2021届辽宁省沈阳市高三下学期数学质量监测试卷（一）及答案

这是一份2021届辽宁省沈阳市高三下学期数学质量监测试卷（一）及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学质量监测试卷〔一〕
一、单项选择题
1.集合 ，集合 ，那么 〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
2. 是虚数单位，那么复数 对应的点所在的象限是〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.2021年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行〞.在此次活动中，某学校有2女、4男6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派3名，每人去1个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，那么不同的选派方案有多少种〔    〕
A. 16种                                   B. 20种                                   C. 96种                                   D. 120种
4.甲烷是一种有机化合物，分子式是 它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球外表温室效应不断增加.深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题.甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等.请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
5.在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，假设 · ＝ ，那么 · 的值为〔    〕

A.                                           B. 2                                          C. 0                                          D. 1
6.技术的数学原理之一是著名的香农公式: .它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的 可以忽略不计.假设目前信噪比为 假设不改变带宽 ，而将最大信息传播速度 提升 那么信噪比 要扩大到原来的约〔    〕
A. 10倍                                    B. 20倍                                    C. 30倍                                    D. 40倍
7.随机变量 ，且 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 9                                           B.                                            C. 4                                           D. 6
8.函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，假设函数 有唯一零点，那么正实数 的值为〔    〕
A.                                            B.                                            C. 2                                           D. 3
二、多项选择题
9.假设 ，那么使 成立的充要条件是〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
10.函数 ，那么以下结论中正确的选项是〔    〕
A. 的图象是由y= 2sin2 的图象向左移 个单位得到的
B. 在 上单调递增
C. 的对称中心的坐标是
D. 函数 在 内共有 个零点
11.双曲线 的左焦点 ，过 且与 轴垂直的直线与双曲线交于 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，那么以下结论正确的有〔    〕
A. 双曲线 的方程为                       B. 双曲线 的两条渐近线所成的锐角为
C. 到双曲线 渐近线的距离为                      D. 双曲线 的离心率为
12.如图，棱长为2的正方体 的内切球为球 分别是棱 和棱 的中点， 在棱 上移动，那么以下结论成立的有〔    〕

A. 存在点 使 垂直于平面
B. 对于任意点 平面
C. 直线 的被球 截得的弦长为
D. 过直线 的平面截球 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为
三、填空题
13.在正项等比数列 中， ，那么 ________．
14.假设 ，那么 ________．
15.在平面直角坐标系 中，点 ，假设圆 上存在一点 满足 ，那么实数 的取值范围是________．
16.抛物线 ，点 ，过 作抛物线的两条切线 ，其中 为切点，直线 与 轴交于点 那么 的取值范围是________．
四、解答题
17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
① ;
②
③ .
的内角 的对应边分别为 ，                  .
〔1〕求 ;
〔2〕假设 ，求 的面积.
18.正项数列 的前 项和为 ，且 .
〔1〕求数列 的通项公式 ;
〔2〕假设 ，数列 前 项和为 ，求使 的最小的正整数 的值.
19.习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康〞.为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起〞社区健身活动.运动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对参与活动的 人进行了调查，其中男性 人，女性 人，所得统计数据如下表所示:(单位:人)
性别
器械类
徒手类
合计
男性
590


女性

240

合计
900


(参考数据: )
附:









60635
〔1〕请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择器械类与性别有关〞?
〔2〕为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动.竞赛包括三个工程，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项日都参加.据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 ，通过徒手类竞赛的概率都是 ，且各工程是否通过相互独立.用 表示某居民在这次竞赛中通过的工程个数，求随机变量 的分布列和数学期望.
20.如左图，平面四边形 点 在边 上， ，且 是边长为 的正方形.沿着直线 将 折起，使平面 平面 (如右图)， 分别是棱 的中点， 是棱 上一点.

〔1〕求证:平面 平面 ;
〔2〕假设直线 与平面 所成的角的正切值为 时，求锐二面角 的余弦值.
21.椭圆 的方程为 ，斜率为 的直线与 相交于 两点.

〔1〕假设 为 的中点，且 ，求椭圆 的方程；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设 是椭圆 的左顶点， 是椭圆的左焦点，要使 在以 为直径的圆内，求 的取值范围.
22.函数 ， ．
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕假设 ，且关于 的不等式 在 上恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，
．
故答案为：D

【分析】 进行交集的运算即可。
2.【解析】【解答】 .
所以复数对应的点 在第四象限，
故答案为：D

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
3.【解析】【解答】只有一名女教师： ;
选派两名女教师： ；
所以共有72+24=96种方法.
故答案为：C

【分析】 根据题意，分2步进行分析：①在6名志愿者中选派3名，要求至少要有1名女教师，②将选出的3人安排到三个社区，由分步计数原理计算可得答案．
4.【解析】【解答】不妨设正四面体的棱长为
易知中心到顶点的距离为 ，
由余弦定理可知
故答案为：B.

【分析】 画出几何体的结构特征，利用余弦定理转化求解即可．
5.【解析】【解答】建立如下列图平面直角坐标系

那么A(0，0)，B( ，0)，E( ，1)，F(x，2)，
∴ ＝( ，0)， ＝(x，2)，
∴ · ＝ x＝ ，
解得x＝1，∴F(1，2)，
∴ ＝( ，1)， ＝(1－ ，2)，
∴ · = ×(1－ )＋1×2＝ .
故答案为：A

【分析】 根据所给的图形，把向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．
6.【解析】【解答】由条件可知 ，
设将最大信息传播速度 提升
那么信噪比 要扩大到原来的 倍，
那么 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：D

【分析】 根据题中的条件，最大信息传播速度C提升50%，即现在的传播速度是原来的传播速度的1.5倍，列出等式，即可解出．
7.【解析】【解答】因为随机变量 ，且 ，那么 ，可得 ，

，
当且仅当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
故答案为：B.

【分析】 由结合正态分布曲线的对称性求得a，代入   ，再由导数求最值．
8.【解析】【解答】由条件可知
由函数奇偶性易知
令 ， 为偶函数.
当 时， ，
单调递增，当 时， 单调递减， 仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在 处有极小值，
那么函数只有 一个零点，即 ，
解得 ，
故答案为：A

【分析】首先利用方程组的方法分别求函数 的解析式，令 ， 利用导数分析函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知极小值， 利用平移可知， 求正实数的值。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】 ，B选项正确；
那么 一定不成立，C选项错误；
，D选项正确.
故答案为：ABD

【分析】 根据不等式的性质，利用充要条件的定义进行判断即可．
10.【解析】【解答】 ，
把 的图象向左平移 个单位，得到 ，所以选项 不正确;
设 ，那么 在 上单调增，
,
又 在 上单调递增，
在 上单调递增，所以B符合题意;
由 得对称中心为 ，所以C符合题意；
由 得 或
解得 或 ，又
时， ，共 个零点，所以D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简化简的解析式，通过三角函数的平移变换，判断A；函数的单调性判断B；判断对称中心判断C；函数的最值以及函数的周期，判断D．
11.【解析】【解答】因为双曲线的左焦点为 ，
所以 ，
又因为过 与 轴垂直的直线与双曲线交于 ，
所以 的面积为 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 ，A符合题意；
那么双曲线 的渐近线方程为 ，所以两渐近线的夹角为 ，B符合题意;
到双曲线 渐近线的距离为 ,C不符合题意；
双曲线 的离心率为 .D符合题意；
故答案为：ABD

【分析】 由求得A的坐标，结合三角形AOB的面积求得a，进一步求得b，然后逐一核对四个选项得答案．
12.【解析】【解答】当 为 中点时， ， ， 平面 ，

平面 平面 ， 平面 ， ，同理 ， ，
所以 平面 ，即 平面 ，A符合题意；
当 与 重合时， 在平面 上， 在平面 外，B不正确;
如图，点 是线段 的中点，

由对称性可知 ，由勾股定理可知易知 球心 到 距离为 ，
那么 被球截得的弦长为
C符合题意;
当 垂直于过 的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是 ，面积为 ，D符合题意.
故答案为：ACD

【分析】 取G为BC的中点判断A正确；当G与B重合时，判断B错误；求出球心O到EF的距离，进一步求得直线EF的被球O截得的弦长判断C；由球与截面圆的关系求解最小圆的半径，得到半径最小圆的面积判断D．
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
即 ，
因为数列 是正项数列，
所以 ，
故答案为：10.

【分析】 根据题意，由等比数列的性质将其代入， 变形可得答案．
14.【解析】【解答】 .
故答案为： .

【分析】 利用角的变换将要求解的角转化为的角表示，然后利用诱导公式以及二倍角公式求解即可．
15.【解析】【解答】由题意得圆 的圆心为 ，半径为1．
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆．
由题意得圆 和点M的轨迹有公共点，
∴ ，
解得 ．
∴实数 的取值范围是[0,3]．

【分析】 设点M〔x，y〕，由|MA|=2|MO|，得x2+y2+2x-3=0，点M在圆心为D〔-1，0〕，半径为2的圆上．点M在圆C上，圆C与圆D有公共点，从而1≤|CD|≤3，由此能求出实数a的取值范围。
16.【解析】【解答】设切点 ，由抛物线 ，
∴切线 ，
同理切线 ，
又点 是两条切线的交点，所以 .
所以直线 的方程为 ，即 .
此直线恒过 ，那么 .
，消去 ，得 ，
∴ ，
∴ .
，即 ，
令 ，那么 ，
即 ，解得 ，
，
即 .
故答案为： .

【分析】 设A，B的坐标求导可得在A，B处的切线的方程，将直线与抛物线联立由判别式为0，求出A，B横坐标的值，进而求出  的取值范围．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕选①，由正弦定理、两角和的正弦公式化简等式，结合sinA≠0，可得tanA= 结合A∈〔0，π〕，可求A的值．
选②，利用正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简等式可得cosA的值，结合A∈〔0，π〕，可得A的值．
选③，两角和的正切公式可得tanA的值，结合A∈〔0，π〕，可得A的值．
〔2〕由余弦定理可求得bc=2，再根据三角形的面积公式即可得解．
18.【解析】【分析】 〔1〕〔1〕先由题设 ， 数列 为等差数列且d=1，〔n≥2〕，然后求得首项  ，进而说明数列  是以  为首项，  为公差的等差数列， 即可求得 ；
〔2〕先由〔1〕求得bn ， 再利用错位相减法求出bn前n 项和，再代入n的特殊值即可．
19.【解析】【分析】 〔1〕先根据题意补充完整2×2列联表，再由K2的参考公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行比照即可作出判断；
〔2〕ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，由数学期望的计算公式即可得解．
20.【解析】【分析】 〔1〕根据平面与平面垂直的判定定理证明；〔2〕用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程确定G的位置，再用向量法求二面角的余弦值．
21.【解析】【分析】 〔1〕设 ，得 两式相减得 ，解得a2 ， 进而可得答案;
〔2〕 设  方程为 ， 联立直线MN与椭圆的方程，可得△＞0，由韦达定理可得  ， ，再计算 解得   〔舍)，或 分别讨论使得 ，时k的取值范围．
22.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕问题转化为  在  上恒成立， ， 令  ，根据函数的单调性求出m的范围即可．