 中 的项为 ，这两项的系数和为11+1=12.

故答案为：C

 
【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，得出结论．

7.【解析】【解答】由题意知： ，而 ，

∴ 在定义域内单调减，故 ，那么B不符合题意；

，A不符合题意；

在第一象限的单调递增知 ，C不符合题意；

定义域内单调递减，即 ，D符合题意；

故答案为：D

 
【分析】 根据条件可得出a＞1,0＜b＜1,0＜c＜1,然后根据对数函数、指数函数和幂函数的单调性即可判断每个选项的正误．

8.【解析】【解答】如图：由正六边形的每个内角为 ，

按虚线处折成高为 的正六棱柱，即 ，

所以

可得正六棱柱底边边长 ，

所以正六棱柱体积： .

故答案为：B

 
【分析】 利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据棱柱的体积公式求解．

二、多项选择题

9.【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，

∴ ，故 ，

∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上那么有 ，焦距为 .

∴A、D符合题意，B、C不符合题意.

故答案为：AD

 
【分析】 由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．

10.【解析】【解答】 ，而 ，故 不是偶函数，A不符合题意.

因为 ，故 不是增函数，C不符合题意.

，B符合题意.

当 时， ，当 时， ，

故 的值域为 ，D符合题意.

故答案为：BD.

 
【分析】 由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得答案。

11.【解析】【解答】由题意知： ，故 ，

∴ ，A不符合题意；

，B符合题意；

，C符合题意；

， ，显然 ，D不符合题意；

故答案为：BC

 
【分析】 根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到， 由此对各个选项进行逐一的判断即可．

12.【解析】【解答】因为 ，故 ，

所以 ，因为 ，故 ，

A符合题意.

又 可化为 即 ，

所以 ，

而 ，故 ，整理得到 ，故 ，

当且仅当 时 ；当且仅当 时 ；

故 的最小值为 ， 的最大值为1，B不符合题意，C符合题意.

又 ，其中 .

令 ， ，

故 ，

当 时， ，当 时， ，

当 时， ，

故 在 为增函数，在 为减函数， 为增函数，

故 ，D符合题意.

故答案为：ACD.

 
【分析】 利用 ，因为 ，故 即可判断选项A，利用， 求解z的范围，即可判断选项B，C，令 ， ，求导列出不等式，求出z的范围，即可判断选项D．

三、填空题

13.【解析】【解答】由题意可得， 是正方形的对角线长，故 ，

又

所以 .

故答案为： .

 
【分析】由得.

14.【解析】【解答】由于正弦函数 为奇函数，且存在极值

故答案为：sinx

 
【分析】 根据题意，分析可得f〔x〕可以为正弦函数，即可得答案．

15.【解析】【解答】解：依题意可得 ， ，根据抛物线的定义可知 ，设 与 轴相交于点 ，因为 ，又 ，所以 ，所以 为 的中点，所以 即 的纵坐标为 ，在 中令 ，

得 ，所以 ，所以

故答案为：5

 
【分析】 先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，利用数形结合求出点P的坐标，然后利用抛物线的定义即可求解．

16.【解析】【解答】作 交 于 ，交 于 ，且 ，设 ，

那么 ， ，

设 ，作 交 于 ， 交 于 ，

因为 ，所以 ， ，

，所以 ，所以 ，即 ，

，

所以

，

因为 ，所以当 即 时 最大，

也就是 最长时 .

故答案为： .

 
【分析】 作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，设∠AOC=θ，把AB，OC用含有θ的三角函数表示，设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，结合∠PBA=∠QAB=60°，求解三角形得到x=10sinθ，进一步用含有θ的三角函数表示OM，MP，列式整理后可得， 得到当即 时 最大，也就是OP最长时，．

四、解答题

17.【解析】【分析】 先利用辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求ω=2，代入可求函数解析式，
选①函数y=f〔x〕=sin〔2x+φ〕的图象关于直线 对称，结合正弦函数的对称性先求出φ，进而可求；
选②函数y=f〔x〕的图象关于点   对称，结合正弦函数的对称性先求出φ，进而可求；
选③函数y=f〔x〕的图象经过点   ，把点代入可求φ，进而可求．

18.【解析】【分析】 〔1〕先由题设条件得到：   ，再求得 ，即可证明结论，求得 ；
〔2〕先由〔1〕求得， 进而求得， 再求得其前n项和即可．

19.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面平行的判定定理证明；〔2〕先用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．

20.【解析】【分析】 〔1〕根据参考公式，求得相关系数r，并判断与1的接近程度；求出   ，即可得线性回归方程；
〔2〕分别计算甲、乙两款健身器材的平均使用年限，即可得解．

21.【解析】【分析】 〔1〕求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得a的值；
〔2〕求得f(x)的导数，令  求得导数，讨论当0<a<2时,当a≥2时,h(x),f(x)的单调性，可得所求零点个数．

22.【解析】【分析】 (1)设M(x,y),由题列   ，化简即可得出答案；
(2)① 设直线  的方程为   ,联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得  ,再计算  ，即可得出答案；
②   坐标为 ， 那么直线  方程为  ,推出 当  时，面积最大，即可得出答案．