2021届甘肃省第二次高考诊断理数试卷及答案

这是一份2021届甘肃省第二次高考诊断理数试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二次高考诊断理数试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
2.复数 满足 ，那么复数 的虚部为〔    〕
A. -i                                           B. i                                           C. -1                                           D. 1
3.函数 ，那么函数 的图象为〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
4.双曲线 的渐近线方程为 ，实轴长为2，那么 为〔    〕
A. -1                                    B.                                     C.                                     D. 
5.如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点，假设直线 与平面 不存在公共点，那么三角形 的面积的最小值为〔   〕

A.                                          B. 1                                         C.                                          D. 2
6.某地以“绿水青山就是金山银山〞理念为引导，推进绿色开展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：
苗木长度 (厘米)
38
48
58
68
78
88
售价 (元)




24

由表可知，苗木长度 (厘米)与售价 (元)之间存在线性相关关系，回归方程为 ，那么当苗木长度为150厘米时，售价大约为〔    〕
A. 33.3                                     B. 35.5                                     C. 38.9                                     
7.数列 的前 项和为 ，假设点 在函数 的图象上，那么 〔    〕
A. 2021                                   B. 4041                                   C. 4042                                   D. 4043
8. ， ， 均为锐角，且 ，那么 〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
9.中国古代制定乐律的生成方法是最早见于?管子·地员篇?的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其 ，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长 ，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.假设五音中的“宫〞的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽〞的律数为〔    〕
A. 72                                         B. 48                                         C. 54                                         D. 64
10.数列 的前 项和为 ，且 ，那么 〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 
11.过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交与 ， 两点，过 ， 两点分别作抛物线 准线的垂线，垂足分别为 ， ，假设线段 的中点为 ，且线段 的长为4，那么直线 的方程为〔    〕
A.                                                   B. 
C. 或                    D. 或
12.函数 ， ，假设经过点 存在一条直线 与 图象和 图象都相切，那么 〔    〕
A. 0                                         B. -1                                         C. 3                                         D. -1或3
二、填空题
13.平面内单位向量 ， ， 满足 ，那么 =________.
14.假设实数 ， 满足约束条件 ，那么 取最大值4时， 的最小值为________.
15.孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作?孙子算经?卷下第二十六题“物不知数〞问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的根本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，那么23就是“问物几何？〞中“物〞的最少件数，“物〞的所有件数可用 表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，那么这个数最小是________.
16.三棱锥 的底面是边长为3的正三角形，面 垂直底面 ，且 ，那么三棱锥 体积的最大值是________.
三、解答题
17.如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为2的菱形，且 ， ， 分别为 ， 的中点.

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
18.某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲､乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲､乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成 ， ， ， ， 五组，整理得到如下频率分布直方图：

参考公式： ， .
参考数据①：








②假设 ，那么 ， .
〔1〕将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的 列联表：

不少于6小时
少于6小时
总计
甲班



乙班



总计



能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？
〔2〕此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足 ，其中 等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间 的概率.
19.圆 经过椭圆 的右焦点 ，且经过点 作圆 的切线被椭圆 截得的弦长为 .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕假设点 ， 是椭圆 上异于短轴端点的两点，点 满足 ，且 ，试确定直线 ， 斜率之积是否为定值，假设是，求出这个定值；假设不是，说明理由.
20.的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
〔1〕求角 的大小；
〔2〕假设 ， 为 边上一点， ，且________，求 的面积.(从① 为 的平分线，② 为 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)
21.函数 ， .
〔1〕假设 在 单调递增，求 的取值范围；
〔2〕假设 ，求证： .
22.在直角坐标系 中，点 是曲线 上的动点，满足 的点 的轨迹是 .
〔1〕以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 ， 的极坐标方程；
〔2〕直线 的参数方程是 ( 为参数)，点 的直角坐标是 ，假设直线 与曲线 交于 ， 两点，当 时，求 的值.
23.函数 ， .
〔1〕求函数 的图象与直线 围成区域的面积；
〔2〕假设对于 ， ，且 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 等价于 等价于 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为：C

【分析】求出集合A，B，再根据交集的定义进行运算，即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 ，
所以复数 的虚部为1，
故答案为：D

【分析】 利用复数的运算法那么、虚部的定义即可得出复数z的虚部.
3.【解析】【解答】因为 ，定义域为 ，关于原点对称，
所以 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，所以D不正确；
因为 ，所以B不正确；
因为 ，所以A不正确.
故答案为：C

【分析】 根据题意，由函数的解析式可得， 排除B，分析函数为奇函数排除D，再由排除A，即可得答案.
4.【解析】【解答】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，
又双曲线的实轴长为2，所以 ，得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：A

【分析】 利用双曲线的渐近线方程以及实轴长得到即可推出结果.
5.【解析】【解答】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，

直线 与平面 不存在公共点，
所以 平面 ,
由中位线定理可得 ,
在平面 内，
在平面 外，
所以 平面 ,
因为 与 在平面 内相交，
所以平面 平面 ,
所以 在 上时，直线 与平面 不存在公共点，
因为 与 垂直，所以 与 重合时 最小，
此时，三角形 的面积最小，
最小值为 ，
故答案为：C.

【分析】 延展平面 ，可得截面 ,从而得到以在 上，当点 与 重合时 最小，那么三角形 的面积最小，求解此时的面积即可.
6.【解析】【解答】因为 ，
，
所以样本点中心为 ，
又回归直线 经过 ，
所以 ，所以 ，
所以回归方程为 ，
当 时， 厘米.
那么当苗木长度为150厘米时，售价大约为38.9厘米.
故答案为：C

【分析】 由题中给出的数据，求出样本中心，利用线性回归方程经过样本中心求出，从而得到线性回归方程，将代入求解即可.
7.【解析】【解答】因为点 在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
又 适合上式，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D

【分析】 将点   代入函数解析式，即可得到数列的前n项和公式，然后利用数列通项与前n项和的关系求解数列的通项公式，进而求出结果.
8.【解析】【解答】因为 ， ， 均为锐角，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，得 ，因为 为锐角，所以 ，
所以 .
故答案为：A

【分析】 由可求，利用同角三角函数根本关系式可求的值，进而根据诱导公式可求   的值.
9.【解析】【解答】依题意，将“宫〞的律数81三分损一可得“徵〞的律数为 ，
将“徵〞的律数 54 三分益一可得“商〞的律数为 ，
将“商〞的律数72三分损一可得“羽〞的律数为 .
故答案为：B

【分析】 根据题中材料分析得出律数变化规律，进行求解.
10.【解析】【解答】当 时， ，得 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比 的等比数列，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：B

【分析】 首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用关系式的应用求出结果.
11.【解析】【解答】由 得 ，所以 ，准线为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， 恒成立，
设 、 ，
那么 ，所以 ，
依题意得 、 ，那么线段 的中点 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为： 或 .
故答案为：C

【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，设直线 的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式、两点的距离公式，计算可得所求直线方程.
12.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
那么 ，
所以
所以函数 在 处的切线方程为 ，
由 得 ，
由 ，解得 或 ，
故答案为：D

【分析】 设直线   与 相切的切点，求得的导数，可得切线的斜率和切线的方程，代入A的坐标，求得切点，可得切线的方程，与 联立，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得所求值.
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 为单位向量，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，得 .
故答案为：

【分析】 此题根据题意将条件进行转化可得，然后两边平方，并结合单位向量的定义进行计算即可得到   的值.
14.【解析】【解答】作出可行域如图：

联立 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
将目标函数 化为斜截式可得 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以由图可知，当直线 经过 时， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：2

【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得，然后结合根本不等式求得   的最小值.
15.【解析】【解答】因为被3除余1的整数有：
被4除少1即被4除余3的整数有：
被5除余4的整数有：
所以这个数最小为 .
故答案为：19

【分析】 分别列出被3除余1，被4除少1，被5除余4的数，找出最小数即可.
16.【解析】【解答】因为面 垂直底面 ，那么三棱锥的高即为 到AB的距离，设为 ，

，设 ，
在 中， ，
那么 ，
那么 ，
当 ，即 时， ，
又 ，
那么三棱锥 体积的最大值为 .
故答案为： .

【分析】 由题意画出图形，求出A到平面 的距离，设 ，求解三角形可得三角形的面积，换元后利用配方法求最值，再由棱锥体积公式求三棱锥体积的最大值.
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕连接  交  于  点，连接  ，  利用中位线定理证明四边形  为平行四边形 ，得到  ，然后利用线面垂直的判定定理证明  平面  ，从而证明  平面   ；
〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.
18.【解析】【分析】〔1〕 根据频率分布直方图分别求出甲班、乙班学习时间不少于6小时和少于6小时 的人数，完成   列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；
〔2〕先求出班学生学习时间的平均数μ，再根据正态分布的性质求解.
19.【解析】【分析】 〔1〕由圆  经过椭圆  的右焦点  ，所以  ，  ， 再由圆的切线可得   在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；
〔2〕设出点  ， 的坐标，利用向量关系求出A的坐标，由此求出   的关系式，再利用点 ， 在椭圆上，联立求出 ，由此即可求解.
20.【解析】【分析】 〔1〕由结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 ， 进而可求B；
〔2〕①  为  的平分线，由结合三角形面积公式及余弦定理可求ac，然后结合三角形面积公式可求；
②  为  的中点，由结合诱导公式及余弦定理可求 然后结合余弦定理可求ac，然后结合三角形的面积公式可求.
 
21.【解析】【分析】 〔1〕依题意，   在  上恒成立， 别离参数，   再令  ， 利用导数可求得其最小值，从而可得a的取值范围；
〔2〕由〔1〕知，当   时，   在  上单调递增， 令 ， 可得   在  上恒成立， ；再令  ，那么有  ，所以 ， 从而可证结论成立.
22.【解析】【分析】 〔1〕直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
〔2〕利用〔1〕的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果.
23.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的分段函数形式，然后画出图象即可；
〔2〕利用根本不等式求出 ， 得到 ， 然后根据x的范围化简 即可.