2021届山西省临汾市高三理数一模试卷及答案

这是一份2021届山西省临汾市高三理数一模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 



2.假设 ，那么 〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 



3. ， ， ，那么〔    〕
A. A，B，D三点共线        B. A，B，C三点共线

        C. B，C，D三点共线        D. A，C，D三点共线



4.曲线 在点 处的切线方程为〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 



5.乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图〔1〕所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化〞．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图〔2〕的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到 ．假设烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为 的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为〔    〕

A. 6cm                                     B. 7cm                                     C. 8cm                                     D. 9cm



6.记 为数列 的前 项和，假设 ，那么 〔    〕
A. ﹣1024                                 B. ﹣1023                                 C. 1023                                 D. 1024



7.函数 的图象大致为〔    〕
A.                            B. 


C.                            D. 



8. ，那么以下各数中最大的是〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 



9.1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的 局部为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 局部擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如下列图．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，那么落在六角星中的豆子数约为〔    〕〔 ， 〕

A. 577                                      B. 537                                      C. 481                                      D. 331



10. 同时满足以下条件：
①当 时， 最小值为 ；② ；③ ．假设 在 有2个不同实根 ， ，且 ，那么实数 的取值范围为〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 



11.过椭圆内定点 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 的“好弦〞．在椭圆 中，过点 的所有“好弦〞的长度之和为〔    〕
A. 120                                      B. 130                                      C. 240                                      D. 260



12.在棱长为2的正方体 中，平面 ，那么以平面 截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以 为顶点的锥体的外接球的外表积为〔    〕
A. 12π                                     B.                                      C.                                      D. 6π



二、填空题
13.抛物线y=4x2的焦点坐标是________．
14.假设 ， 满足约束条件 那么 的最小值为________．
15.函数 ，假设 ，那么 ________．
16.对于一个函数 ，假设存在两条距离为 的直线 和 ，使得 在 时恒成立，称函数 在 内有一个宽度为 的通道．那么以下函数在 内有一个宽度为1的通道的有________．〔填序号即可〕
① ；
② ；
③ ；
④ ．
三、解答题
17.如图，在多面体 中，四边形 与 都是直角梯形，且 ， ， ．

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值．
18.的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ．
〔1〕记 边上的高为 ，求 ；
〔2〕假设 ， ，求 ．
19.这一年来人类与新型冠状病毒的“战争〞让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反响或开始呈现该疾病对应的相关病症时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施．某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格：
潜伏期〔天〕







人数
600
1900
3000
2500
1600
250
150
附： ．
















〔1〕新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？

潜伏期 天
潜伏期 天
总计
60岁以上〔含60岁〕


150
60岁以下
30


总计


200
〔2〕依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有可能是多少？
20.椭圆 与双曲线 有两个相同的顶点，且 的焦点到其渐近线的距离恰好为 的短半轴的长度．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕过点 作不垂直于坐标轴的直线 与 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 平分 ？假设存在，求点 的坐标；假设不存在，请说明理由．
21.函数 ．
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设函数 有三个极值点 ， ， 〔 〕，求 的取值范围．
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
〔1〕求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
〔2〕曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点 是曲线 与 的交点， ， 均异于极点，且 ，求 的值．
23.函数 ．
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕使得 成立，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：因为 ，
又 ，故 ．
故答案为：B．

【分析】 先求出集合A和集合B，然后利用交集的定义求解即可．
2.【解析】【解答】 ，
故 ，
故答案为：A

【分析】  化简z，求出z的模即可．
3.【解析】【解答】 ，
又 ，
所以 ，那么 与 共线，
又 与 有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
故答案为：A

【分析】 利用三角形法那么可求得， 由向量共线条件可得与 共线，从而可得结论．
4.【解析】【解答】 的导数为 ，
可得在 处的切线的斜率为2，
且切点为 ，
那么切线的方程为 ，
即 ．
故答案为：D

【分析】 求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的斜截式方程可得切线的方程．
5.【解析】【解答】因为直径为12cm的作品烧制成功后直径缩小到9cm，
所以烧制成功后变为原来的 ，
设正四面体的边长为 ，其高为 ，
那么其体积为 ，
令 ，解得 ，
由于比例变化相等，故烧制前棱长为 ．
故答案为：C．

【分析】 因为直径为12cm的作品烧制成功后直径缩小到9cm，可得烧制成功后与原来的比例关系，利用正四面体的体积求出边长，根据比例变化相等可求出所求．
6.【解析】【解答】由题意，当 时， ，解得 ，
当 时， ，
化简整理，得 ，
∴数列 是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，
∴ ．
故答案为：B．

【分析】 首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式的应用求出结果．
7.【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，
即该函数的定义域为 ，
∴B不符合题意，
当 时， ，∴ ，排除C，
当 时， ，∴ ，排除A，
故答案为：D．

【分析】 先求得函数的定义域，再考虑0＜x＜1和x＞1时，f〔x〕与0的大小关系，即可作出选择．
8.【解析】【解答】解：当 ， ， ，
那么 ，
，
，
，
∵ ，且函数 在 上单调递减，
∴ ，
即最大的是 ，
即最大值是 ，
故答案为：D．

【分析】 利用三角函数的诱导公式都转化为余弦值，利用余弦函数的单调性进行判断即可．
9.【解析】【解答】设原正三角形边长为 ，
那么由正弦定理得 ，即 ，
所以正三角形外接圆半径为 ，那么 ，
又由题意得凸出来的小正三角形边长为 ，
那么
，
那么 ，
所以落在六角星中的豆子数约为 ．
故答案为：A．

【分析】 设原正三角形边长为3a，那么由正弦定理求出正三角形外接圆半径，根据落在六角星中的概率=，从而可得结论．
10.【解析】【解答】函数 满足，
当 时， 最小值为 ，
∴ ，函数 ．
∵ ，
故 的图象关于直线 对称，
故有 ，即 ， ．
又 ，即 ，
即 ，故 ，
函数 ．
在 有2个不同实根 ， ，且 ，
根据 ，
，
，
∴ ，
故答案为：D．

【分析】 由题意利用正弦函数的图象和性质，求得a的范围．
11.【解析】【解答】解：由可得 ， ，
所以 ，故 为椭圆的右焦点，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直 轴时弦长最短，
所以当 时，最短的弦长为 ，
当弦与 轴重合时，弦长最长为 ，
那么弦长的取值范围为 ，
故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，
那么“好弦〞的长度和为 ，
故答案为：C．

【分析】 先求出a，b，c的值，利用椭圆的性质求出椭圆中过焦点的弦的最小值以及最大值，再根据“好弦〞的定义即可求解．
12.【解析】【解答】解：如图，

由正方体的对称性，可知当截面为正六边形 时，截面面积最大，
此时正六边形的边长为 ，
设 交截面 于 ，那么 为 的中点，所以 ，
设正六棱锥外接球的球心为 ，外接球半径为 ，
当球心在棱锥内部时，有 ，解得 ，
外接球面积为 ；
假设球心在棱锥外部时，有 ，解得 〔舍去〕．
∴以 为顶点的锥体的外接球的外表积为 ．
故答案为：B．

【分析】由正方体的对称性，可知当截面为正六边形 时，截面面积最大，再分当球心在棱锥内部时和当球心在棱锥外部时，建立方程求得外接球的半径可得选项。
二、填空题
13.【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
14.【解析】【解答】解：由变量x ， y满足约束条件 得到可行域，
得 ，
作出不等式组对应的平面区域如图〔阴影局部〕：

平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，
直线 的截距最小，
；
∴ 的最小值为： ；
故答案为：﹣18．

【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
15.【解析】【解答】根据题意，函数 ，
那么
，
那么 ，
假设 ，那么 ，
故答案为：﹣3．

【分析】 根据题意，由函数的解析式求出f〔-x〕的表达式，分析可得f〔x〕+f〔-x〕=-1，结合，即可得答案．
16.【解析】【解答】解：对于①， ，
，那么 在两条直线 和 之间，
两直线的距离 ，所以不存在宽度为1的通道，故①错误；
对于②，函数 ，
研究函数 在 上的最大值 ，
函数在 时取得极大值点即最大值点，
， 时，函数 ， ，
故存在两直线 和 ， ，故②正确；
对于③，函数 ；
函数 随 的增大而增大，渐近线为 ，
取两条直线 ， ，
故 ，故③正确；
对于④，函数 ，
所以 ，
由此得到两直线的距离 ，
故存在两条直线 ， ，两条直线的距离 .
故④正确．
故答案为：②③④．

【分析】 直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，两直线间的距离公式，利用导数求函数的值域，渐近线的应用判断①②③④的结论．
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面平行的判定定理证明；
〔2〕寻找二面角的平面角，先求其正切值，再求其余弦值．
18.【解析】【分析】 〔1〕c〔sinA-cosA〕=a〔cosC-sinC〕，利用正弦定理可得：sinC〔sinA-cosA〕=sinA〔cosC-sinC〕，化简再利用正弦定理即可得出；
〔2〕由〔1〕可得：2csinA=b，可得2sinCsinA=sinB， ， 由余弦定理可得：   ，可得cosC，利用平方关系即可得出．
19.【解析】【分析】 〔1〕先计算潜伏期大于8天的人数，完成2×2列联表，再计算K的观测值K2 ， 并与附表中的数据比照，即可作出判断；
〔2〕将频率作为概率，计算该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的概率，即可得解．
20.【解析】【分析】 〔1〕由求出双曲线的焦点以及渐近线方程，进而求出焦点到渐近线的距离，由此求出椭圆的方程；
〔2〕设出直线l的方程以及A，B，M的坐标，联立直线l与椭圆的方程，写出韦达定理，求出直线AM，BM的斜率，利用MT平分∠AMB可得直线AM，BM的斜率的和为0，化简即可求解．
21.【解析】【分析】 〔1〕对f〔x〕求导，对k进行讨论，求出即可；
〔2〕对g〔x〕求导，可得g′〔x〕=0有三个根  ，  ，   ，结合〔1〕可得k＞0，那么有f〔1-lnk〕＜0，从而可求得0＜k＜1，那么 =k-4+2lnk，令h〔k〕=k-4+2lnk，利用导数求出h〔k〕的范围，从而可得结论．
22.【解析】【分析】 〔1〕直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
〔2〕利用极径和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．
 
 
23.【解析】【分析】 〔1〕由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
〔2〕分别讨论 ， ，  ， 由参数别离和绝对值不等式的性质，结合存在性问题解法，可得所求范围．